2019年全国高中数学联赛A卷

a 2.若实数集合{1,2,3,x }的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值为
3.平面直角坐标系中,e
是单位向量,向量a
满足2a e ⋅=
,且2||5||a a te ≤+
对任意实数t 成立,则||a
的取值范围是4.设A ,B 为椭圆Γ的长轴顶点,E ,F 为Γ的两个焦点,|AB |=4,|AF |=23,P 为Γ上一点,满足|PE |·|PF |=2,则△PEF 的面积为
5.在1,2,3,……,10中随机选出一个数a ,在-1,-2,-3,……,-10中随机选出一个数b ,则2a b +被3整除的概率为
6.对任意闭区间I ,用M I 表示函数y =sinx 在I 上的最大值,若正数a 满足M [0,a ]=2M [a ,2a ],则a 的值为
7.如图,正方体ABCD -EFGH 的一个截面经过点A ,C 及棱EF 上一点K ,且将正方体分成体积比为3:1的两部分,则
EK FK
的值为
8.将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行,拼成一个8位数(首位不为0),则产生的不同的8位数的个数为二解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
9(本题分16分)在△ABC 中,BC =a ,CA =b ,AB =c ,若b 是a 与c 的等比中项,且sinA 是sin (B -A )与sinC 的等差中项,求cosB 的值
10.(本题满分20分)在平面直角坐标系xOy 中，圆Ω与抛物线Γ:y 2
=4x 恰有一个公共点，且圆Ω与x 轴相切于Γ的焦点F ，求圆Ω的半径
11（本题满分20分）称一个复数数列{z n }为“有趣的”,若|z 1|=1且对任意正整数n ,均有22
11420n
n n n z z z z ++++=,求最大
的常数C ，使得对一切有趣的数列{z n }及任意正整数m ,均有123||m z z z z C
++++≥ 2019年全国高中数学联赛A 卷
加试部分
一、(本题满分40分)如图,锐角△ABC 中,M 是BC 边的中点,点P 在△ABC 内,使得AP 平分∠BAC ,直线MP 与△ABP ,△ACP 的外接圆分别相交于不同于点P 的两点D ,E .证明:若DE =MP ,则BC =2BP
二、(本题满分40分)设整数a 1,a 2,a 3,…,a 2019满足1=a 1≤a 2≤a 3≤…≤a 2019=99,
记222
12201913243520172019()()
f a a a a a a a a a a a =+++-++++ 求f 的最小值f 0,并确定使f =f 0成立的数组(a 1,a 2,…,a 2019)的个数
三、（本题满分50分）设m 为整数,|m |≥2.整数数列a 1,a 2,……满足：a 1,a 2不全为零，且对任意正整数n ,均有
21n n n
a a ma ++=-求证：若存在整数r ,s (r >s ≥2)使得a r =a s =a 1,则r -s ≥|m |
四、（本题满分50分）设V 就空间中2019个点构成的集合,其中任意四点不共面.某些点之间连有线段,记E 为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n ,满足条件:若E 至少有n 个元素,则E 一定含有908个二元子集,其中每个二元子集中的两条线段有公共端点,且任意两个二元子集的交集为空集.
a 答案:
916
解:由条件知18
9a a =,故916
3a a =,所以9log (3)16
a a =
2.若实数集合{1,2,3,x }的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值为答案:32
-
解:假如x ≥0,则最大最小元素之差不超过{3,x },而所有元素之和大于max {3,x },不符合条件,帮x <0,即x 为最小元素，
于是3-x =6+x ,解得32x =
3.平面直角坐标系中,e 是单位向量,向量a 满足2a e ⋅= ,且2||5||a a te ≤+ 对任意实数t 成立,则||a
的取值范围是
答案:
解:不妨设(1,0)e = ,由于2a e ⋅= ,可设(2,)a s = ,则对任意实数t ,有2
24||5||s a a te +=≤+= ,这等价于
2
45||s s +≤,解得||[1,4]s ∈,即2
[1,16]s ∈,于是||a =
4.设A ,B 为椭圆Γ的长轴顶点,E ,F 为Γ的两个焦点,|AB |=4,|AF |=2,P 为Γ上一点,满足|PE |·|PF |=2,则△PEF 的面积为答案:1
解:不妨设平面直角坐标系中Γ的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>.根据条件得2a =|AB |=4,||2a AF =+
可知a =2,b =1,且|EF |==,由椭圆的定义知|PE |+|PF |=2a =4,结合|PE |·|PF |=2得|PE |2
+|PF |2
=
(|PE |+|PF |)2
-2|PE |·|PF |=12=|EF |2
,所以∠EPF 为直角,进而S △PEF =|PE |·|PF |=1
5.在1,2,3,……,10中随机选出一个数a ,在-1,-2,-3,……,-10中随机选出一个数b ,则2a b +被3整除的概率为答案：
37
100
解：数组(a ,b )共有10*10=100种等概率的选法
考虑其中2a b +被3整除的选法N .
