幂函数、指数函数和对数函数-对数及其运算法则-教案

幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案

教学目标

1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质．

2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程．

3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题．

教学重点与难点

重点是对数定义、对数的性质和运算法则．难点是对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导．

教学过程设计

师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍

生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+％）20=，所以20年后国民生产总值是原来的倍．

师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指数问题．

师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍

师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍．列方程

=4．

我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题．

师：（板书）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作

logaN=b，

其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式．

师：请同学谈谈对对数这个定义的认识．

生：对数式logaN实际上就是指数式中的指数b的一种新的记法．

生：对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算．

（此刻并不奢望学生能说出什么深刻认识，只是给他们自己一个去思维认识对数这个定义的机会．）

师：他们说得都非常好．实际上ab=N这个式子涉及到了三个量a，b，N，由方程的观点可得“知二求一”．知道a，b可求N，即前面学过的指数运算；知道b（为自然数时），N可求a，即初中学过的开

记作logaN=b．因此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为logaN，读作：以a为底N的对数．请同学注意这种运算的写法和读法．

师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深入认识并记忆对数这个概念，请同学们填写下列表格．（打出幻灯）

式子

名称

a

b

N

指数式

对数式

ab=N

logaN=b

练习1 把下列指数式写成对数形式：

练习2 把下列对数形式写成指数形式：

练习3 求下列各式的值：

（两名学生板演练习1，2题（过程略），一生板演练习三．）

因为22=4，所以以2为底4的对数等于2．

因为53=125，所以以5为底125的对数等于3．

（注意纠正学生的错误读法和写法．）

师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么

生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R．

师：N∈R（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．）

生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数．

师：要特别强调的是：零和负数没有对数．

师：定义中为什么规定a＞0，a≠1

（根据本班情况决定是否设置此问．）

生：因为若a＜0，则N取某些值时，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，b不存在，如log02不存在；当N为0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N不为1时，b不存在，如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1．

（此回答能培养学生分类讨论的数学思想．这个问题从ab=N出发回答较为简单．）

师：下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数．

师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e 时，叫做自然对数，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈28……．

练习4 计算下列对数：

lg10000，，2log24，3log327，10lg105，5log51125．

师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想．

生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4．

生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27．

生：10lg105=105．

生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125．

师：非常好．这就是我们下面要学习的对数恒等式．

师：（板书）

alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线）

（再次鼓励学生，并提出更高要求，给出严格证明．）

（学生讨论，并口答．）

生：（板书）

证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=alogaN=N．

师：你是根据什么证明对数恒等式的

生：根据对数定义．

师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指数等式，从而转化成对数等式，再进行证明．

师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件．

生：a＞0，a≠1，N＞0．

师：接下来观察式子结构特点并加以记忆．

（给学生一分钟时间．）

师：（板书）2log28=2log42=

生：2log28=8；2log42=2．

师：第2题对吗错在哪儿

师：（继续追问）在运用对数恒等式时应注意什么

（经历上面的错误，使学生更牢固地记住对数恒等式．）

生：当幂的底数和对数的底数相同时，才可以用公式

alogaN=N．

（师用红笔在两处a上重重地描写．）

师：最后说说对数恒等式的作用是什么

生：化简！

师：请打开书74页，做练习4．

（生口答．略）

师：对对数的定义我们已经有了一定认识，现在，我们根据定义来进一步研究对数的性质．师：负数和零有没有对数并说明理由．

生：负数和零没有对数．因为定义中规定a＞0，所以不论b是什么数，都有ab＞0，这就是