第一章线性方程组的消元法和矩阵的初等变换

2 化简： 结为 （）化简：这样方程组就归
′ ′ ′ a22 x2 +L+ a2n xn = b2 L L L L L L L a′ x +L+ a′ x = b′ m2 2 mn n m
2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组) 、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)
1 ） （ 分析系数 （）化简 2 3 化为阶梯型方程组： （）化为阶梯型方程组： 重复上面的过程 方程组可以变成 ，
c11 x1 + c12 x2 +L+ c1n xn = d1 c22 x2 +L+ c2n xn = d2 L L L L L L L crr xr +L+ crn xn = dr 0 = dr+1 0=0 L L L L L L L 0=0
2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组) 、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)
a11 x1 + a12 x2 +L+ a1n xn = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 考查方程组 L L L L L L L L L L L L am1 x1 + am2 x2 +L+ amn xn = bm （ 分析系数 1 ）
Cij A A 3 1 2 x5 如何选择非负数 x1 , x2 , x3 , x4 , A , x6 45 58 92 B1
使之满足方程组 ① 和 ② 58 72 B2 并使总运费最少 .
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几个线性方程联立在一起，称为线性方程组， 几个线性方程联立在一起，称为线性方程组，若未知 数的个数为 n ，方程个数为 m ，则线性方程组可以写成如 下形式 ：
(2)
c . 其中 为任意常数
小结： 小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法． ．上述解方程组的方法称为消元法． 消元法 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 ．始终把方程组看作一个整体变形， 下三种变换 （1）交换方程次序； ）交换方程次序； 相互替换） （ i 与 j 相互替换） （2）以不等于０的数乘某个方程； ）以不等于０的数乘某个方程； （以 i × k 替换 i ） （3）一个方程加上另一个方程的 倍． ）一个方程加上另一个方程的k倍 （以 i + k j 替换 i ） 定义1 定义 上述三种变换均称为线性方程组的初等变换 ．
第一章 线性方程组的消元法 和矩阵的初等变换
线性方程组的消原法 矩阵的初等变换
第一节 线性方程组的消元法
一、线性方程组的基本概念
1. 线性方程组的定义
引例 有三家生产同一种产品的工厂 A1 、A2 、 A3， 其年产量分别为40t ，20t 和 10t ，该产品每年有 两个用户 B1、B2 ，其用量分别为 45t 和 25t
II 当 0 分两种情形： （ ） dr+1 = 0 或方程组中根本没有 = 0 的方程，分两种情形：
II 当 0 分两种情形： （ ） dr+1 = 0 或方程组中根本没有 = 0 的方程，分两种情形： i）r = n . 这时阶梯型方程组为： 这时阶梯型方程组为： c11 x1 + c12 x2 +L+ c1n xn = d1 c22 x2 +L+ c2n xn = d2 L L L L L L L cnn xn = dn
2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组) 、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)
a11 x1 + a12 x2 +L+ a1n xn = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 考查方程组 L L L L L L L L L L L L am1 x1 + am2 x2 +L+ amn xn = bm
a11x1 + a12 x2 + L+ a1n xn = b1 a x + a x + L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 L L L L L L L L L L L L am1x1 + am2 x2 + L+ amn xn = bm
中 , j , 其 aij (i = 1,2,L m； = 1,2,L n) 称 系 ， 为 数 bi (i = 1,2,L m) 称 第 i 个 程 常 项. , 为 方 的 数
2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组) 、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)
1 ） （ 分析系数 2 （）化简 3 化为阶梯型方程组： （）化为阶梯型方程组：
c11 x1 + c12 x2 +L+ c1n xn = d1 c22 x2 +L+ c2n xn = d2 L L L L L L L crr xr +L+ crn xn = dr 0 = dr+1 0=0 L L L L L L L 0=0 I （ ）有 0 = dr+1 , 而dr+1 ≠ 0 . 这时原方程组无解 ；
2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组) 、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)
a11 x1 + a12 x2 +L+ a1n xn = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 考查方程组 L L L L L L L L L L L L am1 x1 + am2 x2 +L+ amn xn = bm
Cij
A 1
45 58
A 2
58 72
A3
92 36
B1 B2
不妨假设每吨货物每公里的运费为 1 元 ，问各厂 的产品如何调配才能使总运费最少？
解
设各厂到各用户的产品数量如表 1-2
表 1-2
A 1
A2 x2
A3 x3 x6
B1 B2
x1
x4
x5
依题意，3个厂的总产量和用户的总用量相等：
x1 + x4 = 40 , x2 + x5 = 20 , x3 + x6 = 10
1 2
(B1 )
3
4 1
2
2−3 3 − 21 4
− 31
3
4
(B2 )
1 2 × 2 3 +52 4 −32
x1 + x2 − 2x3 + x4 = 4, x − x + x = 0, 2 3 4 2x4 = −6, x4 = −3, x1 + x2 − 2x3 + x4 = 4, x − x + x = 0, 2 3 4 x4 = −3, 0 = 0,
(1) (2)
的左右两边相加得到如下的新线性方程：
( a11 + a12 ) x1 +( a12 + a22 ) x2 +L+( a21 + a2n ) xn = ( b1 +b2 )
称为原来两个线性方程的和。
线性方程乘常数 将线性方程
a1x1 + a2 x2 +L+ an xn = b,
两边同乘以已知常数
3．上述三种变换都是可逆的． ．上述三种变换都是可逆的．
(A 若 )
(A 若 )
i
↔j
i
(B), 则 ) (B
i i
↔j
(A);
×k +k j
(B), 则 ) (B
(B), 则 ) (B
÷ k (A);
若 ) (A
i
ห้องสมุดไป่ตู้
i
− k j (A).