若a 被3整除,则b 也被3整除,此时a ,b 各有3种选法,这样的(a ,b )有3*3=9组,若a 不被3整除,则a 2
≡1(mod 3),从而b ≡-1(mod 3),此时a 有7种选法,b 有4种选法,这样的(a ,b )有7*4=28组.因此N =9+28=37.于是所求的概率为37
100
6.对任意闭区间I ,用M I 表示函数y =sinx 在I 上的最大值,若正数a 满足M [0,a ]=2M [a ,2a ],则a 的值为答案:5136
12
ππ或
解:假如0<a ≤
2π,则由正弦函数图象的性质得0<M [0,a ]=1,故M [a ,2a ]=1
2,于是存在非负整数k ,使得51322612k a k ππππ
+≤≤+①,且①中两处≤至少有一处取到等号,当k =0时,得5
136
12a ππ=或2a=,经检验,a =513
612
ππ,均满足条件.当k ≥1时,由于5136
12ππ<
,故不存在满足①的a .综上,a 的值为513612
π或
7.如图,正方体ABCD -EFGH 的一个截面经过点A ,C 及棱EF 上一点K ,且将正方体分成体积比为3:1的两部分,则EK FK
的值为
解:记α为截面所在平面,延长AK ,BF 交于点P ,则P 在α上,故直线CP 是α与平面BCGF 的交线,设CP 与FG 交于点L ,则四边形AKLC 为截面.
因平面ABC 平行于平面KFL ,且AK ,BF ,CL 共点P ,故ABC -KFL 为棱台,不妨设正方体棱长为1,则正方体体积为1,结合条件知棱台ABC -KFL 的体积V =14
设PF =h ,则
1
P ABC P KFL KF PF h
V V V AB PB h --==-==
+,注意到PB ,PF 分别是棱锥P -ABC 与棱锥P -KFL 的高,于是32
21111
331··FL PF=(h+1)1466616(1)P ABC P KFL h h h V V V AB BC PB KF h h --⎛⎫++⎛⎫==-=-⋅⋅-
= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
化简得3h 2
=1,故h 1
EK AF FK PF h
===8.将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行,拼成一个8位数(首位不为0),则产生的不同的8位数的个数为答案:498
解:将2,0,1,9,20,19首位不为0的排列的全体记为A ,易知|A |=5*5!=600(这里及以下,|X |表示有限集X 的元素个数),将A 中的2的后一项是0,且1的后一项是9,的排列的全体记为B ;A 中2的后一项是0,但1的后一项不是9的排列的全体记为C ,A 中2的后一项不是0,但1的后一项是9的排列的全体记为D ;
易知|B |=4!,|B |+|C |=5!,|B |+|D |=4*4!,即|B |=24,|C |=96,|D |=72,由B 中排列产生的每个8位数,恰对应B 中的2*2=4个排列(这样的排列中,20可与”2,0”互换,19可与”1,9”互换).类似地,由C 或D 中排列产生的每个8位数,恰对应C 或D 中的2个排列,因此满足条件的8位数的个数为
||||||3||||||
|\()|||6001848364984242
B C D B C D A B C D A ++⋃⋃+
+=--=---=二解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
9(本题分16分)在△ABC 中,BC =a ,CA =b ,AB =c ,若b 是a 与c 的等比中项,且sinA 是sin (B -A )与sinC 的等差中项,求cosB 的值
解:因b 是a 与c 的等比中项,故存在q >0满足
b =qa ,
c =q 2
a ,①因sinA 是sin (B -A )与sinC 的等差中项,故
2sinA =sin (B -A )+sinC =sin (B -A )+sin (B +A )=2sinBsinA ………………………………4分
结合正余弦定理，得222sin cos sin 2a A b c a A b B bc
+-===
即2222b c a ac
+-=②
将①代入并化简，可知q 2
+q 4
-1=2q 2
,即q 4
=q 2
+1,所以
21
2
q +=
………………………………12分
进而222422
211
1cos 22
2c a b q q B ac q q
+-+-====10.(本题满分20分)在平面直角坐标系xOy 中，圆Ω与抛物线Γ:y 2
=4x 恰有一个公共点，且圆Ω与x 轴相切于Γ的焦
点F ，求圆Ω的半径
解：易知Γ的焦点F 的坐标为(1,0).设圆Ω的半径为r (r >0)。

由对称性，不妨设Ω在x 轴的上方与x 轴相切于F ，故Ω的方程为(x -1)2+(y -r )2=r 2①
将y 2
=4x 代入并化简①，得2
221204y y ry ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭
，显然y >0,故
2
222
2
1(4)12432y y r y y y ⎛⎫⎛⎫+ ⎪=
-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
②……………………………………5分
根据条件，②恰好有一个正数解y ，该y 值对应Ω与Γ的唯一公共点，考虑22
(4)()(0)32y f y y y +=>的最小值
由平均值不等式知2
2
444443333y y +=++++≥
，从而1()32f y y ≥⋅……………15分
由②有解可知9r ≥
，又假如9r >,因f (y )随y 连续变化,且y →0+
及y →∞时f (y
)可任意大，故②在
⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
及上均有解与解的唯一性矛盾.
