专题3数列的综合应用(1)

专题3 数列的综合应用

题型1 等差数列、等比数列的综合问题

1.已知是等差数列,其前n项和为,是等比数列,且

,,.

(1)求数列与的通项公式;

(2)记,,证明:

.

解:(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,

由,得,,,

由条件,,

得方程组,计算得出,

故,,.

(2)证明:方法一,由(1)得,; (1);

; (2);

由(2)得,

;

而;

故.

方法二:数学归纳法,

(3)当时,,,故等式成立,

(4)假设当时等式成立,即,

则当时有,

.

即,因此时等式成立.

(3)(4)对任意的,成立.

2.数列的前项和为，已知，，且，。（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求。

答案（Ⅰ）证明：由条件，对任意,有，

因而对任意,，所以。

两式相减，得，，。

又，，所以，

故对一切的，。

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，所以，

于是数列是首项为，公比为的等比数列；

数列是首项为，公比为的等比数列。

因此，。于是

。

从而。综上所述，

题型2 数列的实际应用

3. 某住宅小区计划植树不少于棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数等于_____。

答案6

解析本题主要考查等比数列的和。

第一天是棵，第二天棵，所以第天是棵。，解得。所以的最小值为6。

4. 某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第1名得全部资金的一半多一万元,第二名得剩下的一半多一万元,以名次类推得到剩下的一半多一万元,到第10名恰好资金分完,求此科研单位共拿出多少万元资金进行奖励.

解:设第十名到第一名得到的奖金分别是,,,,

则,,,

每人所得奖金数组成一个以2为首项,公比为2的等比数列,

此科研单位共拿出2046万元资金进行奖励.

5.某企业2010年初贷款a万元，年利率为r，按复利计算，从2010年末开始，每年末偿还一定金额，计划第5年底还清，则每年应偿还的金额数为（）万元．

6.一学生参加市场营销调查活动,从某商场得到11月份新款家电M的部分销售资料.资料显示:11月2日开始,每天的销售量比前一天多t台(t为常

数),期间某天由于商家提高了家电M的价格,从当天起,每天的销售量比前一天少2台.11月份前2天共售出8台,11月5日的销售量为18台. (I)若商家在11月1日至15日之间未提价,试求这15天家电M的总销售量.

若11月1日至15日的总销售量为414台,试求11月份的哪一天,该商场售出家电M的台数最多?并求这一天售出的台数.

解:(I)根据题意,商家在11月1日至15日之间家电M每天的销售量组成公差为t的等差数列,

,,解之得

因此,这15天家电M的总销售量为台.

设从11月1日起,第n天的销售量最多,,

由(I),若商家在11月1日至15日之间未提价,则这15天家电M的总销售量为450台,

而不符合题意,故;

若,则,

也不符合题意,故

因此,前n天每天的销售量组成一个首项为2,公差为4的等差数列,第

天开始每天的销售量组成首项为,

公差为-2的等差数列.

由已知条件,得,即

解之得或(舍去19)

,出售家电M的台数为台

故在11月12日,该商场售出家电M的台数最多,这一天的销售量为46台. 题型3 数列与函数、不等式的综合

7.已知数列中,,点(且)满足,则?

答案时,代入

,为定值.

,数列是以1为首项,2为公比的等比数列.

时,,同样满足通项公式,数列的通项公式为

8.已知数列的通项公式为,数列的通项公式为

,设若在数列中,对任意

恒成立,则实数k的取值范围是

答案

解:若,则,则前面不会有的项,

递增,递减,,

递减,当时,必有,即,

此时应有,,即,得,

,即,得,

.

若,则,同理,前面不能有项,

即,当时,递增,递减,

,

当时,.由,即,得,,

由,得,得,即.

综上得,.实数k的取值范围是.

因此，本题正确答案是:.

9.已知奇函数是定义在R上的增函数,数列是一个公差为2的等差数列,满足,则的值等于

答案4003解:设,则,,,

,

且,且.

结合奇函数关于原点的对称性可以知道,,

.,即..

设数列通项...

通项..

因此，本题正确答案是:4003.

10. 定义函数,其中表示不小于x的最小整数,如

,.当,时,函数的值域为,记集合中元素的个数为,则

答案

解:根据题意易知:当时,因为,所以,所以,所以,;

当时,因为,所以,所以,所以

,;

当时,因为,所以,所以,所以

,;

当时,因为,所以,所以,

所以,;

当时,因为,所以,所以,

所以,,

由此类推:,所以,

即,,,,,

以上个式子相加得,,

计算得出,所以,

则,

因此，本题正确答案是:.

11.已知单调递增的等比数列满足,

且是的等差中项.(1)求数列的通项公式;

(2)若,求成立的正整数的最小值.

答案(1) ,∴ ,∴ ,

∴ ,

∴ ,∴或 ,

∵为递增数列，∴ ;∴ ;

(2) ,错位相减得到

∴ , , ;

即 .

12.已知数列是首项为2的等差数列,其前n项和满足