由于三种变换都是可逆的， 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程 组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同 组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同 解变换． 解变换． 定理1 线性方程组的初等变换总是把方程组变成 定理 同解方程组 ．
+( λ a1n + λ2a2n ) xn = λ b + λ2b2 1 1 1
(3)
二、线性方程组的消元法
1、线性方程组的初等变换 例1 求解线性方程组
2x1 − x2 − x3 + x4 = 2, x + x − 2x + x = 4, 1 2 3 4 4x1 − 6x2 + 2x3 − 2x4 = 4, 3x1 + 6x2 − 9x3 + 7x4 = 9,
1 分析系数： ） L （ 分析系数：若a11 、a21 、 、am1 全为0，则 x1 可取任何值 ，
L 方程组转换成 x2 ， ，xn 的方程组来解，
），使 若 x1 的系数不全为0，则利用变换 1 （ ），使a11 ≠ 0 .
ai1 2 化简：利用初等变换（ 3 ），分别把第一个方程 （）化简：利用初等变换（ ），分别把第一个方程 − 的 倍 a11 则方程组可以变成： 加到第i 个方程，则方程组可以变成：
若常数项均为0，则称方程组为齐次线性方程组， 若常数项均为 ，则称方程组为齐次线性方程组， 否则 ，称为非齐次线性方程组 .
2.
线性方程组的线性组合
线性方程的加法： 线性方程的加法：将两个线性方程
a11x1 + a12 x2 +L+ a1n xn = b , 1 a21x1 + a22 x2 +L+ a2n xn = b2
1 2
3
÷2
(1)
4
解
1↔ 2 3 ÷2
(1)
x1 + x2 − 2x3 + x4 = 4, 2x − x − x + x = 2, 1 2 3 4 2x1 − 3x2 + x3 − x4 = 2, 3x1 + 6x2 − 9x3 + 7x4 = 9, x1 + x2 − 2x3 + x4 = 4, 2x − 2x + 2x = 0, 2 3 4 − 5x2 + 5x3 − 3x4 = −6, 3x2 − 3x3 + 4x4 = −3,
x1 + x4 = 40 , x2 + x5 = 20 , x3 + x6 = 10 x1 + x2 + x3 = 45 , x4 + x5 + x6 = 25
再来看总运费，由表1-1：
1 2
总运费 S = 45x1 + 58x2 + 93x3 + 58x4 + 72x5 + 36x6 表 1-1 于是，题目要解决的问题是：
1 2
3
4 1 2
3
(B3 )
↔4 4 −2 3
3
(B4 )
4
用“回代”的方法求出解： 回代”的方法求出解：
x1 = x3 + 4 于是解得 x2 = x3 + 3 其中 3为任意取值 x . x = −3 4
x ( ) 或令 3 = c, 方程组的解也称为通解可记作
x1 c + 4 x2 c + 3 x = = , x3 c x −3 4
1 ） （ 分析系数
ai1 2 化简：利用初等变换（ 3 ），分别把第一个方程 （）化简：利用初等变换（ ），分别把第一个方程 − 的 倍 a11 则方程组可以变成： 加到第i 个方程，则方程组可以变成： a11 x1 + a12 x2 +L+ a1n xn = b1 ′ ′ ′ a22 x2 +L+ a2n xn = b2 L L L L L L L ′ ′ ′ am2 x2 +L+ amn xn = bm
λ 称为原来两个方程(1)和(2)的一个 线性组合， 1, λ2 称为这个线性方程的组合系数。 将(1)和(2)看作一个线性方程组，其任意组解一定是 线性组合(3)的解。对给定的两个线性方程组(I)和(II)， 如果(II)中每个方程都是(I)中方程的线性组合，就称 (II)是(I)的线性组合。 若方程组(I)和(II)互为线性组合，则称这两个方程组 等价， 等价的线性方程组一定同解。 将方程组(I)变成 方程组(II)的过程称为同解变换。
( λa1 ) x1 + ( λa2 ) x2 +L+( λan ) xn = λb.
线性方程的线性组合 将线性方程(1)和(2)分别称两个已知常数
得到一个新的线性方程： λ，
线性方程与常数相乘，也称为方程的数乘。
λ , λ2 1
再将所得的两个方程相加，得到新方程：
( λ1a11 + λ2a21 ) x1 + ( λ1a12 + λ2a22 ) x2 +L
1− 由各产地 A 到各用户Bj 的距离为Cij ，如表 − 1所示， i
引例 有三家生产同一种产品的工厂 A1 、A2 、 A3， 其年产量分别为40t ，20t 和 10t ，该产品每年有 两个用户 B1、B2 ，其用量分别为 45t 和 25t
1− 由各产地 A 到各用户Bj 的距离为Cij ，如表 − 1所示， i 表 1-1