3.3 垂径定理1

*3.3 垂径定理

1．理解垂径定理和推论的内容，并会

证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题；(重点)

2．利用垂径定理及其推论解决实际问题．(难点)

一、情境导入

如图①某公园中央地上有一些大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm 的砖塞在球的两侧(如图②所示)，他量了下两砖之间的距离刚好是80cm ，聪明的你能算出大石头的半径吗？

二、合作探究

探究点一：垂径定理

【类型一】 利用垂径定理求直径或弦的长度

如图所示，⊙O 的直径AB 垂直弦

CD 于点P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6cm ，则直径AB 的长是( )

A ．23cm

B ．32cm

C ．42cm

D ．43cm 解析：∵直径AB ⊥DC ，CD ＝6，∴DP ＝3.连接OD ，∵P 是OB 的中点，设OP 为x ，则OD 为2x ，在Rt △DOP 中，根据勾股

定理列方程32＋x 2＝(2x )2，解得x ＝ 3.∴OD ＝23，∴AB ＝4 3.故选D.

方法总结：我们常常连接半径，利用半

径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，

然后应用勾股定理解决问题．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

【类型二】 垂径定理的实际应用

如图，一条公路的转弯处是一段

圆弧(图中的AB ︵

)，点O 是这段弧的圆心，C

是AB ︵

上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是________m.

解析：本题考查垂径定理，∵OC ⊥AB ，AB ＝300m ，∴AD ＝150m.设半径为R ，根据勾股定理可列方程R 2＝(R －50)2＋1502，解

得R ＝250.故答案为250.

方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

【类型三】 垂径定理的综合应用

如图，已知圆O的直径AB垂直

于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于

点F，且CF⊥AD.(1)请证明：点E是OB的

中点；(2)若AB＝8，求CD的长．

解析：(1)要证明E是OB的中点，只要

求证OE＝1

2OB＝

1

2OC，即∠OCE＝30°；(2)

在直角△OCE中，根据勾股定理可以解得

CE的长，进而求出CD的长．

(1)证明：连接AC，如图，∵直径AB

垂直于弦CD于点E，∴AC

︵

＝AD

︵

，∴AC＝

AD.∵过圆心O的直线CF⊥AD，∴AF＝

DF，即CF是AD的垂直平分线，∴AC＝

CD，∴AC＝AD＝CD，即△ACD是等边三

角形，∴∠FCD＝30°.在Rt△COE中，OE

＝

1

2OC，∴OE＝

1

2OB，∴点E为OB的中点；

(2)解：在Rt△OCE中，AB＝8，∴OC

＝OB＝

1

2AB＝4.又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴

CE＝OC2－OE2＝16－4＝23，∴CD＝

2CE＝4 3.

方法总结：

解此类题一般要把半径、

弦

心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，

运用勾股定理求解．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课

后巩固提升”第5题

探究点二：垂径定理的推论

【类型一】利用垂径定理的推论求角

的度数

如图所示，⊙O的弦AB、AC的

夹角为50°，M、N分别是AB

︵

、AC

︵

的中点，

则∠MON的度数是()

A．100°B．110°

C．120°D．130°

解析：已知M、N分别是AB

︵

、AC︵的中

点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的

弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝

∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四边形内

角和定理得∠MON＝360°－∠AEO－

∠AFO－∠BAC＝360°－90°－90°

－50°

＝

130°.故选D.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课

堂达标训练”第6题．

【类型二】利用垂径定理的推论求边

的长度

如图，点A、B是⊙O上两点，AB

＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A、B不

重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP

于E，OF⊥PB于F，求EF的长．

解析：运用垂径定理先证出EF是

△ABP的中位线，然后运用三角形中位线性

质把要求的EF与AB建立关系，从而解决

问题．

解：在⊙O 中，∵OE ⊥AP ，OF ⊥PB ，∴AE ＝PE ，BF ＝PF ，∴EF 是△ABP 的中位线，∴EF ＝12AB ＝1

2

×10＝5(cm)．

方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课

后巩固提升”第2题

【类型三】 动点问题

如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB

＝8cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．

解析：当点P 处于弦AB 的端点时，OP 最长，此时OP 为半径的长；当OP ⊥AB 时，OP 最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP 的长．

解：作直径MN ⊥弦AB ，交AB 于点D ，由垂径定理，得AD ＝DB ＝1

2AB ＝4cm.又

∵⊙O 的直径为10cm ，连接OA ，∴OA ＝5cm.在Rt △AOD 中，由勾股定理，得OD ＝OA 2－AD 2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP 的长度范围是3cm ≤OP ≤5cm.

方法总结：解题的关键是明确OP 最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容

易出错的地方是不能确定最值时的情况．

三、板书设计

垂径定理

1．垂径定理

2．垂径定理的推论

垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，由于它涉及的条件结论比较多，学生容易搞混淆，本节课采取了讲练结合、动手操作的教学方法，课前布置所有同学制作一张圆形纸片，课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图形，并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理，环环相扣、逐层深入，激发学生的学习兴趣，收到了很好的教学效果.