八年级数学作对称轴
人教版初中八年级上册数学《作轴对称图形》精品教案
13.2 画轴对称图形第1课时作轴对称图形【知识与技能】1.通过动手操作体验如何作轴对称图形.2.能作出一个图形经一次或二次轴对称变换后的图形.3.能利用轴对称变换设计一些简单的图案.【过程与方法】通过实际操作获取作轴对称图形的方法,并应用于简单的图案设计.【情感态度】通过图案设计等活动,培养学生的动手操作能力\,审美及数学兴趣,发展学生的空间观念.【教学重点】作一个图形经轴对称变换后的图形.【教学难点】通过动手操作总结轴对称变换的特征.一、情境导入，初步认识利用多媒体向学生展示剪纸图片,供学生欣赏,并请学生交流:如此漂亮的剪纸是如何剪出的呢?问题1 请学生拿出画有一个简单风筝(如图形状)的半透明纸,把这张纸对折后描图,学生画好后打开对折的纸,观察并回答下列问题:(1)画出的图形与原来的图形有什么关系?(2)两个图形成轴对称有什么特征?问题 2 如果改变对称轴的方向和位置,结果又如何呢?让学生在刚才的纸上任意折叠,描图,打开纸.你发现了什么?【教学归纳】由学生画图、操作、观察后总结出:(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全一样.(2)新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线l的对称点,连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知【教学说明】成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经轴对称变换后得到.一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换扩展而成的.问题除上面所用的描图法;还可用什么方法画出轴对称变换后的图形?请学生间交流探讨.例1(1)如图1,已知△ABC和直线l,作出与△ABC关于直线l对称的图形.(2)将△ABC的位置移至图2,图3,图4时,再作出关于直线l对称的图形.并验证画法.【归纳总结】一个平面图形都是由一些点组成,点动成线,故要画一个图形经轴对称后的图形,只要找到一些特殊点,作出这些特殊点的对称点即可.【教学说明】利用轴对称变换,可以设计出精美的图案.有时,将平移和轴对称结合起来,可以设计出更美丽的图案.例2 操作并思考:如图所示,取一张薄的正方形纸,沿对角线对折后,得到一个等腰直角三角形,再沿斜边上的高线对折,将得到的三角形沿黑线剪开,去掉含90°角的部分,拆开折叠的纸,并将其铺开.(1)你会得到怎样的图案?先猜一猜,再做一做.(2)你能说明为什么会得到这样的图案吗?应用学过的轴对称的知识试一试.(3)如果将正方形纸按上面方式折3次,然后再去掉含90°角的部分展开后的结果又会怎样?为什么?解:(1)得到一个有2条对称轴的图形.(2)按照上面的做法，实际相当于折出了正方形的2条对称轴，因此图中得到的图案一定有2条对称轴.(3)按题中的方式将正方形对折3次,相当于折出了正方形的4条对称轴,因此得到的图案一定有4条对称轴.【教学说明】教师参与,与学生一起操作,力求使图案与花边完美.三、运用新知，深化理解1.把下列图形补成关于直线l对称的图形.2.如图,利用轴对称变换画出花瓶的另一半.3.如图，左边的旗子经过几次轴对称变换,可以变成右边的旗子?你能设计一种变换方案吗?4.如果我们把台球桌做成等边三角形形状,那么从AC中点D处出发的球,能否依次经BC,AB两条边反射后回到D处?如果认为不能,请说明理由;如果认为能,请作出球运动的路线.【教学说明】指导学生解答上述习题时，要注意引导学生：（1）画轴对称图形时，要先画好关键的对应点；（2）在已知成轴对称的图形时，利用成轴对称的图形的性质，找出对称轴.【答案】4.能.运动路线如图的D→E→F→D四、师生互动，课堂小结教师请学生回忆本节内容,学生发言谈收获,最后引导总结.1.由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全一样.2.经轴对称变换后的图形与原图形上的对应点连线被对称轴垂直平分.3.画一个图形经轴对称变换后的图形,关键是找到图形上的一些点,作出这些点的对称点.1.布置作业：从教材“习题13.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，重视学生的实际操作和观察发现与表述能力.教学时，根据本课内容特点，可依据其学科知识间联系（如例2）调动课堂气氛，培养学生学习兴趣.作者留言：非常感谢！您浏览到此文档。
八年级数学上册第十三章轴对称《轴对称：轴对称》
教学设计2024秋季八年级数学上册第十三章轴对称《轴对称：轴对称》一、教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解轴对称图形的概念，掌握识别轴对称图形的方法，能画出给定图形的轴对称图形。
2.过程与方法：通过观察、操作、归纳等数学活动，培养学生的空间想象能力和图形变换能力；在小组合作中，提升交流与合作能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学美的感受，培养探索数学规律的兴趣；通过解决实际问题，增强应用数学的意识。
二、教学重点•轴对称图形的定义及其性质。
•如何判断一个图形是否为轴对称图形。
•掌握作轴对称图形的基本方法。
三、教学难点•理解轴对称图形中对称轴两侧图形全等的意义。
•灵活运用轴对称性质解决复杂图形问题。
四、教学资源•多媒体课件（包含轴对称图形的实例、动态演示）。
•实物教具（如对称的剪纸、镜子等）。
•学生分组材料（纸张、剪刀、直尺、铅笔）。
•教材及配套练习册。
五、教学方法•直观演示法：利用多媒体和实物展示轴对称现象。
•动手操作法：学生动手剪纸或画图，体验轴对称图形的形成过程。
•合作探究法：小组内讨论轴对称图形的性质，共同解决问题。
•归纳总结法：引导学生总结轴对称图形的特征和应用。
六、教学过程1. 导入新课•情境引入：展示自然界和生活中轴对称图形的图片（如蝴蝶、树叶、建筑等），引导学生观察并思考这些图形的共同特点。
•提出问题：这些图形有什么共同之处？你能举出更多这样的例子吗？2. 新课教学•定义讲解：明确轴对称图形的定义，强调对称轴、对应点、对应线段等概念。
•实例分析：选取几个典型的轴对称图形，引导学生分析其对称轴和对称性质。
•动手操作：•活动一：学生分组，利用纸张和剪刀尝试剪出轴对称图形，并讨论其对称轴。
•活动二：给定一个简单图形，要求学生画出其关于某条直线的轴对称图形，并说明作图步骤。
•归纳总结：总结轴对称图形的性质，强调对称轴两侧图形全等的特点。
结构图示意（简化版）：引入（生活实例）→ 定义讲解（轴对称图形）→ 实例分析（图形特征）→动手操作（剪纸/画图）→ 归纳总结（性质、作图方法）3. 课堂小结•回顾轴对称图形的定义、性质及作图方法。
轴对称(全章知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(教师版) 2024-2025学年八年级数学上册基础
