2019年全国高中数学联赛A卷
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a 2.若实数集合{1,2,3,x }的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值为
3.平面直角坐标系中,e
是单位向量,向量a
满足2a e ⋅=
,且2||5||a a te ≤+
对任意实数t 成立,则||a
的取值范围是4.设A ,B 为椭圆Γ的长轴顶点,E ,F 为Γ的两个焦点,|AB |=4,|AF |=23,P 为Γ上一点,满足|PE |·|PF |=2,则△PEF 的面积为
5.在1,2,3,……,10中随机选出一个数a ,在-1,-2,-3,……,-10中随机选出一个数b ,则2a b +被3整除的概率为
6.对任意闭区间I ,用M I 表示函数y =sinx 在I 上的最大值,若正数a 满足M [0,a ]=2M [a ,2a ],则a 的值为
7.如图,正方体ABCD -EFGH 的一个截面经过点A ,C 及棱EF 上一点K ,且将正方体分成体积比为3:1的两部分,则
EK FK
的值为
8.将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行,拼成一个8位数(首位不为0),则产生的不同的8位数的个数为二解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
9(本题分16分)在△ABC 中,BC =a ,CA =b ,AB =c ,若b 是a 与c 的等比中项,且sinA 是sin (B -A )与sinC 的等差中项,求cosB 的值
10.(本题满分20分)在平面直角坐标系xOy 中，圆Ω与抛物线Γ:y 2
=4x 恰有一个公共点，且圆Ω与x 轴相切于Γ的焦点F ，求圆Ω的半径
11（本题满分20分）称一个复数数列{z n }为“有趣的”,若|z 1|=1且对任意正整数n ,均有22
11420n
n n n z z z z ++++=,求最大
的常数C ，使得对一切有趣的数列{z n }及任意正整数m ,均有123||m z z z z C
++++≥ 2019年全国高中数学联赛A 卷
加试部分
一、(本题满分40分)如图,锐角△ABC 中,M 是BC 边的中点,点P 在△ABC 内,使得AP 平分∠BAC ,直线MP 与△ABP ,△ACP 的外接圆分别相交于不同于点P 的两点D ,E .证明:若DE =MP ,则BC =2BP
二、(本题满分40分)设整数a 1,a 2,a 3,…,a 2019满足1=a 1≤a 2≤a 3≤…≤a 2019=99,
记222
12201913243520172019()()
f a a a a a a a a a a a =+++-++++ 求f 的最小值f 0,并确定使f =f 0成立的数组(a 1,a 2,…,a 2019)的个数
三、（本题满分50分）设m 为整数,|m |≥2.整数数列a 1,a 2,……满足：a 1,a 2不全为零，且对任意正整数n ,均有
21n n n
a a ma ++=-求证：若存在整数r ,s (r >s ≥2)使得a r =a s =a 1,则r -s ≥|m |
四、（本题满分50分）设V 就空间中2019个点构成的集合,其中任意四点不共面.某些点之间连有线段,记E 为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n ,满足条件:若E 至少有n 个元素,则E 一定含有908个二元子集,其中每个二元子集中的两条线段有公共端点,且任意两个二元子集的交集为空集.
a 答案:
916
解:由条件知18
9a a =,故916
3a a =,所以9log (3)16
a a =
2.若实数集合{1,2,3,x }的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值为答案:32
-
解:假如x ≥0,则最大最小元素之差不超过{3,x },而所有元素之和大于max {3,x },不符合条件,帮x <0,即x 为最小元素，
于是3-x =6+x ,解得32x =
3.平面直角坐标系中,e 是单位向量,向量a 满足2a e ⋅= ,且2||5||a a te ≤+ 对任意实数t 成立,则||a
的取值范围是
答案:
解:不妨设(1,0)e = ,由于2a e ⋅= ,可设(2,)a s = ,则对任意实数t ,有2
24||5||s a a te +=≤+= ,这等价于
2
45||s s +≤,解得||[1,4]s ∈,即2
[1,16]s ∈,于是||a =
4.设A ,B 为椭圆Γ的长轴顶点,E ,F 为Γ的两个焦点,|AB |=4,|AF |=2,P 为Γ上一点,满足|PE |·|PF |=2,则△PEF 的面积为答案:1
解:不妨设平面直角坐标系中Γ的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>.根据条件得2a =|AB |=4,||2a AF =+
可知a =2,b =1,且|EF |==,由椭圆的定义知|PE |+|PF |=2a =4,结合|PE |·|PF |=2得|PE |2
+|PF |2
=
(|PE |+|PF |)2
-2|PE |·|PF |=12=|EF |2
,所以∠EPF 为直角,进而S △PEF =|PE |·|PF |=1
5.在1,2,3,……,10中随机选出一个数a ,在-1,-2,-3,……,-10中随机选出一个数b ,则2a b +被3整除的概率为答案：
37
100
解：数组(a ,b )共有10*10=100种等概率的选法
考虑其中2a b +被3整除的选法N .
若a 被3整除,则b 也被3整除,此时a ,b 各有3种选法,这样的(a ,b )有3*3=9组,若a 不被3整除,则a 2
≡1(mod 3),从而b ≡-1(mod 3),此时a 有7种选法,b 有4种选法,这样的(a ,b )有7*4=28组.因此N =9+28=37.于是所求的概率为37
100
6.对任意闭区间I ,用M I 表示函数y =sinx 在I 上的最大值,若正数a 满足M [0,a ]=2M [a ,2a ],则a 的值为答案:5136
12
ππ或