弹性力学总结与复习思考题(土木)

位移边界条件：
r , , r
满足问题的边界条件：
ur , u 为边界上已知位移， k r , k 为边界上已知的面力分量。
极坐标下 Leabharlann Baidu对称问题 应力函数
A ln r Br ln r Cr D
2 2
（4－11）
应力分量
r r 0
位移分量
r A B(3 2 ln r ) 2C r2
弹性力学问题求解的能量法
1. 基本概念与基本量 （1）形变势能U、比能U 1； （2）总势能 2. 变分方程与变分原理 位移变分方程； 虚功方程； 最小势能原理； 3. 求解弹性力学问题的变分法 （1） Ritz 法； （2）最小势能原理； 如何设定位移函数？
4. Ritz 法解题步骤： （1）假设位移函数，使其位移边界条件； （2） 计算形变势能 U ； （3）代入Ritz 法方程求解待定系数； （4）回代求解位移、应力等。 5. 最小势能原理解题步骤： （1）假设位移函数，使其位移边界条件； （2） 计算系统的总势能 ； （3） 由最小势能原理确定待定系数； （4）回代求解位移、应力等。

h x x 2
0
h x 2
右侧：
x x h 0

2
xy x h 2
q
M
(a)
Q
N
y =0
xdx 0
1

下侧：
dx F
y=l
反力：
N 2ql Q F1 M F1l

h 2 h y y l 2 h 2 h y y l 2 h 2 h xy y l 2
r , , r
1 （4－5） r r
1 1 2 r 2 r r r 2
（3） 将上述应力分量
2 2 r
r
ur s ur , u s u l r s m r s kr 应力边界条件： （位移单值条件） l r s m s k
r A B(1 2 ln r ) 2C 2
（4－12）
ur 1 (1 ) A 2(1 ) Br (ln r 1) (1 3 ) Br E r 2(1 )Cr I cos K sin u 4 Br Hr I sin K cos E
第三章 平面问题的直角坐标解答
（1）直角坐标解答适用于什么情况？ （2）用应力函数法求解弹性力学问题的基本步骤？ （3）常体力下应力函数与应力分量间的（直角坐标）关系如何？
第四章 平面问题的极坐标解答
（1）极坐标解答适用的问题结构的几何形状？ （圆环、圆筒、圆弧形曲杆、楔形体、半无限平面体等） （2）极坐标下弹性力学平面问题的基本方程？ （平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件方程） （3）极坐标下弹性力学平面问题的相容方程？ （用应变表示的、用应力函数表示的相容方程等） （4）极坐标下应力分量与应力函数 间关系？ （5）极坐标下弹性力学平面问题边界条件的列写？ （6）极坐标下轴对称问题应力函数 、应力分量、位移分量的特点？
弹 性 力 学 问 题
基本方程
求解方法
函数解 求解方法
精确解；
近似解； （如：基于能量原理的解） 数值解（如：有限差分法、有限单元法等）
实验方法
二、弹性力学平面问题的求解
1. 平面问题的求解方法 （1）按未知量的性质分：
按位移求解；
按应力求解； 逆解法；
（2）按采用的坐标系分：
直角坐标解答； 极坐标解答；
半逆解法；
2. 平面问题按应力求解的基本方程 （1）平衡方程
说明： （1）对应力边界问题，且为单连 通问题，满足上述方程的解 是唯一正确解。 （2）对多连通问题，满足上述方 程外，还需满足位移单值条 件，才是唯一正确解。
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
第五章 平面问题的差分法与变分法
（1）了解差分法的基本思想； （2）了解基本的差分计算公式； （3）了解应力函数差分解中，应力分量的差分公式；应力函数 的差分方程； （4）了解边界结点的应力函数值及其导数值求取； （5）了解虚结点的应力函数值求取； （6）了解应力函数差分解求解弹性力学问题的基本方法步骤；
（1）
结论：仅当式（1）成立时，所给应变分量为可能的。
补充题
试写出图示构件的边界条件。(应用圣维南原理)
(a)
(b)
(c)
(d)
补充题2-6 试写出图示构件的边界条件。(应用圣维南原理)
解：（a）
左侧：
h x 2
上侧：
q dx 0

xy x h 2 h 2 h y y 0 2 h 2 h y y 0 2 h 2 h xy y 0 2
（2-18）
3. 常体力下平面问题求解的基本方程与步骤： 直角坐标下 （1） 先由方程（2-27）求出应力函数：
( x, y )
（2）
4 4 4 4 2 2 2 4 0 (2-27) 0 4 x x y y 然后将 ( x, y ) 代入式（2-26）求出应力分量： x , y , xy
2 2 2 x 2 Xx y 2 Yy xy xy y x
(2-26)


