北航矩阵论课件
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二节 线性变换和矩阵
一、定义
设V,W是域F上的线性空间，映射T：V W有
以下性质：， F，x, y V，有T( x y) Tx Ty, 称T为V到W的一个线性映射.特别
当V=W时，T为V到自身的线性映射，称T为V上 的线性变换.
例1 恒等变换 T：V V，Tx=x,x V. 零变换 T：V V，Tx=0,x V.
注2: 定理3的结构可推广到一般形式: L(V,W) Fnm.
定理4 V W dimV dimW.
推论1：任一实(复)n维线性空间均与Rn (Cn )同构. 推论2：dimL(V,W)=dimFnm nm. 特别的, dimL(V，V)=n2. 推论3: 设dimV=n,T L(V，V),T的矩阵为A Fnn ,
a1n
-a2 n
-an1 -an2
-ann
的展开式是的一个n次多项式, 其根为A的特征值, 而相应
于(*)式的非零解向量 称为A的属于0的特征向量. 注:1)0是T的特征值 0是A的特征值. 2)是T的特征向量 是A的特征向量,这里，
=(e1, , en ).
3) A的属于0的全部特征向量再添上零向量就构成
T =T(e1, , en ) =(e1, , en )A =0 =0 (e1, , en ),
所以A =0 ,即 (0I-A) =0, 0，(*)
从而|0I-A|=0.故引入下列定义:
定义 : 设A=(aij )nn F nn , 为一参量, A的特征矩阵I-A
的行列式
-a11 a12 |I-A|= a21 -a22
2)f保持运算,即, F, x, y V ,有f(x y) =f(x） f ( y),
则称V与W同构，记为V W.
同构的线性空间具有完全一致的空间结构和各种运 算规律，故可视为一个空间.
定理3 L(V,V) Fnn.
注1: 若对L(V,V)引入乘法:两个变换的乘积为变换的合成 (连续作用):(T1T2 )x T1(T2 x),则有L(V,V)与Fnn作为F上的环 (或代数)同构, 从而矩阵作为线性变换的数学表现形式包含了 其全部信息.
采用矩阵记法:
, en , 令
T(e1, , en )=(Te1, ,Ten )=(e1, , en )A,
a11 a12
这里，A=
a21
a22
an1 an2
awk.baidu.comn
a2n
(aij
)nn
F
nn .
ann
由空间结构和T的线性性质，T由Te1, …,Ten完全 确定，故由T唯一确定一个矩阵A，
例5 投影变换T：R3 R3，(x, y, z) R3，有 T(x, y, z) (x, y,0).
例6 微分算子和积分算子.
S : C[a,b] C[a,b],
x
S( f (x)) f (t)dt,f (x) C[a,b].
0
D : C(1)[a,b] C[a,b],
D( f (x)) f '(x), f (x) C (1)[a,b].
定理1(亏加秩定理)设T L(V,W), V为有限维， 则N(T)及R(T)均为有限维，且
dimN(T)+dimR(T)= dimV 即T的亏加秩等于其定义域的维数.
三、线性变换的矩阵和线性空间 的同构
设 dim V=n, T L(V,V),取定V上的一组基e1, Tej a1 je1 anjen ,1 j n,
二、核、像空间，亏加秩定理
设V,W为F上线性空间,令L(V,W)表示所有V到W的线性 映射的集合，设T L(V,W),令
N (T ) {x V | Tx },
R(T ) Im(T ) {y W | y Tx,x V}.
易验证N(T)为V的子空间，R(T)为W的子空间，称N(T) 及R(T)为T的核空间和像空间.并称dimN(T)为T的零度 (或亏)，dimR(T)为T的秩，一般有以下定理：
了Fn的一个线性子空间，称为A的一个特征子空间，
记为E(0 ),它就是齐次线性方程组(0I A)X=0的
定义：称A为T在基 e1, …,en在下的矩阵简称A为T 的矩阵.
