交流问题_2018A题高温作业服装设计

(1)专用服装材料的某些参数值由附件1给出，对环境 温度为75ºC、II层厚度为6 mm、IV层厚度为5 mm、工作时 间为90分钟的情形开展实验，测量得到假人皮肤外侧的温 度（见附件2）。建立数学模型，计算温度分布，并生成 温度分布的Excel文件（文件名为problem1.xlsx）。
(2)当环境温度为65ºC、IV层的厚度为5.5 mm时，确定 II层的最优厚度，确保工作60分钟时，假人皮肤外侧温度 不超过47ºC，且超过44ºC的时间不超过5分钟。
1 L 1
r1 1 2r1 r1



r1 1 2r1 r1

1 1 2 2


u0n u1n


LuL u n1
1










un m1






un m2
un m2 1



0 u n1
m2 1



r3 1 2r3 r3







3 3 4 4 r4 1 2r4 r4
t 1s, x1 0.1, x2 1, x3 0.4, x4 1mm
m1 6, m2 12, m3 21, m4 26
要 由求于解热此传方导程方组程，当首t 先得时知趋道于热L交a换pl系ac数e方k程L和，k故R ;热传导方程当 t 充分
d 2u
l1, u
x
t
x

l1
u l1, t

k2
u x
x l1
同理：II层与III层之间的接触面满足
u
k2
l2,t u
x xl2
u l2,t u
k3 x
xl2
III层与IV层之间的接触面满足
u
k2
l3,t u
1、问题1的分析
专用服装材料的某些参数值由附件1给出，对环境温度为75ºC 、II层厚度为6 mm、IV层厚度为5 mm、工作时间为90分钟的情形开 展实验，测量得到假人皮肤外侧的温度（见附件2）。建立数学模型， 计算温度分布，并生成温度分布的Excel文件。
假人皮肤外侧的温度变化
温度分布
热传导微 分方程
由此即可得到I层的左边界条件为：
kL
uL

u

k1
u x
（5）
其中 kL为I层与空气接触处的热交换系数。
同理可得 IV 层的右边界条件为
kR u4

uR

k4
u x
其中kR 为IV层与人体接触处的热交换系数.
（6）
I层与II层之间的接触面满足：
u
k1

u
M
48）
第九个条件 a4 b4l4 uM
由九个条件可以导出：kL 与 kR 的关系如下：
1
1 4 l j l j1
u l4

1
kR 1 4
l j l j1 uL
kL j1 11 4
kj l j l j1
uR
k R kL j1 k j
注意：专用服装由4层组成， 由于温度可认为与人的高度 无关，且热沿着径向传播， 故可视为一维热传导方程模 型
问题 所属类型
做题 思路和关键点
结果 表示形式
微分方程模型
将所求解问题看作一维热传导 的情形，容易写出 I~IV 层温 度所满足的热传导方程以及初 边值条件，在这里的关键是要 给出两个边界条件及三个交界 面条件。
(3)当环境温度为80时，确定II层和IV层的最优厚度， 确保工作30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超 过44ºC的时间不超过5分钟。
参考数据：
1、专用服装材料的参数值
分层
I层 II层 III层 IV层
附件1. 专用服装材料的参数值
密度 (kg/m3)
比热 (J/(kg·ºC))
300 862 74.2 1.18
uxx 中心差商
uxx ix, nt
Fra Baidu bibliotek
1
x 2
un i 1
2uin

un i 1
代入原始热传导方程，可以得到：
rjuin1 (1 2rj )uin rjuin1 uin1( j 1,2,3,4)（10）
其中 r a j t
j
x j 2


un m3
un m3 1

0

u n1 m3 1





r4 1 2r4
r4






1
1 R

un m4

RuR
l1 0.6,l2 l1 6,l3 l2 3.6,l4 l3 5mm
1377 2100 1726 1005
热传导率 (W/(m·ºC))
0.082 0.37 0.045 0.028
厚度 (mm)
0.6 0.6-25
3.6 0.6-6.4
2、假人皮肤外侧的测量温度
对环境温度为75ºC、II层厚度为6mm、IV层厚度为5 mm、工作 时间为90分钟的情形开展实验，测量得到假人皮肤外侧的温度。
x xl3
u l3, t

k3
u x
xl3
(7)~(9)式为温度交界面所满足的边界条件。
（7） （8） （9）
1.2模型求解
采用有限差分法求解热传导方程
ut 向后差商
ut
ix,
nt