专题13.12轴对称（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.【知识点二】作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.【知识点三】等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】利用轴对称的性质求值【例1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P 在四边形ABCD 的内部，且点P 与点M 关于AD 对称，PM 交AD 于点G ，点P 与点N 关于BC 对称，PN 交BC 于点H ，MN 分别交AD BC ，于点E F ，．（1）连接PE PF ，，若12cm MN =，求PEF !的周长；（2）若134C D ∠+∠=︒，求HPG ∠的度数．【答案】(1)12cm (2)134°【分析】本题主经考查了轴对称与多边形综合．熟练掌握轴对称性质，多边形内角和公式，是解决问题的关键．n 边形内角和公式()2180n -⋅︒．（1）根据轴对称性质得到，PE ME =，PF NF =，得到PEF !的周长等于线段MN 的长度，为12cm ．（2）根据轴对称性质得到，PM AD ⊥，90PGA ∠=︒，PN BC ⊥，90PHB ∠=︒，根据四边形ABCD 内角和为360︒与134C D ∠+∠=︒，得到226A B ∠+∠=︒，根据五边形ABFPE 内角和为540︒，得到134HPG ∠=︒．解：（1）如图，∵点P 与点M 关于AD 对称，∴PE ME =，∵点P 与点N 关于BC 对称，∴PF NF =，∵12ME EF FN MN ++==，∴PEF !的周长为12cm ．（2）解：∵点P 与点M 关于AD 对称，∴PM AD ⊥，即90PGA ∠=︒，∵点P 与点N 关于BC 对称，∴PN BC ⊥，即90PHB ∠=︒，∵360A B C D ∠+∠+∠+∠=︒，134C D ∠+∠=︒，∴226A B ∠+∠=︒，∵540A B PHB HPG PGA ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∴134HPG ∠=︒．【变式1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，将ABC V 沿着AC 折叠，使点B 恰好落在CD 上的点B '处，若110BAD ∠=︒，则ACB =∠（）A ．55︒B ．45︒C ．40︒D ．35︒【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB E '，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．连接AB '，BB '，过A 作AE CD ⊥于E ，依据BAC B AC '∠=∠，DAE B AE '∠=∠，即可得出12CAE BAD ∠=∠，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到1902ACB ACB BAD '∠=∠=︒-∠．解：如图，连接BB '，过A 作AE CD ⊥于E ，点B 关于AC 的对称点B '恰好落在CD 上，AC ∴垂直平分BB '，AB AB '∴=，BAC B AC '∴∠=∠，AB AD = ，AD AB '∴=，又AE CD ⊥Q ，DAE B AE '∴∠=∠，1552CAE BAD ∴∠=∠=︒，又90AEC =︒∠ ，35ACB ACB '∴∠=∠=︒，故选：D ．【变式2】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，APT △与CPT △关于直线PT 对称，A APT ∠=∠，延长AT 交PC 于点F ，当A ∠=︒时，FTC C ∠=∠．【答案】36【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，证明2APF AFP A ∠∠∠==，利用三角形内角和定理构建方程求解即可．解：APT 与CPT △关于直线PT 对称，A C TA TC APT CPT ∠∠∠∠∴===，，，A APT ∠∠= ，A C APT CPT ∠∠∠∠∴===，FTC C ∠∠= ，22AFP C FTC C A ∠∠∠∠∠∴=+==，180A APF AFP ∠∠∠++=︒ ，5180A ∴∠=︒，36A ∴∠=︒，故答案为：36．【题型2】利用折叠的特征求值【例2】（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在长方形纸片ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，四边形CDEF 沿EF 翻折得到四边形C D EF ''且点D ¢恰好落在边AB 上；将AED '△沿ED '折叠得到A ED ''△且点A '恰好落在边BC 上．（1）若77BFE ∠=︒，则BFC '∠=．（2）若50A D B '∠='︒，求A EF '∠的度数．【答案】(1)26︒(2)52.5A EF '∠=︒【分析】本题考查了折叠的性质，熟练用折叠的性质进行角度的转换是解题的关键．（1）根据折叠的性质可得EFC EFC '∠=∠，设BFC x '∠=，则可得77EFC x '∠=+︒，根据180EFB EFC ∠+∠=︒列方程，即可解答；（2）根据50A D B '∠='︒可求得EA F '∠，再求出AED '∠和D EA ''∠，利用折叠的性质即可得到D EF '∠，即可解答．解：（1） 四边形CDEF 沿EF 翻折得到四边形C D EF ''且点D ¢恰好落在边AB 上，EFC EFC '∴∠=∠，设BFC x '∠=，则可得77EFC EFC x '∠=∠=+︒，根据180EFB EFC ∠+∠=︒可得7777180x ︒++︒=︒，解得26x =︒，故答案为：26︒；（2）解：在A D B '' 中，∵50A D B '∠='︒，90B Ð=°，40D A B ''∴∠=︒，∵点A '恰好落在边BC 上，90D A E A ''∴∠=∠=︒．180904050EA F ∴∠=︒-︒-︒='︒，AD BC ∥ ，50AEA EA F ''∴∠=∠=︒，1252AED A ED AEA ∴︒''''∠=∠=∠=由折叠的性质，知()1180257752D EF DEF ∠=∠=⨯︒-︒=︒'．52.5A EF D EF A ED ∴∠=∠-'='∠''︒．【变式1】（23-24九年级上·山东枣庄·开学考试）如图，四边形ABCD 为一矩形纸带，点E F 、分别在边AB CD 、上，将纸带沿EF 折叠，点A D 、的对应点分别为A ''、D ，若235∠=︒，则1∠的度数为（）A ．62.5︒B ．72.5︒C ．55︒D ．45︒【答案】B 【分析】本题考查了邻补角的性质，折叠的性质及平行线的性质，由235∠=︒可得145AEA '∠=︒，再利用折叠的性质求得AEF ∠的度数，然后利用平行线性质即可求得答案，掌握折叠的性质是解题的关键．解：∵235∠=︒，∴18035145AEA ∠=︒-︒='︒，由折叠性质可得，172.52AEF A EF AEA ∠='∠='∠=︒，∵AB CD ∥，∴272.5AEF ∠=∠=︒，故选：B ．