概率及其计算知识点及题型归纳整理

概率及其计算知识点及题型归纳整理

知识点精讲

一、必然事件、不可能事件、随机事件

在一定条件下：

①必然要发生的事件叫必然事件；

②一定不发生的事件叫不可能事件；

③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。

二、概率

在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0.

三、基本事件和基本事件空间

在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。

四、两个基本概型的概率公式

1、古典概型

条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同

()(A)=()A card P A card =Ω包含基本事件数基本事件总数

2、几何概型

条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为A μ. ()P A =A μμΩ

。 五、互斥事件的概率

1、互斥事件

在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A 与事件B 互斥，则

()()()P A B P A P B =+U 。 2、对立事件

事件A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作B A =或A B =。()()1P A p A =- 。

3、互斥事件与对立事件的联系

对立事件必是互斥事件，即“事件A ，B 对立”是”事件A ，B 互斥“的充分不必要条件。

题型归纳及思路提示

题型1 古典概型

思路提示

首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件A 所包含的基本事件数；最后计算()A P A =包含基本事件数

基本事件总数。

例13.1 设平面向量(),1m a m =，()2,n b n = ，其中{}, 1.2,3,4m n ∈

（1）请列出有序数组(),m n 的所有可能结果；

（2） 若“使得()m m n a a b ⊥-成立的(),m n 为事件A ，求事件A 发生的概率。

分析：两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，从而可得m 与n 的关系，再从以上(),m n 的16个有序数组中筛选出符合条件的，即得事件A 包含的基本事件个数。

解析：（1）由{}, 1.2,3,4m n ∈，有序数组(),m n 的所有可能结果为()1,1 ，()()()1,2,1,3,1,4，()()()()2,1,2,2,2,3,2,4，()()()()3,1,3,2,3,3,3,4， ()()()()4,1,4,2,4,3,4,4 共16个。

（2）因为(),1m a m =，()2,n b n =，所以()2,1m n a b m n -=-- .又()m m n a a b ⊥-，得

()(),12,10m m n ⋅--= ，

即22m 10m n -+-= ，所以()21n m =- 。故事件A 包含的基本事件有()2,1和()3,4，共2个，由古典概型概率计算公式得()21168

P A == 。 评注：①解题时，将所有基本事件全部列出是避免重复和遗漏的有效方法，注意在列举时，必须按照某一顺序来列举；②本题以向量为载体，利用向量的运算和关系等向量的基本知识解决概率问题，是将两类知识结合得较好的一道题目。

变式1 电子钟一天显示的时间从00：00~23：59，每一时间都由4个数字组成，则一天中任取一时刻显示的4个数字之和为23的概率为（ ） A.1180 B. 1288 C.1360 D.1480 变式2 连抛两次骰子的点数分别为,m n ，记向量(),a m n =r ，向量()1,1b =-r ，a r 与b r 的夹角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦

的概率是（ ） A. 512 B. 12 C.712 D. 56

例13.2 某艺校在一天的6节课中随机安排语文，数学，外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为____________（用数字作答）。

解析： 6节课随机安排，共有66720A =种不同的方法。课表上相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课，

有以下三种情况：①三门文化课间有2节艺术课：有32133272A A A =种方法；

②三门文化课间有1节艺术课：有31133323216A C A A =种方法；③三门文化课间有0节艺术课：有3434144

A A =种方法。共有72+216+144=432种符合题意的安排方法，故所求概率为4323=7205

P = 。

变式1 （2012上海理11）三位同学参加跳高，跳远，铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是______________（结果用最简分数表示）。

变式2 甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定：各自独立地从1到6号景点中任选4个进行

游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（ ） A. 136 B. 19 C. 536 D. 16 变式3 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号1，2，3，…，18的18名火炬手，若从中任选3人，则选出的3名火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ）

A. 151

B. 168

C. 1306

D. 1408

题型2 几何概型的计算

思路提示

首先确定事件类型为几何概型并明确其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算出基本事件区域的数值和事件A 包含区域数值 ，最后计算

(A)A P =事件区域数值（长度、面积、体积或时间）基本事件区域数值（长度、面积、体积或时间）

，解几何概型问题的关键是画图、求面积。 例13.3 （2012辽宁理10）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别为线段AC,CB 的长，则该矩形面积小于322cm 的概率为（ ）

A. 16

B. 13

C. 23

D. 45

解析： 设AC x =，则12CB x =-，且012x << ，所以()12x x -表示矩形的面积，令()1232x x -≤，解得：4x <或8x >，如图13-1所示，

故所示的概率为442123

P +== .故选C . 变式1 []22,log A t =，{}214240B x x x =-+≤ ，,x t R ∈ ，A B ⊆.

（1）定义区间[]

,a b 的长度为b a -，A 的长度为3，则t =_________.

（2）某函数()f x 的值域为B ，且()f x A ∈ 的概率不小于0.6，则t 的取值范围为_______.

例13.4 （2012福建理6）如图13-2所示，在边长为1 的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）