概率及其计算知识点及题型归纳整理

概率及其计算知识点及题型归纳整理
知识点精讲
一、必然事件、不可能事件、随机事件
在一定条件下：
①必然要发生的事件叫必然事件；
②一定不发生的事件叫不可能事件；
③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。

二、概率
在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。

对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0.
三、基本事件和基本事件空间
在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。

四、两个基本概型的概率公式
1、古典概型
条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同
()(A)=()A card P A card =Ω包含基本事件数基本事件总数
2、几何概型
条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为A μ. ()P A =A μμΩ。

五、互斥事件的概率
1、互斥事件
在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。

事件A 与事件B 互斥，则
()()()P A B P A P B =+U 。

2、对立事件
事件A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作B A =或A B =。

()()1P A p A =- 。

3、互斥事件与对立事件的联系
对立事件必是互斥事件，即“事件A ，B 对立”是”事件A ，B 互斥“的充分不必要条件。

题型归纳及思路提示
题型1 古典概型
思路提示
首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件A 所包含的基本事件数；最后计算()A P A =包含基本事件数
基本事件总数。

例13.1 设平面向量(),1m a m =，()2,n b n = ，其中{}, 1.2,3,4m n ∈
（1）请列出有序数组(),m n 的所有可能结果；
（2） 若“使得()m m n a a b ⊥-成立的(),m n 为事件A ，求事件A 发生的概率。

分析：两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，从而可得m 与n 的关系，再从以上(),m n 的16个有序数组中筛选出符合条件的，即得事件A 包含的基本事件个数。

解析：（1）由{}, 1.2,3,4m n ∈，有序数组(),m n 的所有可能结果为()1,1 ，()()()1,2,1,3,1,4，()()()()2,1,2,2,2,3,2,4，()()()()3,1,3,2,3,3,3,4， ()()()()4,1,4,2,4,3,4,4 共16个。

（2）因为(),1m a m =，()2,n b n =，所以()2,1m n a b m n -=-- .又()m m n a a b ⊥-，得
()(),12,10m m n ⋅--= ，
即22m 10m n -+-= ，所以()21n m =- 。

故事件A 包含的基本事件有()2,1和()3,4，共2个，由古典概型概率计算公式得()21168
P A == 。

评注：①解题时，将所有基本事件全部列出是避免重复和遗漏的有效方法，注意在列举时，必须按照某一顺序来列举；②本题以向量为载体，利用向量的运算和关系等向量的基本知识解决概率问题，是将两类知识结合得较好的一道题目。

变式1 电子钟一天显示的时间从00：00~23：59，每一时间都由4个数字组成，则一天中任取一时刻显示的4个数字之和为23的概率为（ ） A.1180 B. 1288 C.1360 D.1480 变式2 连抛两次骰子的点数分别为,m n ，记向量(),a m n =r ，向量()1,1b =-r ，a r 与b r 的夹角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
的概率是（ ） A. 512 B. 12 C.712 D. 56
例13.2 某艺校在一天的6节课中随机安排语文，数学，外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为____________（用数字作答）。

解析： 6节课随机安排，共有66720A =种不同的方法。

课表上相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课，
有以下三种情况：①三门文化课间有2节艺术课：有32133272A A A =种方法；
②三门文化课间有1节艺术课：有31133323216A C A A =种方法；③三门文化课间有0节艺术课：有3434144
A A =种方法。

共有72+216+144=432种符合题意的安排方法，故所求概率为4323=7205
P = 。

变式1 （2012上海理11）三位同学参加跳高，跳远，铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是______________（结果用最简分数表示）。

变式2 甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定：各自独立地从1到6号景点中任选4个进行
游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（ ） A. 136 B. 19 C. 536 D. 16 变式3 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号1，2，3，…，18的18名火炬手，若从中任选3人，则选出的3名火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ）
A. 151
B. 168
C. 1306
D. 1408
题型2 几何概型的计算
思路提示
首先确定事件类型为几何概型并明确其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算出基本事件区域的数值和事件A 包含区域数值 ，最后计算
(A)A P =事件区域数值（长度、面积、体积或时间）基本事件区域数值（长度、面积、体积或时间）
，解几何概型问题的关键是画图、求面积。