【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 和DCB △中，90,,A D AC BD ∠=∠=︒相交于点E ，AE DE =．将CDE 沿CE 折叠，点D 落在点D ¢处，若30BED ∠='︒，则BCD '∠的大小为．【答案】22.5︒【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是掌握翻折的性质．证明()ASA ABE DCE ≌，得,ABE DCE BE CE ∠=∠=，然后由翻折的性质和三角形内角和定理即可解决问题．解：在ABE 和DCE △中，90A D AE DE AEB DEC ∠==︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ABE DCE ≌，∴,ABE DCE BE CE ∠=∠=，∴EBC ECB ∠=∠，由翻折可知：,D CE DCE D EC DEC ''∠=∠∠=∠，∵30BED ∠='︒，∴()118030752D EC DEC AEB ∠=∠=∠=︒-︒='︒，∴907515ABE ∠=︒-︒=︒，∴15ABE DCE D CE '∠=∠=∠=︒，∵,75BE CE AEB =∠=︒，∴37.5EBC ECB ∠=∠=︒，∴37.51522.5BCD EBC D CE ∠=∠-∠=︒-︒=''︒，故答案为：22.5︒．【题型3】线段垂直平分线的性质与判定求值【例3】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，AD 是ABC 的角平分线，DE DF 、分别是ABD △和ACD 的高．（1）试说明AD 垂直平分EF ；（2）若8628ABC AB AC S === ，，，求DE的长．【答案】(1)详见解析(2)4【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明()Rt Rt HL AED AFD ≌是解题的关键．（1）利用角平分线的性质证明DE DF =，证明()Rt Rt HL AED AFD ≌，则AE AF ＝，即可证明结论；（2）根据28ABC S =△列式计算即可．解：（1）证明：∵AD 是ABC ABC △△的角平分线，DE DF 、分别是ABD △和ACD 的高．∴DE DF =，在Rt AED △与Rt AFD △中，AD AD DE DF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL AED AFD ≌，∴AE AF =，∵DE DF =，∴AD 垂直平分EF ；（2）解：∵DE DF =，∴()11128222ABD ACD S S AB ED AC DF DE AB AC +=⋅+⋅=+= ，∵14AB AC +=，∴4DE =．【变式1】（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，在ABC V 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若7AC =，12BC =，则ADC △的周长为（）A ．12B ．14C ．19D ．26【答案】C【分析】由作图可知，MN 是线段AB 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得DA DB =，通过等量代换即可求解，本题考查了垂直平分线的判定和性质，解题的关键是：从作图方法中识别出垂直平分线的作法．解：由题意可得，MN 是线段AB 的垂直平分线，DA DB ∴=，71219ABC C AC AD CD AC CD BD AC BC =++=++=+=+= ，故选：C ．【变式2】（23-24九年级上·重庆·期末）如图在ABC V 中，D 为AB 中点，DE AB ⊥，180ACE BCE ∠+∠=︒，EF BC ⊥交BC 于F ，8AC =，12BC =，则BF 的长为．【答案】10【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理等；连接AE ，过点E 作EG AC ⊥交AC 的延长线于点G ，由线段垂直平分线的性质得EA EB =，由角平分线的性质得EG EF =，由HL 得Rt Rt EFC EGC ≌ 由全等三角形的性质得CF CG =，同理可得BF AG =，即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键．解：如图，连接AE ，过点E 作EG AC ⊥交AC 的延长线于点G ，D 为AB 中点，DE AB ⊥，EA EB ∴=，180ACE BCE ∠+∠=︒ ，180ACE ECG ∠+∠=︒，ECG BCE ∴∠=∠，EF BC ⊥ ，EG AC ⊥，EG EF ∴=，在Rt EFC △和Rt EGC 中，CE CE EF EG=⎧⎨=⎩，Rt Rt EFC EGC ∴≌ （HL ），CF CG ∴=，同理可得：Rt Rt BFE AGE ≌ ，BF AG ∴=，BC CF AC CG ∴-=+，128CF CF ∴-=+，解得：2CF =，12210BF ∴=-=，故答案：10．【题型4】利用等腰三角形的性质与判定求值或证明【例4】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 中，AC BC =，120ACB ∠=°，CD 是AB 边上的中线，BD 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，15CDG ∠=︒．（1）求证：AD AG =；（2）试判断CDE 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)等边三角形，见解析【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．（1）根据等腰三角形的性质得出CD AB ⊥，30A B ==︒∠∠，AD DB =，进而根据15CDG ∠=︒，得出AGD ADG ∠=∠，根据等角对等边即可得证；（2）根据EF 是BD 的垂直平分线，得出DE EB =，根据等边对等角得出30EDB B ∠=∠=︒，进而得出60DCE CDE ∠=∠=︒，可得CDE 是等边三角形.（1）证明：∵AC BC =，120ACB ∠=°，CD 是BC 边上的中线，∴CD AB ⊥，()1180302A B ACB ∠=∠=︒-∠=︒，AD BD =，∴90ADC CDB ∠=∠=︒，∵15CDG ∠=︒，∴9075ADG CDG ∠=︒-∠=︒，∵18075AGD A ADG ∠=︒-∠-∠=︒，∴AGD ADG ∠=∠，∴AD AG =；（2）结论：CDE 是等边三角形．∵EF 垂直平分线段BD ，∴DE EB =，∵30B ∠=︒，∴30EDB B ∠=∠=︒，∴9060CDE EDB ∠=︒-∠=︒，又∵AC BC =，120ACB ∠=°，CD 是BC 边上的中线，∴1602DCB ACB ∠=∠=︒，∴60DCE CDE ∠=∠=︒，∴CDE 是等边三角形．