综上,仅有r =
13⎛ ⎝⎭
是Ω与Γ的唯一公共点)………………20分
11（本题满分20分）称一个复数数列{z n }为“有趣的”,若|z 1|=1且对任意正整数n ,均有22
11420n
n n n z z z z ++++=,求最大
的常数C ，使得对一切有趣的数列{z n }及任意正整数m ,均有123||m z z z z C ++++≥ 解：考虑有趣的复数数列{z n }。

归纳地可知z n ≠0(n ∈N *
).由条件得
2
*114210,()n n n n z z n N z z ++⎛⎫⎛⎫
++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解得1
n n
z
z +=
因此11
||1
||2
n n n n
z z
z z ++==
故*11
1
11()
2
2
n n n z z n N --=⋅
=
∈①……………………5分
进而有*1111||||1()22
n n n n n n n z z z z n N z ++-+=⋅+
=∈②
记*
123()
m m T z z z z m N =++++∈ 当m =2s （s ∈N *
）时，利用②可得
12212212212
22||||||223
2s
m k k k k k k k k T z z z z z z ∞∞---===≥+-+>
+=∑∑∑…………………10分
当m =2s -1时（s ∈N *
）时，由①、②可知
2121
2221
21
1||||
232s k k s s k s z z
z ∞
+--=-=<=
+⋅∑
故122122121221
222||||||||2232
s
m k k s k k k k k k T z z z z z z z ∞∞-+--===≥+-+->+=-=∑∑∑当m =1
时，11||||1T z ==>
以上表明C =满足要求另一方面，当z 1
=1,2212k k z -=
,2121
12
k k z ++-=(k ∈N *)时，易验证知{z n
}为有趣的数列，此时2112211
1
4lim lim ()lim 113s
s
x k k s s s k k T z z z ++→∞
→∞
→∞
===++=++=∑这表明C
不能大于3
综上，所求的C
为3…………………20分
2019年全国高中数学联赛A 卷
加试部分
说明：
1.评阅卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分
2.如果考生的解答方法和本解答不同只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次一、(本题满分40分)如图,锐角△ABC 中,M 是BC 边的中点,点P 在△ABC 内,使得AP 平分∠BAC ,直线MP 与△ABP ,△ACP 的外接圆分别相交于不同于点P 的两点D ,E .证明:若DE =MP ,则BC =2BP
证明:延长PM 到点F ,使得MF =ME ,连接BF ,BD ,CE 由条件可知∠BDP =∠BAP =∠CAP =∠CEP =∠CEM ……………………10分因为BM =CM 且EM =FM ,所以BF =CE 且BF ∥CE 于是∠F =∠CEM =∠BDP ,进而BD =BF ……………………20分又DE =MP ,故DP =EM =FM
于是在等腰△BDF 中,由对称性得BP =BM ,从而BC =2BM =2BP
……………………40分
二、(本题满分40分)设整数a 1,a 2,a 3,…,a 2019满足1=a 1≤a 2≤a 3≤…≤a 2019=99,
记222
12201913243520172019()()
f a a a a a a a a a a a =+++-++++ 求f 的最小值f 0,并确定使f =f 0成立的数组(a 1,a 2,…,a 2019)的个数解：由条件知
201722222
1
2
2018
2019
2
1
2()i i i f a a a
a
a
a +==++++
-∑①
由于a 1,a 2及a i +2-a i (i =1,2,…,2016)均为非负整数,故有22
1122,a a a a ≥≥且()2
22(1,2,,2016)
i i i i a a a a i ++-≥-= 于是
20162016
222
1
2
212220172018