例13.3 （2012辽宁理10）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别为线段AC,CB 的长，则该矩形面积小于322cm 的概率为（ ）
A. 16
B. 13
C. 23
D. 45
解析： 设AC x =，则12CB x =-，且012x << ，所以()12x x -表示矩形的面积，令()1232x x -≤，解得：4x <或8x >，如图13-1所示，
故所示的概率为442123
P +== .故选C . 变式1 []22,log A t =，{}214240B x x x =-+≤ ，,x t R ∈ ，A B ⊆.
（1）定义区间[]
,a b 的长度为b a -，A 的长度为3，则t =_________.
（2）某函数()f x 的值域为B ，且()f x A ∈ 的概率不小于0.6，则t 的取值范围为_______.
例13.4 （2012福建理6）如图13-2所示，在边长为1 的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A.14
B. 15
C. 16
D. 17
解析：由题意可知，阴影部分的面积是由函数,y x y x =
=围成的几何图形的面积，利用定积分可知： 1100=S xdx xdx -=⎰
⎰阴影 3211200211326x x -= ，又OABC =1S 正方形， 所以由几何概型知，所求的概率为16
P = .故选C . 评注：利用线性规划和积分知识求面积，是解决相关的几何概型问题的常见方法.
变式1 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12 ，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14
，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为_____________. 变式2 （2012北京石景山一模理13）如图13-3所示，圆O ：222x y π+=内正弦曲线sin y x =与x 轴
围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则该点A 落在区域M 内的概率是__________.
变式3 如图13-4所示，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆，
在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A. 2
1π- B. 112π- C.2π D. 1π
例13.5 已知()[]2,,0,4f x x ax b a b =-+-∈ ,,a b R ∈，则()10f > 的概率为______.
解析 几何概型{
404,0,a b A a b ≤≤≤≤Ω⊆Ω->：且-1+ 作出Ω，A 的区域图（如图13-5所示）. 4416μΩ=⨯= ,193322
A μ=⨯⨯= ,则()9921632A P A μμΩ===.
变式1 =A {}10x x -≤≤
，{}|210,02,13
x B x ax b a b =+⋅-<≤≤≤≤ （1）,a b N ∈，求A B ⋂≠∅ 的概率；
（2）,a b R ∈ ，求=A B ⋂∅的概率.
例13.6 甲乙两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内能相见的概率。

分析 由题意知，当甲乙两人到达目的地的时间相差小于或等于40分钟时两人便能在约定时间内相见。

解析 设甲乙两人分别于x 时和y 时到达约定地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当2233
x y -≤-≤ .记20：00为0时，21：00为1时，两人到达约见地点的所有可能时刻(),x y 满足0101
x y ≤≤⎧⎨<≤⎩，结果可用如图13-6所示的单位正方形（包括边界）内的点来表示，两人能在约定时间内相见的时刻 (),x y 的所有可能满足2323
x y y x ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩ ， 可用 如图13-6所示的阴影部分（包括边界）来表示。

故所求概率为P =11111282331=19
⎛⎫⨯-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭⨯ . 评注：对问题中事件模型的认识与转化是解决问题的关键，这里涉及两个人的时间转化为二维面积问题计算.
变式1 甲乙两艘轮船都要停靠在同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达.如果甲乙
两船停靠泊位的时间分别为4小时和2小时，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。

变式2 小明家的晚报在下午5：30~ 6：30之间的任何一个时刻随机地被送到，小明一家人在下午6：00~7：00之间的任何一个时刻随机地开始晚餐。

（1）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大？（不用计算）.
（2）晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？
有效训练题
1、甲乙丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 16
2、从{}1,2,3,4,5 中随机选取一个数为a ，从{}1,2,3 中随机选取一个数为b ，则b a >的概率是（ ） A. 45 B. 35 C. 25 D. 15
3、两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m 的概率为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 23
4、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为,X Y ，则2log 1X Y = 的概率为（ ）M A. 16 B. 536 C. 112 D. 12
5、在边长为18cm 的线段AB 上任取一点 M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于362cm 与812cm 之间的概率为（ ） A. 56 B. 12 C. 13 D. 16
6、甲乙分别从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（ ） A.318 B. 418 C. 518 D. 618
7、从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得的是黑桃”，则概率()P A B ⋃=____________（结果用最简分数表示）.
8、一个正三角形的外接圆的半径为1 ，向该圆内随机投一点P ，点 P 恰好落在正三角形外的概率是___________.
9、已知函数()()2
11f x ax b x b =+++- ，且()0,3a ∈ ，则对于任意的b R ∈ ，函数()()F x f x x =-总有两个不同的零点的概率是_________.
10、现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是_____________.
11、在平面直角坐标系xOy 中，平面区域W 中的点的坐标(),x y 满足22
5x y +≤ ，从区域W 中随机取点(),M x y .
（1）,x z y z ∈∈ ，求点M 位于第四象限的概率；
（2）已知直线l ：()0y x b b =-+>与圆O ：225x y += y x b ≥-+ 的
概率。

12、某商场电梯从1层出发后可以在2，3，4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2，3，4层下电梯是等可能的，求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率。