【变式1】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）在ABC V 中，36A ∠=︒，72B ∠=︒，则ABC V 是（）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的判定，根据三角形的内角和求出72C B ∠=∠=︒即可判断．解：在ABC V 中，36A ∠=︒，72B ∠=︒，∴18072C A B B ∠=︒-∠-∠=︒=∠，∴ABC V 是等腰三角形，故选：B ．【变式2】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BD =，DE AB ⊥于点E ，若4BC =，BDC 的周长为10，则AE 的长为．【答案】3【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据已知可得6BD CD +=，从而可得6AB AC ==，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答．解：4BC = ，且BDC 的周长为10，1046BD CD ∴+=-=，AD BD = ，6AD DC ∴+=，6AC ∴=，AB AC = ，6AB ∴=，AD DB = ，DE AB ⊥，132AE AB ∴==．故答案为：3．【题型5】利用等边三角形的性质与判定求值或证明【例5】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BAC ∠的平分线分别交BC ，CD 于E 、F ．（1）试说明CEF △是等腰三角形．（2）若点E 恰好在线段AB 的垂直平分线上，试说明线段AC 与线段AB 之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)12AC AB =【分析】（1）首先根据条件90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，可证出90B BAC ∠+∠=︒，90CAD ACD ∠+∠=︒，再根据同角的补角相等可得到ACD B ∠=∠，再利用三角形的外角性质可得到CFE CEF ∠=∠，最后利用等角对等边即可得出答案；（2）由线段垂直平分线的性质得到AE BE =，根据等腰三角形的性质得到EAB B ∠=∠，由AE 是BAC ∠的平分线，得到CAE EAB ∠=∠，根据直角三角形的性质即可得到结论．解：（1）∵90ACB ∠=︒，∴90B BAC ∠+∠=︒，∵CD AB ⊥，∴90CAD ACD ∠+∠=︒，∴ACD B ∠=∠，∵AE 是BAC ∠的平分线，∴CAE EAB ∠=∠，∵EAB B CEA CAE ACD CFE ∠+∠=∠∠+∠=∠，，∴CFE CEF ∠=∠，∴CF CE =，∴CEF △是等腰三角形；（2）∵点E 恰好在线段AB 的垂直平分线上，∴AE BE =，∴EAB B ∠=∠，∵AE 是BAC ∠的平分线，∴CAE EAB ∠=∠，∴2CAB B ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90CAB B ∠+∠=︒，∴30B ∠=︒，∴12AC AB =．【点拨】此题主要考查了直角三角形综合，熟练掌握直角三角形性质，角平分线性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，是解题的关键．【变式1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如果,,a b c 为三角形的三边长，且满足()()()0a b b c c a ---=，那么该三角形的形状为（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．无法确定【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定，掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法是解题关键．根据()()()0a b b c c a ---=得到a b =或a c =或b c =或a b c ==，从而可以判定该三角形的形状．解：∵()()()0a b b c c a ---=，∴0a b -=或0b c -=或0c a -=或0a b b c c a -=-=-=，解得a b =或a c =或b c =或a b c ==，∴该三角形的形状为等腰三角形或等边三角形，故选：D ．【变式2】（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图1，ABC V 和ADE V 是等边三角形，连接BD ，CE 交于点F ．（1）BD CE 的值为；（2）BFC ∠的度数为︒.【答案】160【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质．（1）根据等边三角形的性质得出AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，再由DAE BAE BAC BAE ∠+∠=∠+∠，得出CAE BAD ∠=∠，利用SAS 可证得CAE BAD ≌△△，从而可得出结论；（2）由()SAS CAE BAD △≌△，可得ABD ACE ∠=∠，再根据AOC BOF ∠=∠，结合三角形内角和即可求解．解：（1）∵ABC V 和ADE V 是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，∵DAE BAE BAC BAE ∠+∠=∠+∠，∴CAE BAD ∠=∠，∴()SAS CAE BAD △≌△，∴BD CE =，则1BD CE=，故答案为：1；（2）由()SAS CAE BAD △≌△，可得ABD ACE ∠=∠，∵AOC BOF ∠=∠，AOC ACE BAC BOF ABD BFC ∠+∠+∠=∠+∠+∠，∴60CFB BAC ∠=∠=︒，∴60BFC ∠=︒，故答案为：60．【题型6】利用30度所对的直角边等于斜边一半求值或证明【例6】（2024八年级上·江苏·专题练习）在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，M 是边AB 的中点，CH AB ⊥于点H ，CD 平分ACB ∠．（1）求证：CD 平分MCH ∠；（2）过点M 作AB 的垂线交CD 的延长线于点E ，求证：CM EM =；（3）AEM △是什么三角形？证明你的猜想．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AEM △是等腰直角三角形，证明见解析【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AM CM BM ==，由等腰三角形的性质得到CAB ACM ∠=∠，由余角的性质得到CAB BCH ∠=∠，等量代换得到BCH ACM ∠=∠，根据角平分线的性质得到ACD BCD ∠=∠，即可得到结论；（2）根据EM AB ⊥，CH AB ⊥，得到EM AB ∥，由平行线的性质得到HCD MED ∠=∠，由于HCD MCD ∠=∠，于是得到MCD MED ∠=∠，即可得到结论；（3）根据CM EM =，AM CM BM ==，于是得到EM AM BM ==，由EM AB ⊥，推出AEM △是等腰直角三角形．