1
1
()()i i i i i i a a a a a a a a a a ++==++-≥++-=+∑∑②………………10分
由①②得
222220172017201720171((99)99)(49)740074002
f a a a a ≥
+-++=-+≥③
………………20分
另一方面，令a 1=a 2=…=a 1920=1,a 1920+2k -1=a 1920+2k =k (k =1,2,…,49),a 2019=99此时验证知上述所有不等式均取到等号从而f 的最小值f 0=7400
………………30分
以下考虑③的取等条件，此时a 2017=a 2018=49,且②中的不等式均取等即a 1=a 2=1,a i +2-a i ∈{0,1}(i =1,2, (2016)
因此1=a 1≤a 2≤a 3≤…≤a 2018=49,且对每个k (1≤k ≤49),a 1,a 2,…,a 2018中至少有两项等于k ,易验证知这也是③的取等的充分必要条件
对每个k (1≤k ≤49)，设a 1,a 2,…,a 2018中等于k 的项数为1+n k ,则n k 为正整数,且(1+n 1)+(1+n 2)+…+(1+n 49)=2018即n 1+n 2+…+n 49=1969
该方程的正整数解(n 1,n 2…,n 49)的组数为48
1968C ,且每组解唯一对应一个使③取等的数组
(a 1,a 2,a 3…,a 2019),故使f =f 0成立的数组(a 1,a 2,a 3…,a 2019)有48
1968C 个。

三、（本题满分50分）设m 为整数,|m |≥2.整数数列a 1,a 2,……满足：a 1,a 2不全为零，且对任意正整数n ,均有
21n n n
a a ma ++=-求证：若存在整数r ,s (r >s ≥2)使得a r =a s =a 1,则r -s ≥|m |
证明：不妨设a 1,a 2互素(否则,若(a 1,a 2)=d >1,则12,a a d d 互素，并利用3
12,,,a a a d d d 代替123,,,a a a ,条件与结论不变)
由数列递推知a 2≡a 3≡a 4≡…(mod |m |)
①以下证明：对任意整数n ≥3有a n ≡a 2-(a 1+(n -3)a 2)m (modm 2
)
②
………………10分
事实上，当n =3时②式显然成立.假设n =k 时②成立(其中k 为某个大于2的整数),注意到①，有2
12(mod )k ma ma m -≡,
结合归纳假设知a k +1=a k -ma k -1≡a 2-(a 1+(k -3)a 2)m -ma 2≡a 2-(a 1+(k -2)a 2)m (modm 2
)即n =k +1时②也成立,因此②对任意整数n ≥3均成立…………………20分
注意,当a 1=a 2时,②对n =2也成立设整数r ,s (r >s ≥2)满足a r =a s =a 1
若a 1=a 2,由②对n ≥2均成立，可知
a 2-(a 1+(r -3)a 2)m ≡a r =a s ≡a 2-(a 1+(s -3)a 2)m (modm 2
)即a 1+(r -3)a 2≡a 1+(s -3)a 2(mod |m |),即(r -s )a 2≡0(mod |m |)③
若a 1≠a 2,则a r =a s =a 1≠a 2,故r >s >3.此时由于②对n ≥3均成立，故类似可知③仍成立.我们证明a 2,m 互素
事实上，假如a 2与m 存在一个公因子p ,则由①得p 为a 2,a 3,a 4,…的公共因子，而a 1,a 2互素,故 a 1,这与a r =a s =a 1矛盾.
因此,由③得r -s ≡0(mod |m |).又r >s ,所以r -s ≥|m |…………………………50分四、（本题满分50分）设V 就空间中2019个点构成的集合,其中任意四点不共面.某些点之间连有线段,记E 为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n ,满足条件:若E 至少有n 个元素,则E 一定含有908个二元子集,其中每个二元子集中的两条线段有公共端点,且任意两个二元子集的交集为空集.解:为了叙述方便,称一个图的两条相邻的边构成一个”角”.
先证明一个引理:设G =(V ,E )是一个简单图,且G 是连通的,则G 含有||
2E 个两两无公共边的角,(这里|α|表示实数α的整数部分).