如果取定V的一组基，对于任意的V上的线性变 换T，则唯一确定一个矩阵A，反之如何？
定理2：设 dimV n, e1, , en为V的一组基，任取 A=(aij )nn F nn ,则有且仅有一个线性变换T L(V ,V ), 使其矩阵恰为A.
例2 伸缩变换：取定k 0,令 T： R3 R3， Tx=kx,x R3. T将R3中任一向量拉伸(k>1)或 压缩(k<1)k倍.
例3 平面旋转变换：取定 （0,2）,x (x1, x2 )
令
cos
Tx=T(
x1,
x2
)
(
x1
,
x2
)
sin
sin
cos
.
例4 平面反射变换T：R2 R2，x (x1, x2 ) R2，有 Tx=T(x1, x2 ) (x1, -x2 ).
推论：L(V,V)与Fn ×n之间存在一一对应关系.
命题：L(V) = L(V,V)是线性空间，引入L(V,V)中的 运算：
(T1 T2 )x T1x T2x,T1,T2 L(V ,V );
(T )x Tx, F, x V.
易验证L(V,V)是F上的一个线性空间，即线性变 换空间，
同构：设V,W是F的线性空间，若存在f：V W,满足： 1)f是一一到上(双射)的映射,
令N(A)={ F n|A 0},R(A)={ F n| =A , F n},
则1)dimN(T)=dimN(A); 2)dimR(T)=dimR(A)=r(A); 3)(亏加秩)dimN(A)+dimR(A)=n.
定理5 设T L(V,V),则T在不同基下的矩阵相似.
四、特征值与特征向量
定义 设T L(V,V),若存在0 F及V的非零向量 , 使得T =0 ,则称0为T的一个特征值,而为T的属 于特征值0的一个特征向量.
注：特征向量在线性变换作用下保持方位不变 (在同一直线上).
取定V的一组基e1, , en ,设T(e1, , en )=(e1, , en )A,
设T =0 ( ), =(e1, , en ) , F n,则
一、定义
设V,W是域F上的线性空间，映射T：V W有
以下性质：， F，x, y V，有T( x y) Tx Ty, 称T为V到W的一个线性映射.特别
当V=W时，T为V到自身的线性映射，称T为V上 的线性变换.
例1 恒等变换 T：V V，Tx=x,x V. 零变换 T：V V，Tx=0,x V.
注2: 定理3的结构可推广到一般形式: L(V,W) Fnm.
定理4 V W dimV dimW.
推论1：任一实(复)n维线性空间均与Rn (Cn )同构. 推论2：dimL(V,W)=dimFnm nm. 特别的, dimL(V，V)=n2. 推论3: 设dimV=n,T L(V，V),T的矩阵为A Fnn ,
a1n
-a2 n
-an1 -an2
-ann
的展开式是的一个n次多项式, 其根为A的特征值, 而相应
于(*)式的非零解向量 称为A的属于0的特征向量. 注:1)0是T的特征值 0是A的特征值. 2)是T的特征向量 是A的特征向量,这里，
=(e1, , en ).
3) A的属于0的全部特征向量再添上零向量就构成
T =T(e1, , en ) =(e1, , en )A =0 =0 (e1, , en ),
所以A =0 ,即 (0I-A) =0, 0，(*)
从而|0I-A|=0.故引入下列定义:
定义 : 设A=(aij )nn F nn , 为一参量, A的特征矩阵I-A
的行列式
-a11 a12 |I-A|= a21 -a22
2)f保持运算,即, F, x, y V ,有f(x y) =f(x） f ( y),
则称V与W同构，记为V W.
同构的线性空间具有完全一致的空间结构和各种运 算规律，故可视为一个空间.
定理3 L(V,V) Fnn.
注1: 若对L(V,V)引入乘法:两个变换的乘积为变换的合成 (连续作用):(T1T2 )x T1(T2 x),则有L(V,V)与Fnn作为F上的环 (或代数)同构, 从而矩阵作为线性变换的数学表现形式包含了 其全部信息.