（1）证明：Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，M 是AB 边的中点，AM CM BM ∴==，CAB ACM ∴∠=∠，90CAB ABC ∴∠=-∠，CH AB ⊥ ，90BCH ABC ∴∠=-∠，CAB BCH ∴∠=∠，BCH ACM ∴∠=∠，CD 平分ACB ∠，ACD BCD ∴∠=∠，ACD ACM BCD BCH ∴∠-∠=∠-∠，即MCD HCD ∠=∠，CD ∴平分MCH ∠；（2）证明：EM AB ⊥ ，CH AB ⊥，∴EM CH ∥，HCD MED ∴∠=∠，HCD MCD ∠=∠ ，MCD MED ∴∠=∠，CM EM ∴=；（3）解：AEM △是等腰直角三角形，CM EM = ，AM CM BM ==，EM AM BM ∴==，EM AB ⊥ ，AEM ∴△是等腰直角三角形．【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，ABC V 中，9030ACB A ∠=︒∠=︒，，CD AB ⊥于点D ，若1BD =，则AD 的长度为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练运用“在直角三角形中，30︒角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键．由含30︒角的直角三角形的性质可分别求得BC 和AB 的长，进而求得AD 的长．解：∵在ABC V 中，9030ACB A ∠=︒∠=︒，，∴=60B ∠︒，∵CD AB ⊥，∴30BCD ∠=︒，∴在Rt BCD △中，22BC BD ==，∴在Rt ABC △中，24AB BC ==，∴413AD AB BD =-=-=．故选：C ．【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是CAB △的平分线，DE 垂直平分AB ，若3CD =，则BD =．【答案】6【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、30︒所对的直角边是斜边的一半，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得30B CAD DAB∠=∠=∠=︒，在Rt ACD△中，根据直角三角形的性质可求得AD，则可得出BD的长．解：DE垂直平分AB，DA DB∴=，B DAB∴∠=∠，AD平分CAB∠，CAD DAB∴∠=∠，90C∠=︒，390CAD∴∠=︒，30CAD∴∠=︒，26AD CD∴==，6BD AD∴==．故答案为：6．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在ABCV中，D是AC的中点，CE AB⊥，BD与CE交于点O，且BE CD=．下列说法错误的是（）A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点EB．3BDC ABD∠=∠C．当E为AB中点时，ABCV是等边三角形D．当E为AB中点时，34BOCAECSS=△△【答案】D【分析】连接DE ，根据CE AB ⊥，点D 是AC 的中点得12DE AD CD AC ===，则BE DE =，进而得点D 在线段BD 的垂直平分线上，由此可对选项Ａ进行判断；设ABD α∠=，根据BE DE =得EDB ABD α∠=∠=，的2AED EDB ABD α∠=∠+∠=，再根据DE AD =得2A AED α∠=∠=，则3BDC A ABD α∠=∠+∠=，由此可对选项Ｂ进行判断；当E 为AB 中点时，则12BE AB =，CE 是线段AB 的垂直平分线，由此得AC BC =，然后根据12BE AB =，12CD AC =，BE CD =得AB AC =，由此可对选项Ｃ进行判断；连接AO 并延长交BC 于F ，根据ABC V 是等边三角形得30OBC OAC ∠=∠=︒，则OA OB =，进而得2OB OF =，3AF OF =，由此得12OBC S BC OF ∆=⋅，1322ABC S BC AF BC OF ∆=⋅=⋅，由此可对选项Ｄ进行判断，综上所述即可得出答案．解：连接DE ，如图1所示：CE AB ⊥ ，点D 是AC 的中点，DE ∴为Rt AEC △斜边上的中线，12DE AD CD AC ∴===，BE CD = ，BE DE ∴=，∴点D 在线段BD 的垂直平分线上，即线段BD 的垂直平分线一定与AB 相交于点E ，故选项A 正确，不符合题意；设ABD α∠=，BE DE = ，EDB ABD α∴∠=∠=，2AED EDB ABD α∴∠=∠+∠=，DE AD = ，2A AED α∴∠=∠=，3BDC A ABD α∴∠=∠+∠=，即3BDC ABD ∠=∠，故选B 正确，不符合题意；当E 为AB 中点时，则12BE AB =，CE AB ⊥ ，CE ∴是线段AB 的垂直平分线，AC BC ∴=，12BE AB = ，12CD AC =，BE CD =，AB AC ∴=，AC BC AB ∴==，ABC ∴ 是等边三角形，故选C 正确，不符合题意；连接AO ，并延长交BC 于F ，如图2所示：当E 为AB 中点时，点D 为AC 的中点，∴根据三角形三条中线交于一点得：点F 为BC 的中点，当E 为AB 中点时，ABC V 是等边三角形，60ABC BAC ∴∠=∠=︒，AF BC ⊥，AF 平分OAC ∠，BD 平分ABC ∠，30OBC OAC ∴∠=∠=︒，OA OB ∴=，在Rt OBF △中，2OB OF =，2OA OB OF ∴==，3AF OA OF OF ∴=+=，12OBC S BC OF ∆∴=⋅，1322ABC S BC AF BC OF ∆=⋅=⋅，∴13OBC ABC S S ∆∆=，故选项D 不正确，符合题意．故选：D ．【点拨】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．【例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在ABC V 中，5030B C ︒∠∠=︒=，，A 是高，以点A 为圆心，A 长为半径画弧，交AC 于点E ，再分别以B 、E 为圆心，大于12BE 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部交于点F ，作射线AF ，则DAF ∠=．【答案】10︒/10度【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出AF 平分BAC ∠，然后利用三角形内角和定理求解即可．