引理证明:对E 的元素个数|E |归纳证明,当|E |=0,1,2,3时,结论显然成立.下面假设|E |≥4,并且结论在|E |较小时均成立,只需证明,在G 中可以选取两条边a ,b 构成一个角,在G 中删去a ,b 这两条边后,剩下的图含有一个连通的分支包含|E |-2条边.对这个连通的分支应用归纳假设即得结论成立.
考虑G 中最长路P :v 1,v 2,…,v k 其中v 1,v 2,…,v k 是互不相同的顶点.因为G 连通,故k ≥3.
情形1:deg (v 1)≥2.由于P 是最长路,v 1的邻点均在v 1,v 2,…,v k 中,设v 1v i ∈E ,其中3≤i ≤k ,则{v 1v 2,v 1v i }是一个角,在E 中删去这两条边,若v 1处还有第三条边,则剩下的图是连通的;若v 1处仅有被删去的两条边,则v 1成为孤立点,其余顶点仍互相连通.总之,在剩下的图中有一个连通的分支含有|E |-2条边.
情形2:deg (v 1)=1,deg (v 2)=2,则{v 1v 2,v 2v 3}是一个角,在G 中删去这两条边后,v 1,v 2都成为孤立点,其余的点互相连通,因此有一个连通分支含有|E |-2条边.
情形3:deg (v 1)=1,deg (v 2)≥3,且v 2与v 4,……,v k 中某个点相邻,则{v 1v 2,v 2v 3}是一个角,在G 中删去这两条边后,v 1成为孤立点,其余点互相连通,因此有一个连通分支含有|E |-2条边.
情形4:deg (v 1)=1,deg (v 2)≥3,且v 2与某个u ∉{v 1,v 3,……,v k }相邻,,由于P 是最长路,故u 的邻点均在v 2,……,v k 之中,因{v 1v 2,v 2u }是一个角,在G 中删去两条边,则v 1是孤立点,若u 处仅有边uv 2,则删去所述边后u 也是孤立点,而其余点互相连通.若u 处仅还有其他边uv i ,3≤i ≤k ,则删去所述边后,除v 1外其余点互相连通.总之剩下的图中有一个连通的分支含有|E |-2条边.……………………20分引理获证。

回到原题，题中的V 和E 可看做一个图G =(V ,E ).首先证明n ≥2795.
设V ={v 1,v 2,…,v 2019}.在v 1,v 2,…,v 61中,首先两两连边,再删去其中15条边(例如:v 1v 2,v 1v 3,……,v 1v 16)，共连了 61
2−15=1815条边，则这61个点构成的图是连通图。

再将剩余的2019-61=1958个点配成979对,每对两点之间连一条边,则图G
中一共连了1815+979=2794条线段.由上述构造可见,G 中的任何一个角必须使用v 1,v 2,…,v 61相连的边,因此至多有
18152⎡⎤
⎢⎣⎦
=907个两两无公共边的角,故满足要求的n 不小于2795…………………………30分
另一方面，若|E |≥2795，可任意删去若干条边,只考虑|E |=2795的情形.
设G 有k 个连通的分支,分别有m 1,m 2,…,m k 个点,及e 1,e 2,…e k 条边,下面证明中至多有979个奇数
反证法,假设e 1,e 2,…e k 条边,下面证明中至少有980个奇数,由于e 1+e 2+…+e k =2795是奇数,故e 1,e 2,…e k 中至少有981个奇数,故k ≥981.不妨设e 1,e 2,…e 981都是奇数,显然m 1,m 2,…,m 981≥2.
令m =m 981+…+m k ≥2,则有21
C (1980)i
k
m i i e i =≥≤≤∑,2981m
k C e e ≥++ ,故980
22
1
1
2795i
k
i m
m
i i e C C ===≤+∑∑①
利用组合数的凸性,即对x ≥y ≥3,有2222
11x y x y C C C C +-+≤+,可知当m 1,m 2,…,m 980,m 由980个2以及一个59构成时,980
2
2
1
m i m
i C C =+∑取得最大值.于是980
2222
5921
98026912795
m i
m
i C C C C =+≤+=<∑这与①矛盾,从而e 1,e 2,…e k 中至多有979个奇数
…………………………40分
对每个连通分支应用引理,可知G 中含有N 个两两无公共边的角,其中
1111
[](979)(2795979)908
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22k
k i i i i e N e ===≥-=-=∑∑综上所述,所求最小的n 是2795…………………………50分。