采用矩阵记法:
, en , 令
T(e1, , en )=(Te1, ,Ten )=(e1, , en )A,
a11 a12
这里，A=
a21
a22
an1 an2
awk.baidu.comn
a2n
(aij
)nn
F
nn .
ann
由空间结构和T的线性性质，T由Te1, …,Ten完全 确定，故由T唯一确定一个矩阵A，
例5 投影变换T：R3 R3，(x, y, z) R3，有 T(x, y, z) (x, y,0).
例6 微分算子和积分算子.
S : C[a,b] C[a,b],
x
S( f (x)) f (t)dt,f (x) C[a,b].
0
D : C(1)[a,b] C[a,b],
D( f (x)) f '(x), f (x) C (1)[a,b].
定理1(亏加秩定理)设T L(V,W), V为有限维， 则N(T)及R(T)均为有限维，且
dimN(T)+dimR(T)= dimV 即T的亏加秩等于其定义域的维数.
三、线性变换的矩阵和线性空间 的同构
设 dim V=n, T L(V,V),取定V上的一组基e1, Tej a1 je1 anjen ,1 j n,
二、核、像空间，亏加秩定理
设V,W为F上线性空间,令L(V,W)表示所有V到W的线性 映射的集合，设T L(V,W),令
N (T ) {x V | Tx },
R(T ) Im(T ) {y W | y Tx,x V}.
易验证N(T)为V的子空间，R(T)为W的子空间，称N(T) 及R(T)为T的核空间和像空间.并称dimN(T)为T的零度 (或亏)，dimR(T)为T的秩，一般有以下定理：
了Fn的一个线性子空间，称为A的一个特征子空间，
记为E(0 ),它就是齐次线性方程组(0I A)X=0的
定义：称A为T在基 e1, …,en在下的矩阵简称A为T 的矩阵.
如果取定V的一组基，对于任意的V上的线性变 换T，则唯一确定一个矩阵A，反之如何？
定理2：设 dimV n, e1, , en为V的一组基，任取 A=(aij )nn F nn ,则有且仅有一个线性变换T L(V ,V ), 使其矩阵恰为A.
例2 伸缩变换：取定k 0,令 T： R3 R3， Tx=kx,x R3. T将R3中任一向量拉伸(k>1)或 压缩(k<1)k倍.
例3 平面旋转变换：取定 （0,2）,x (x1, x2 )
令
cos
Tx=T(
x1,
x2
)
(
x1
,
x2
)
sin
sin
cos
.
例4 平面反射变换T：R2 R2，x (x1, x2 ) R2，有 Tx=T(x1, x2 ) (x1, -x2 ).
推论：L(V,V)与Fn ×n之间存在一一对应关系.
命题：L(V) = L(V,V)是线性空间，引入L(V,V)中的 运算：
(T1 T2 )x T1x T2x,T1,T2 L(V ,V );
(T )x Tx, F, x V.
易验证L(V,V)是F上的一个线性空间，即线性变 换空间，
同构：设V,W是F的线性空间，若存在f：V W,满足： 1)f是一一到上(双射)的映射,
令N(A)={ F n|A 0},R(A)={ F n| =A , F n},
则1)dimN(T)=dimN(A); 2)dimR(T)=dimR(A)=r(A); 3)(亏加秩)dimN(A)+dimR(A)=n.
定理5 设T L(V,V),则T在不同基下的矩阵相似.
四、特征值与特征向量
定义 设T L(V,V),若存在0 F及V的非零向量 , 使得T =0 ,则称0为T的一个特征值,而为T的属 于特征值0的一个特征向量.
注：特征向量在线性变换作用下保持方位不变 (在同一直线上).
取定V的一组基e1, , en ,设T(e1, , en )=(e1, , en )A,
设T =0 ( ), =(e1, , en ) , F n,则