不等式证明的常见方法

x > 1 时, f ∀( x ) > 0, 则 f ( x ) 在( 1, + + ) 上为增
函数; 由最值定理可知, f ( x ) 在 x = 1处取得极小
值, 即 f ( 1) = 0 为区间( 0, + + ) 上的最小值, 所
以当 x > 0 时, 有 f ( x ) ! f ( 1) = 0.
证明 因 f ∀( x ) = a1cosx + 2a2cos2x + ∃+
nan cosnx . 则 f ∀( 0) = a1 + 2a2 + ∃+ nan . 利用导数的定义得:
f ∀( 0) =
lim
x %0
f
(
x) x
-
f ( 0) 0
=
lim f ( x) x%0 x
=
lim
x %0
f ( x) x
[ 0, + + ) 上严格递增, 从而当 x > 0 时, 有 f ( x )
= x - ln( 1+ x ) > f ( 0) = 0, 即 x > ln( 1 + x ) .
说明 利用函数单调性证明不等式, 不等式
两边的函数必须可导; 对所构造的辅助函数 f ( x )
应在某闭区间上连续, 开区间内可导, 且在闭区间
因此可构造函数的改变量 ln( 1+ x ) - ln1, 则相应
自变量的改变量为
x,
原不等式等价于:
1 1+
x
<
ln( 1 + x ) (1+ x)-
ln 1
1
<
1, 由不等式中间部分的形式
可知, 可利用拉格朗日中值定理去证明.
证明 构造函数 f ( t ) = lnt, 因 f ( t ) 在[ 1, 1
b
b
f 2 (x ) dx g 2 (x ) dx( 柯
a
a
西- 许瓦茨不等式) . 分析 欲证不等式是函数 f 2 ( x ) , g2 ( x ) , 以
及 f ( x ) g( x ) 的积分不等式, 引入参数 t, 考虑辅
助函数[ f ( x ) - tg ( x ) ] 2 在区间[ a, b] 上的积分.
1-
1 1+
x
=
x 1+
x
>
0.
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高等函授学报( 自然科学版) Journal of H igher Correspondence Education( Natural Sciences)
Vol. 21 No. 4 August 2007
又由于 f ( x ) 在 x = 0 处连续, 所以 f ( x ) 在
故 x 5 - 5x - 4 ! 0( x > 0) ,
即 x 5 ! 5x + 4( x > 0) .
说明 当题没满足以下条件时宜用该方法:
( 1) 所设函数 f ( x ) 在某闭区间上连续, 开区
间内可导, 但在所讨论的区间上不是单调函数时;
( 2) 只能证不严格的不等式而不能证明严格
的不等式.
证明方法: ∋ 构造两个辅助函数 f ( x ) 和 g ( x ) , 并确定 它们适用柯西中值定理的区间[ a, b] ; ( 对 f ( x ) 与 g( x ) 在[ a, b] 上施用柯西中值 定理; ) 利用 与 a, b 的关系, 对柯西不等式进行 加强.
例 5 设 a > e, 0 < x < y < 2 , 证明
用可导函数的单调性证明此不等式, 则可采用函
数的极值方法试之.
证明 构造辅助函数 f ( x ) = x 5 - 5x - 4,
( x > 0) , 则有
f ∀( x ) = 5x 4 - 5
= 5( x 2 + 1) ( x 2 - 1)
= 5( x 2 + 1) ( x + 1) ( x - 1) .
ay - ax > ( cosx - co sy ) ax lna.
分析
原 不等式 可等 价于 ay cosy -
ax cos x
<
- ax lna. 不等式左边可看成是函数 f ( t ) = at 与
g ( t ) = cost 在区间[ x , y ] 上的改变量的商, 故可
用柯西中值定理证明之.
8. 利用函数的凹凸性
函数的凹凸性定理反映了二阶可导函数的二
阶导数符号与凹凸函数之间的关系.
说明 当不等式含有两个函数的函数值及
其一阶导数, 或两个函数的函数增量及其一阶导 数时, 可用柯西中值定理证明.
6. 利用函数单调性 例 6 证明: 当 x > 0 时, x > ln( 1+ x ) . 证明 设 f ( x ) = x - ln( 1+ x ) , 由于当 x >
0 时, 有 f ∀( x ) =
的某端点处 f ( x ) 的值为 0, 然后通过在开区间内
f ∀( x ) 的符号来判断 f ( x ) 在闭区间上的单调性.
7. 利用函数的极值和最值
例 7 试证明: 当 x > 0 时, 有 x 5 ! 5x + 4.
分析 利用差式构造辅助函数 f ( x ) = x 5 -
5x - 4, ( x > 0) , 这与前面利用函数单调性定义证
则 g∀( t) = - sint ∗ 0, g( x ) = cosx ∗ g( y)
= cosy , 所以 f ( t) , g( t ) 在[ x , y ] 上满足柯西中值
条件, 于是存在 & ( x , y ) ,
使得fg∀∀((
) )
=
f (y) g(y) -
f( g(
x) x)
=
ay co sy -
.
* 收稿日期: 2007- 05- 08
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由于 f (x)
( 1- f 2( x ) ) ( 1- g2( x ) ) ] dx b - a.