解：因为5030B C ∠=︒∠=︒，，所以1805030100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，根据题意得：AF 平分BAC ∠，所以1502BAF BAC ∠==︒，因为AD 为高，所以90BDA ∠=︒，所以180509040BAD ∠=︒-︒-︒=︒,所以504010DAF BAF BAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：10︒．2、拓展延伸【例】（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）在等腰ABC V 中，CA CB =，30B ∠=︒，将一块足够大的直角三角尺PMN （90M ∠=︒、30MPN ∠=︒）按如图所示放置，顶点P 在线段AB 上滑动，三角尺的直角边PM 始终经过点C ，并且与CB 的夹角PCB α∠=，斜边PN 交AC 于点D ．（1）当P 运动到AB 中点时，α=__________度；（2）当45α=︒时，请写出图中所有的等腰三角形（ABC V 除外）__________．（3）在点P 的滑动过程中，当PCD △的形状是以PC 为底的等腰三角形时，请在指定位置画出此时形成的图形，并指出此时图中的所有直角三角形（PMN 除外）．不用说明理由．【答案】(1)60；(2)ACP △和PCD △；(3)此时图中的所有直角三角形是PBC △和APD △．【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．（1）根据等腰三角形的性质得到CP AB ⊥，求得90BPC ∠=︒，根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）根据三角形的内角和定理得到120BCA ∠=︒，求得1204575ACP ∠=︒-︒=︒，根据等腰三角形的判定定理得到ACP △是等腰三角形，求得PDC PCD ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理得到PCD △是等腰三角形（3）当PD CD =时，PCD △以PC 为底的等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到30PCD CPD ∠=∠=︒，即12030α-=°°，推出PBC △是直角三角形，根据三角形的内角和定理得到60CPB ∠=︒，求得603090BPD ∠=︒+︒=︒，于是得到APD △是直角三角形．解：（1）AC BC = ，点P 为AB 中点，CP AB ∴⊥，90BPC ∴∠=︒，30B ∠=︒ ，903060α∴=︒-︒=︒，故答案为：60；（2）CA CB = ，30B ∠=︒，30A B ∴∠=∠=︒，120BCA ∴∠=︒，45BCP α∠==︒ ，1204575ACP ∴∠=︒-︒=︒，75APC BCP B ∠=∠+∠=︒ ，ACP APC ∴∠=∠，ACP ∴△是等腰三角形，30CPD ∠=︒ ，45APD ∴∠=︒，75CDP A APD ∴∠=∠+∠=︒，PDC PCD ∴∠=∠，PCD ∴ 是等腰三角形，故答案为：ACP △和PCD △；（3）如图，120ACB ∠=︒ ，120PCD α∴∠=︒-，当PD CD =时，PCD △以PC 为底的等腰三角形，30PCD CPD ∴∠=∠=︒，即12030α-=°°，90α∴=︒；PBC ∴△是直角三角形，60CPB ∴∠=︒，6030BPD ∴∠=︒+︒，90APD ∴∠=︒，APD ∴ 是直角三角形，综上所述，此时图中的所有直角三角形是PBC △和APD △．。
八年级数学上册 画轴对称图形 人教版4
对称点是 P 1 ，点 P 1 关于直线l的对称点是 P 2 ，求 P 1 P 2
的长(用含a的代数式表示).
图13-2-13
解：(1)由题意可知，A 1 (8，0)，B 1 (7，0)，C 1 (7，2).
如图13-2-14，A1B1C1 即为所求作的图形.
例2 如图13-2-3，在方格纸上建立的平面直角坐标
系中，Rt△ABC关于y轴对称的图形为Rt△DEF，则点A 的对应点D的坐标是__(2_,_1_)_.
图13-2-3 解析：由题图知点A的坐标是(-2，1)，所以点A关于y 轴对称的对应点D的坐标是(2，1).
例3 如图13-2-4，利用关于坐标轴对称的点的坐标 特征，作出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C.
图13-2-4
解：∵△ABC关于x轴对称的图形为△A′B′C′，且 △ABC三个顶点的坐标分别是A(-1，4)，B(-3，-3)， C(2，1)， ∴△A′B′C′三个顶点的坐标分别是A′(-1，-4)， B′(-3，3)，C′(2，-1). 如图13-2-5，△A′B′C′即为所求.
图13-2-5
图13-2-12
题型五 关于坐标轴对称的点的坐标特征的综合运用 例9 如图13-2-13，在平面直角坐标系中，直线l过点
M(3，0)且平行于y轴. (1)如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2，0)，B(-1，0)， C(-1，2)，△ABC关于直线l的对称图形是 A1B1C1 ，作
出 A1B1C1，并写出点 A1, B1,C1 的坐标；
图13-2-14
(1) 图13-2-15 (2)
当a=3时，P(-3,0).∵点P与点P 1 关于y轴对称,∴ P 1 (3,0).
人教版八年级数学上册《画轴对称图形》轴对称PPT课件
学以致用
1.如图，把下列图形补成关于直线l的对称图形.
学以致用
2.下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正
确的是（ B ）
A．
B．
C．
D．
学以致用
3.如图(1)所示,在3×3的正方形网格中已有两个小正方形被涂 黑,再将图中其余小正方形任意涂黑一个,使整个图案构成一个
轴对称图形的办法有 ( ) C
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
• 克莱因说:“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特 的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能扣 人心弦，哲学使人获得智慧，科学可以改善物质生活，但数学却 能提供以上的一切。”
学习目标
1.能够按要求画简单平面图形经过一次对称后的图形。
2.掌握作轴对称图形的方法。
3.通过画轴对称图形，增强学生学习几何的趣味感。
重点
作已知图形的对称图形的一般步骤。
难点
怎样确定已知图形的关键点并根据这些点作出对称图形。
新知引入
这些图案是怎样形成的？ 你想学会制作这种图案的方法吗？
）剪出的轴对称图形的点与原图形上的点有什么关系？
新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点。
（3）对应点所连线段与对称轴有什么关系？ 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
新知应用
画一画1：画出一个点关于直线l对称的图形
已知：直线l和一个点A ，作出点A关于直线l的对称点.
