《线性代数》教学教案—03向量与向量空间

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2.向量组等价的性质:
(1) 反身性:每一个向量组都与其自身等价;
(2) 对称性:若向量组(I)与(II)等价,则向量组(II)与(I)也等价;
(3) 传递性:若向量组(I)与(II)等价,向量组(II)与(III)等价,则向量组(I)与(III)等价.
3.向量组 可由向量组 线性表示的充要条件是矩阵方程 有解.
3.延长向量组:称 个 维向量 添加 个分量后得到的向量组 为原向量组 的延长向量组.
推论:若一个向量组线性无关,则其延长向量组线性无关.
七.例题讲解
例1.设 , ,则 ,即零向量可由 线性表示,更一般地, 维零向量可由任意 维向量组线性表示.
例2.设 维向量组 则任意 维向量 可由 线性表示.
例3.向量组中任一向量都可由这个向量组线性表示.
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
向量组的极大线性无关组和向量组的秩、向量组的等价,向量组的秩与矩阵秩的关系
4.推论:若矩阵 与矩阵 列(行)等价,则矩阵 的列(行)向量组与矩阵 的列(行)向量组等价.
5.行向量组 可由行向量组 线性表示的充要条件是方程 有解.
三.线性组合的经济学应用举例
在经济学中,需要将某个量,比如成本,分解成几部分时,常常需要用到线性组合的概念.
例如,一个公司生产两种产品A和B.设生产价值1万元的产品A需要原料成本0.3万元,人工成本0.25万元,设备成本0.1万元,管理成本0.15万元,则可构造出产品A的单位成本向量 .同理,可构造出产品B的单位成本向量,假设为 .该公司生产价值 万元的产品A和生产价值 万元的产品B需要的总成本为 .
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关的定义,向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法
教学难点
有关线性相关、线性无关的证明
参考后习题
大纲要求
1.理解向量的线性组合与线性表示。
例4.将向量 表示成向量组 的线性组合.
例5.设 均为 阶矩阵,若 ,且 可逆,则矩阵 的列向量组与矩阵 的列向量等价.
例6.证明: 维基本单位向量组 , 线性无关.
例7.讨论向量组 的线性相关性.
例8.设 线性无关,证明: 线性无关.
例9.证明:含有零向量的向量组一定线性相关.
例10.设向量组 线性相关,向量组 线性无关,证明
2.称 为 维行向量,称 为 维列向量.
二. 维向量的线性运算
1.定义:
(1)分量全为0的向量称为零向量;
(2)对于 ,称 为 的负向量;
(3)对于 , ,当且仅当 时,称 与 相等;
(4)对于 , ,称 为 与 的和;
(5)对于 , ,称 为 与 的差;
(6)对于 , 为实数,称 为 的数乘,记为 .
第3章向量与向量空间
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题
第3章第1节 维向量及其线性运算
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
教学难点
向量的线性运算的性质
参考教材
同济版《线性代数》
作业布置
课后习题
大纲要求
理解 维向量的概念
教 学 基 本 内 容
1. 维向量:由 个数 组成的有序数组称为 维向量.
六.向量组线性相关性的判定
1.定理: 个 维向量 线性相关的充要条件是矩阵
的秩 .
推论1.任意 个 维向量 线性无关的充要条件是它们构成的矩阵 的秩 .
推论2.任意 个 维向量 线性无关的充要条件是矩阵 的行列式不等于零.
推论3.当 时, 个 维向量线性相关.
2.定理:若 个 维向量 线性无关,则对应的 个 维向量 也线性无关.
2.理解向量组线性相关、线性无关的定义,了解并会用向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。
教 学 基 本 内 容
一.向量组的线性组合
线性组合:给定向量组 和向量 ,如果存在一组数 ,使 ,则称 是 的线性组合,或称 可由 线性表示, 称为 由 线性表示的系数.
二.向量组的等价
1.线性表示与向量组的等价:设有两个向量组 (I): , (II): ,若向量组(I)中每个向量都可由向量组(II)中的向量线性表示,则称向量组(I)可由向量组(II)线性表示. 若两个向量可相互线性表示,则称它们等价.
四.向量组线性相关性的定义
1.线性相关与线性无关:给定 维向量组 ,如果存在不全为零的数 ,使
则称 线性相关,若当且仅当 全为零时,上述等式才成立,则称 线性无关.
2.若两个向量 和 线性相关,则存在不全为零的数 ,使 不妨设 ,则有
3.两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线,三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.
推论: 个向量线性无关的充要条件是任意向量都不能由其余 个向量线性表示.
4.若 线性无关,而 , 线性相关,则 可由 线性表示,且表示式唯一.
5.向量组中有一部分向量组线性相关,则整个向量组线性相关.
推论:若整个向量组线性无关,则其任一部分向量组都线性无关.
6.设向量组(I) 与(II) ,若(II)可由(I)线性表示,且 则(II) 线性相关.
五.向量组线性相关性的性质
1.一个向量线性相关的充要条件是这个向量为零向量.
推论:一个向量线性无关的充要条件是这个向量为非零向量.
2.两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例.
推论:两个向量线性无关的充要条件是对应分量不成比例.
3. 个向量线性相关的充要条件是至少有一个向量可由其余 个向量线性表示.
(1) 可由 线性表示;
(2) 不可由 线性表示.
例11.设3阶矩阵 3维列向量 ,若 与 线性相关,求 .
例12.已知向量 ,问
为何值时,向量组 线性相关、线性无关?
授课序号03
教 学 基 本 指 标
教学课题
第3章第3节极大线性无关组和秩
课的类型
复习、新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
2.向量的线性运算的性质:对任意的 维向量 和数 ,有:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) ;
(8) .
三.例题讲解
例1.某工厂两天的产量(单位:吨)按照产品顺序用向量表示,第一天为 第二天为 求两天各产品的产量和.
授课序号02
教 学 基 本 指 标
教学课题
第3章第2节向量组的线性关系
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