证明 因为 f ( x ) < 1, g( x ) < 1, 所以
可令 f ( x ) = sinu, g( x ) = sinv , 于是
sinusinv # ( 1- sin2u) ( 1 - sin2 v)
= sinusinv # co sucosv = cos u # v 1.
b
[ f (x) g( x) # ( 1- f 2( x) )(1- g2(x )) ] dx
a
b
f (x) g( x) # ( 1- f 2( x) )(1- g2( x)) dx
a
b
1dx = b - a.
a
3. 利用导数定义
例 3 设函数 f ( x ) = a1sinx + a2sin2x + ∃
证明
原
不
等
式
等
价
于
ay cosy
-
ax cos x
<
- ax lna, 可构造函数 f ( t ) = at , g( t ) = cost , 因
f ( t ) , g( t) 均在[ x , y ] 上连续, 在( x , y ) 上可导,
且 f ∀( t) = at lna ∗ 0, 由于 0 < x < y < 2 ,
Vol. 21 No. 4 August 2007
郭 煜, 张 帆
( 陕西邮电职业技术学院, 咸阳 712000)
摘 要: 不等式证明的方法很多, 文 中重点介绍了十一 种常见 的证明 方法, 希望读 者能熟 练
掌握, 灵活应用。
关键词: 不等式证明; 方法
中图分类号: O 122. 3
文献标识码: A
第 21 卷第 4 期 2007 年 8 月
高等函授学报( 自然科学版) Journal of H igher Correspondence Education( Natural Sciences)
文章编号: 1006 - 7353( 2007) 04 - 0034( 11) - 05
不等式证明的常见方法*
+
x)
,
1
1 +
x
<
1<
1,
所以1+1 x <
ln( 1 + x
x)
<
1.
即x 1+
x
<
ln( 1 + x ) <
x(x >
0) .
说明 当所证的不等式中含有函数值与一
阶导数, 或函数增量与一阶导数时, 可用拉格朗日
中值定理来证明. 5. 利用柯西中值定理
柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增
量与它们一阶导数之间的关系
+ an sinnx , 其中 a1 , a2 , ∃, an 都为实数, n 为正整
数, 已知对于一切实数 x , 有 f ( x )
sinx , 试
证 a1 பைடு நூலகம் 2a2 + ∃+ nan 1. 分析 问题中的条件与结论不属于同一类
型的函数, 如果能找出它们之间的关系, 无疑能帮
助解决此题, 可 以看出: a1 + 2a2 + ∃ + nan = f ∀( 0) . 于是问题可以转化为证明 f ∀( 0) 1.
证明不等式是高等数学中比较常见的题型,
也是较难解决的问题. 在教学过程中学生掌握的
方法有限, 从而影响了解题, 本文将通过十一种思
路对不等式证明展开讨论, 以飨读者。
1. 判别式法
例 1 设 f ( x ) 、g ( x ) 在区间[ a, b] 上连续,
b
试证明( f ( x) g( x )dx )2 a
ax cosx
=
a -
lna sin
,
又因
a
>
e,
& ( x,y),0 < x < y <
2,
有 ax <
a
,
1 sin
>
1, lna >
1,
得到 ax lna <
a s
lna in
,
-
ax lna > -
a lna s in
,
因此 ay - ax < - ax lna, co sy - cosx
即 ay - ax > ( cosx - co sy ) ax lna.
b
证明 利用定积 分的性质易知 [ f ( x ) a
tg ( x ) ] 2 dx ! 0,
b
b
b
即t2 g2 ( x) dx - 2t f (x ) g( x )dx + f 2 ( x )dx
a
a
a
!0. 这是关于 t 的二次多项式不等式, 因此, 判别式
b
b
b
= 4( f ( x) g( x )dx )2 - 4 f 2 ( x) dx g2 ( x )dx
令 f ∀( x ) = 0, 解得 x = # 1, 其中只有 x = 1
在区间( 0, + + ) 内, 由limf ( x ) = lim x 5 - 5x - 4
x %1
x %1
= f ( 1) , 有 f ( x ) 在 x = 1 点连续. 因当 0 < x <
1 时, f ∀( x ) < 0, 则 f ( x ) 在( 0, 1) 上为减函数; 当
4. 利用拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和
可导函数的一阶导数符号之间的关系. 例 4 证明:
当x >
0,
x 1+
x
<
ln( 1 + x ) <
x.
分析 所证不等式中的函数 ln( 1 + x ) 的导
数为1
1 +
x
,
即所证不等式中含有函数及其导数,
因而可用拉格朗日中值定理试之. 由于 ln1 = 0,
明不等式中所构造辅助函数的方法相同, 但由于
f ( x ) 在( 0, + + ) 上不是单调函数( 因对任意 x 1,
x 2 > 0, 且 x 1 > x 2 , f ( x 1 ) - f ( x 2 ) = ( x 1 5 - x 2 5 )
- 5( x 1 - x 2) , 不能判断 f ( x ) 的符号) , 所以不能
sinx . 所 以 f ∀( 0)
lim
x %0
sinx x
=
1.
即 a1 + 2a2 + ∃+ nan 1. 说明 用导数定义证明不等式, 此方法适用
范围不广, 解题时应仔细观察问题中的条件与结 论之间的关系. 有些不等式符合导数的定义, 因此
可利用导数的定义将其形式转化, 以达到化繁为
简的目的.
+ x ] ( x > 0) 上连续, 在( 1, 1+ x ) 上可导, f ( t) 在
[ 1, 1+ x ] ( x > 0) 上满足拉格朗日条件, 于是存在
&
( 1, 1+
x)
,
使
f
(
1+ x) (1+ x
-f )-
( 1) 1
=
f ∀(
)=
1,
因 f ( 1+ x ) - f ( 1) = ln( 1+ x ) - ln1 = ln( 1
a
a
a
0,
b
即( f ( x) g(x ) dx ) 2 a
b
b
f 2 ( x )dx g2 ( x) dx.
a
a
说明 当积 分式含 有平方 项 f 2 (x) 或
f ∀2 ( x ) 的情形适用.
2. 三角函数法
例 2 设函数 f ( x ) 、g( x ) 在[ a、b] 可积, 且
b
f ( x ) < 1, g( x ) < 1, 试 证 [ f ( x ) g( x ) # a