uix,
nt
uix, (n
t
1)t

1 t
un i
uin1
0


r2 1 2r2 r2

r2 1 2r2 r2

2 2 3 3

r3 1 2r3 r3




un m1 1
un m1 2


u n1 m1 1
u n1 m1 2

r1u0n

1 2r1
u1n
r1u2n

u n1 1
,
r1

a1t x1 2
r1u1n

1 2r1
u2n
r1u3n

u n1 2
r1umn12

1 2r1
un m1 1

r1umn1
un1 m1 1

un 1 m11
右边界：
un m4
1

1 R
un m4
RuR,
uR
37
L

kL k1
x1, R

kR k1
x4
三个交界面条件：

un
j mj
1


j

j 1
un mj

un
j 1 m j 1
0,
j

kj x j
现列出方程组如下： 1 L u0n u1n LuL
计算方程的数值解与附件 2 数据得到的图像走势进行对比， 进而可以分析模型求解结果与 实际情况的吻合程度。
问题一的模型建立及求解
1.1基于热传导方程的温度分布模型 记 I、II、III、IV层的厚度分别如下： 建立如图 1 所示的坐标
系，ux,t 表示点x在时刻t的温度。
u
I层 II层 III层 IV层
kR kL j1 k j
由LU分解法解三对角方程组确定kL和 kR ；
用搜索方法：N
定义：EkL
uMj uMj 2
j 1
求kL及 min EkL
运用Matlab求解得到 kL和 kR的最优估计值分别为117和8.3591，此时 （19）式的值为0.08，拟合效果较好，可利用 kL和 kR的最优估计值对差分 形式的热传导方程进行求解。调用interp1函数对得到的IV层温度进行分 段三次Hermite插值，得到每0.1mm处的温度。由于时间步长 t为0.01s,因 此需要将数据进行还原处理，得到每一秒每0.1mm处的温度值，由此得到 了I~IV 层的温度分布。
2018年高教社杯全国大 学生数学建模竞赛题目
A题 高温作业专用服装设计
读题
背景 （来源、方向）
信息 （语言、数据）
问题 （第一问，…,）
问题 所属类型
做题 思路和关键点
结果 表示形式
在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服装以避免 灼伤。专用服装通常由三层织物材料构成，记为I、II、 III层，其中I层与外界环境接触，III层与皮肤之间还存在 空隙，将此空隙记为IV层。 为设计专用服装，将体内温度控制在37ºC的假人放置在实 验室的高温环境中，测量假人皮肤外侧的温度。为了降低 研发成本、缩短研发周期，请你们利用数学模型来确定假 人皮肤外侧的温度变化情况，并解决以下问题：
大后近似为 dx2

0
，即可设u

ai

bi x。
此处有 ai , bi , kL , kR 10个未知参数i 1，，4，但只能找到9个条件；三个
交界面温度相等，三个交界面热流量相等；
左边界： k1b1

k L a1

kLuL


k1
u x

kL uL
u

右 （边其界中：uMk4为b4 平 k衡Ru状M 态 k时Ru右R k边4 界ux 介 k质R 的uR温 u度M
O
l1
x
l2
l3
l4
图1 u-x坐标系示图
根据图1，由热传导方程表达式可以写出Ⅰ~Ⅳ层 ux,t 满足的热传导方程：
u t

a1
2u x 2
0

x

l1
（1）
u 2u t a2 x2 (l1 x l2 )
（2）
u 2u t a3 x2 (l2 x l3 )
同理，对初始条件进行离散化处理，得到
ui0 uix,0 ix 37,0 i m4
（11）
边界条件：
当x 0 l0 0 （左边界）：

k1
u x

kL uL
u
k1
u x

kLu

kLuL
当x l4 （右边界）：
交界面条件：
k4
u x
则可以得到：
u(x,0) 37 C
当物体处于介质中时，能测量到的只是与物体接触处的介质温度,它 与物体表面上的温度并不完全相同。由热传导实验定律(牛顿定律）知， 从物体流到介质中的热量和两者的温度差成正比。对于流过物体表面的 热量，在物体内部由傅里叶定律[4]确定，而在物体与介质接触面由牛顿 定律确定。

kR uR

u

u u
采用向后差商（隐式格式 k）j ：ux


k
j
1
u x

左边界： 1 L
u0n
u1n
uin uin1 t
LuL,
a j uin1
uL 75
2uin
x
2 j

uin1

1 2
un m1


un
2 m1
1
0
r2umn1

1 2r2
un m1 1

r un 2 m1 2
un1 m4 1

r4umn4 2
1 2r4
un m4
1

r4umn 4
un1 m4 1

un m4 1

1 R
u0n
RuR
（3）
u t

a4
2u x 2
(l3

x

l4 )
（4）
其热中和，密ai度 ，cki i可i 由i 附1,2件,3,41,
ki , ci , i i 1,2,3,4 分别表示层介质的热传导率、比
提供的参数值得到。
由于假人体内温度控制在37ºC，故将I~IV 层在初始时刻的温度视37ºC，
由温度分布数据可画出90分钟内假人皮肤外侧温度随时间变化图像， 与利用附件2数据得到的图像走势进行对比，发现两条曲线的吻合程度较 高，即本文所建立的温度分布模型与实际情况相符。