并写出你的画法.
作法： （1）如图，过点A画直线l的垂线，垂 足为O；
（2）在垂线上截取OA′=OA； 则点A′就是点A关于直线l的对称点．
八年级上册数学轴对称知识点
八年级上册数学轴对称知识点在初中数学中，轴对称是一个非常重要的知识点。
轴对称是指在一个平面上，如果有一条直线，把这个平面分成两个对称的部分，那么我们就说这个平面是轴对称的。
八年级上册的数学课程中，轴对称被涉及到了，下面我们来详细地探讨一下轴对称的相关知识点。
一、轴对称的定义和性质轴对称的定义如上所述，即沿着一条直线进行对称，这条直线就称为轴线或者对称轴。
在轴对称的情况下，通过轴对称得到的镜像图形和原图形完全重合，这也就是轴对称的性质。
轴对称有如下的性质：（1）轴对称图形共有或自成一类轴对称得到的镜像图形和原图形完全重合，因此当把某个图形做轴对称后，得到的图形和原图形形状相同，只是位置不同。
所以，轴对称得到的镜像图形和原图形共有或自成一类。
（2）轴对称的两个对称图形的距离等于轴到这两个图形的距离我们知道，轴对称的求法是以轴线为轴进行对称，而轴线到对称位置不同的点的距离不同，因此，轴对称的两个对称图形的距离等于轴到这两个图形的距离。
（3）轴对称保持长度、角度不变轴对称能够保持长度和角度不变的原因是，轴对称的两个对称图形都是完全重合的，所以它们的长度和角度是相同的。
二、轴对称的基本步骤下面我们来看轴对称的基本步骤：（1）确定轴对称的轴线首先，要确定轴对称的轴线，它必须是平面内的一条直线。
（2）确定轴对称的中心点确定轴对称的中心点，这个点一般都在轴线上，它是轴线的中点。
（3）确定轴对称的象限确定轴对称的象限，即确定轴对称得到的镜像图形和原图形的位置关系。
（4）确定轴对称的顺序确定轴对称的顺序，从哪一端开始进行对称。
一般情况下，我们可以从离中心点近的位置开始对称。
三、轴对称的应用轴对称的应用十分广泛，下面我们来看一下轴对称在实际生活中的应用：（1）轮子的轴对称自行车、汽车等车辆的轮子都采用了轴对称的原理。
（2）建筑物的轴对称建筑物在建造过程中也采用了轴对称的方法，比如古希腊罗马建筑中的神殿、半圆形壳体建筑等。
人教版八年级上册数学-13《轴对称》知识点及典型例题
⼈教版⼋年级上册数学-13《轴对称》知识点及典型例题第⼗三章《轴对称》⼀、知识点归纳（⼀）轴对称和轴对称图形1、有⼀个图形沿着某⼀条直线折叠，如果它能够与另⼀个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果⼀个图形沿⼀条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何⼀对对应点所连线段的垂直平分线。
类似的，轴对称图形的对称轴，是任何⼀对对应点所连线段的垂直平分线。
连接任意⼀对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应⾓相等。
5．画⼀图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。
（⼆）、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是⼀个具有特殊形状的图形，把⼀个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成⼀个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。
（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与⼀条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）所以线段的垂直平分线能够看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．（四）⽤坐标表⽰轴对称2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；(五）关于坐标轴夹⾓平分线对称点P（x，y）关于第⼀、三象限坐标轴夹⾓平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第⼆、四象限坐标轴夹⾓平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）（六）关于平⾏于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；(七）等腰三⾓形1、等腰三⾓形性质：性质1：等腰三⾓形的两个底⾓相等（简写成“等边对等⾓”）性质2：等腰三⾓形的顶⾓平分线、底边上的中线、底边上的⾼相互重合。
人教版八年级数学上册《画轴对称图形》轴对称PPT精品课件
EFG，则△ EFG就是所求.
方法二：也可以利用全等知识进行作图，即先出A、C
的对称点E、G，然后分别以E、G为圆心，AB、CB为
半径作弧，两弧交于点F，则△ EFG就是所求.
知识拓展
二、确定对称点：四边形ABCD和四边形EFGH关于直线MN对称，连
知识梳理
例2：（2）画出△ ABC关于y轴对称的△ A2B2C2；
（3）是否存在点E，使△ ACE和△ ACB全等？若存在，直接写
出所有点E的坐标。
【结论】轴对称变换的作图的步骤是：①
求特殊点的坐标；②描点；③连线.
知识梳理
例3：在平面直角坐标系中，已知点
A（ − 3，1），B（ −
1，0），C（ − 2， − 1），请在下图中画出△ ABC，并画出与
分别为何值.
（1）A、B关于x轴对称；
（2）A、B关于y轴对称。
知识梳理
例2：（1）根据关于x轴对称点的坐标特点横坐标不变、纵坐标互为
相反数可得
2m + n = 1
=1
，解得
− = −2
= −1
（2）根据关于y轴对称点的坐标特点纵坐标不变、横坐标互为
2m + n = −1
= −1
又∵点P（m，n），关于y轴的对称点的坐标为（1，b）
∴m=-1，n=b.
∴m=-1，n=2，故m+n=1.
知识梳理
例4：若点A（m + 2，3）与点B（ − 4，n + 5）关于y轴对称，则
m+n= 0 .