（3） 再让
x , y , xy满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
（2-18）
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
补充题2-5 下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分
别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。 （1） （2）
x C1 x C2 , y C3 x C4 y, xy C4 x C1 y; x axy2 , y bx 2 y, xy 2Cxy2 ;
dx 2ql xdx F1l

dx F1
补充题2-6 试写出图示构件的边界条件。(应用圣维南原理) 解：（b）
h x 2
上侧：
左侧：


h x x 2
0

y =0

下侧：
xy x h 2 h 2 h y y 0 2 h 2 h y y 0 2 h 2 h xy y 0 2
us u vs v
（2-17）
极坐标下 （1） 由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数
2 2 2 4
( r , )
（4－6）
1 1 0 2 2 2 r r r r
（2） 由式（4－5）求出相应的应力分量：
第二章 平面问题的基本理论
（1）两类平面问题的特点？（几何、受力、应力、应变等）。 （2）试列出两类平面问题的基本方程，并比较它们的异同。
（3）在建立平面问题基本方程（平衡方程、几何方程）时，作了哪 些近似简化处理？其作用是什么？
（4）位移分量与应变分量的关系如何？是否有位移就有应变？
（5）已知位移分量可唯一确定其形变分量，反过来是否也能唯一确 定？需要什么条件？
4. Ritz 法解题步骤： （1）假设位移函数，使其位移边界条件； （2） 计算形变势能 U ； （3）代入Ritz 法方程求解待定系数； （4）回代求解位移、应力等。 5. 最小势能原理解题步骤： （1）假设位移函数，使其位移边界条件； （2） 计算系统的总势能 ； （3） 由最小势能原理确定待定系数； （4）回代求解位移、应力等。
（6）已知一点的应力分量，如何求任意斜截面的应力、主应力、主 方向？ （7）什么是线应变（正应变）、剪应变（切应变、角应变）？ （8）平面应力与平面应变问题的物理方程有何关系？ （9）边界条件有哪几类？如何列写？
（10）何为圣维南原理？其要点是什么？圣维南原理的作用是什么？ 如何利用圣维南原理列写边界条件？ （11）弹性力学问题为超静定问题，试说明之。 （12）弹性力学问题按位移求解的基本方程有哪些？ （13）弹性力学平面问题的变形协调方程（相容方程）有哪些形式？ 各自的使用条件是什么？ （14）按应力求解弹性力学问题，为什么除了满足平衡方程、边界条 件外，还必须满足变形协调方程（相容方程）？而按位移求解 为什么不需要满足变形协调方程？ （15）应力分量满足平衡方程、相容方程、边界条件，是否就是问题 的正确解？为什么？ （16）何为逆解法？何为半逆解法？
2
解： （2）验证是否满足应变协调方程：
2 y
x 2 2ax 2by 2 x y
要使下式成立：
2 xy xy
4Cy
x 2 2 x y xy 须有：2ax 2by 4Cy 上式成立的条件：a 0, b 2C
2
2 y
2 xy
解： （1）验证是否满足平衡微分方程；
x xy X C1 C1 0 0 x y xy y Y C4 C4 0 0 x y
验证是否满足相容方程；
—— 满足平衡微分方程
2 X Y 2 2 2 ( x y ) (1 ) x y x y
《弹性力学》课程总结与复习
一、弹性力学问题研究的基本框架：
基本假设与基本量 基本原理 5个基本假设； 基本量：ui , ij, ij
平衡原理 （单元体） 能量原理 （整体） 平衡微分方程 控制微分方程 几何方程 物理方程 应力边界条件 边界条件 位移边界条件 混合边界条件 —— 数学上构成偏微分方程的定解问题
—— 显然满足
结论：所给应力分量为一组可能的应力分量。
补充题
下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分 别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。 （1） （2）
x C1 x C2 , y C3 x C4 y, xy C4 x C1 y; x axy2 , y bx 2 y, xy 2Cxy2 ;
式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。
（4-13）
三、弹性力学问题求解的能量法
1. 基本概念与基本量 （1）形变势能U、比能U 1； （2）总势能 2. 变分方程与变分原理 位移变分方程； 虚功方程； 最小势能原理； 3. 求解弹性力学问题的变分法 （1） Ritz 法； （2）最小势能原理； 如何设定位移函数？
(2-2)
（2）相容方程（形变协调方程）
2 X Y 2 2 2 ( x y ) (1 ) x y y x
（平面应力情形） （2-23） （3）边界条件：
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
四、其它问题
（1）一点应力状态分析； （2）应力边界条件的列写； （圣维南原理的应用）
二、试题形式 概念题； 简单叙述、计算、 证明题； 分析计算题。
各章节的复习思考题
第一章 绪 论
（1）《弹性力学》与《材料力学）、《结构力学》课程的异同。 （从研究对象、研究内容、研究方法等讨论） （2）《弹性力学》中应用了哪些基本假定？ 这些基本假定在建立弹性力学基本方程时的作用是什么？ 举例说明哪些使用了这些基本假定？ （3）弹性力学中应力分量的正负是如何规定的？与材料力学中有何 不同？
q
h x 2
右侧：
x x h 0

2
xy x h 2