+2=4
=2
根据
；解得
；故m + n = 0
八年级数学必背几何定理定义公式之轴对称
轴对称是几何学中的一个重要概念，用来描述平面中的一种关系。
在轴对称中，存在一个轴线，使得轴线上的每个点关于轴线的对称点也在这个平面上。
轴对称的定义：在平面上，如果存在一条直线，对于平面内的任意一点P，如果点P关于这条直线的对称点也在这个平面上，那么就称这个平面具有轴对称性，而这条直线就是这个平面的轴线。
轴对称的性质：1.因为轴对称是一条直线，所以它没有长度和宽度，只有方向。
2.平面中的任意两点关于轴线对称，其对称点也在同一条直线上。
3.对于平面内的任意一点P，点P关于轴线的对称点为P'，则有PP'=r，其中r为轴线到点P的距离。
轴对称的判定方法：1.直接判定：根据定义，通过观察图形，判断图形是否具有轴对称性。
2.射线法：可以用一根射线作为轴线，将图形分成两部分，再观察这两部分是否关于射线对称。
3.过相应点法：如果图形上已知两个或多个对称点，则可以连接这些点，得到的直线就是轴线。
轴对称的应用：1.在几何证明中，轴对称常常被用来构造等边、等角等形状。
2.在日常生活中，很多物体都具有轴对称性，比如书本、门窗等。
轴对称的例题：例题1：判断下列图形是否具有轴对称性，并给出轴线的方程。
(1)点A(1,1)关于直线y=1对称；(2)点B(3,4)关于直线x=3对称；(3)点C(-2,5)关于直线y=-2x+3对称。
解答：(1)点A(1,1)关于直线y=1对称，所以图形具有轴对称性。
轴线的方程为y=1(2)点B(3,4)关于直线x=3对称，所以图形具有轴对称性。
轴线的方程为x=3(3)点C(-2,5)关于直线y=-2x+3对称，所以图形具有轴对称性。
轴线的方程为y=-2x+3例题2：已知A(2,3)关于直线y=2x对称，求点A'的坐标。
解答：因为A(2,3)关于直线y=2x对称，所以A和A'关于这条直线对称。
设点A'的坐标为(x,y)。
根据对称性可以得到以下关系：x+2y=4（点A和A'在直线y=2x上）2x+x=4（点A和A'在直线x=2上）解方程组得到x=1，y=1所以A'的坐标为(1,1)。
八年级上册数轴对称知识点
八年级上册数轴对称知识点数轴对称是数学中的一个重要概念，它不仅在初中阶段的数学学习中起到了基础作用，而且在高中数学和大学数学中都有着广泛的应用。
本文将详细介绍八年级上册数轴对称的知识点，帮助初中学生更好地掌握这一概念。
1. 数轴对称的定义数轴是由一条无限长的、直线型的线段构成的，这条线段上的每个点都被赋予了一个特定的坐标值。
在数轴上，选取一个点O 作为轴心，如果对数轴上的任意一点A，都可以找到点A'使得OA=OA'，那么称点A关于点O对称。
2. 数轴对称的性质数轴对称有以下几个基本性质：(1) 对称轴上的点与它的对称点重合；(2) 对称不改变两点之间的距离；(3) 对称是一种一一对应的变换；(4) 任何点都可以有关于对称轴的对称点。
3. 数轴上的点的位置关系(1) 在对称轴上的点关于对称轴对称，即O在对称轴上，O对称于自身；(2) 在对称轴同侧的点的对称点分别在对称轴的另一侧；(3) 在对称轴异侧的点的对称点互相对称。
4. 数轴上的点的坐标对称对坐标轴上的一个点关于原点对称时，其坐标的值正负相反。
例如，对于数轴上的点A(3)，其关于原点的对称点为A'(-3)。
5. 判断一条线段是否经过对称若线段AB的中点C在对称轴上，则线段AB经过对称。
如果线段AB不经过对称，那么它的中点C不在对称轴上。
6. 对称性质的应用数轴对称性在数学学科中有着广泛的应用。
在几何学中，通过对称关系可以实现复杂图形的简化和对称图形的分类。
在代数学中，对称性的应用广泛涉及了函数的性质、方程的解法、矩阵的相关计算等。
总之，数轴对称是数学中基础而又重要的概念，是后续数学学习的基石。
学生们需要认真对待这一知识点，加强对它的理解掌握，从而在后续的学习中获得更好的成绩。
初中数学教学课件： 作轴对称图形(人教版八年级上) 公开课一等奖课件
A
C
B ′
泵站应修在管道的C处，可使所用的输气管线最短.
归纳 实际上是通过轴对称变换，把A，B在直线同
侧的问题转化为在直线的两侧的问题，从而可利
用“两点之间线段最短”加以解决.
2. 八年级某班同学做游戏，在活动区域边放了一些球，则
小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到
球跑到目的地A处. 路线：小明——P——A
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出 解决办法。
段A′B′?
作法： 1、过点A作直线L的垂线，垂足为点O， 在垂线上截OA′=OA，
A
A′
B 点A′就是点A关于直线L的对称点； 2、类似地，作出点B关于直线L的对称点B′；
3、连接A′B′.
B′
∴线段A′B′即为所求.
2.如图，已知△ABC和直线l，怎样作出与△ABC关于
直线l对称的图形呢？ B C A O A′ l
八年级上册数学轴对称知识点总结
八年级上册数学轴对称知识点总结一、引言数学作为一门基础学科，其所包含的内容广泛而深刻。
在八年级上册中，轴对称作为其中的一个重要知识点，对学生来说具有一定的挑战性。
在本文中，我们将以八年级上册数学轴对称知识点为主题，进行全面的评估和总结，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
二、基本概念1. 关于轴对称轴对称是指平面上存在一条直线，使得图形关于这条直线对称。
一个图形如果可以分成两部分，且其中一部分经过旋转、翻转或平移后可以和另一部分完全重合，那么这个图形就是关于这条直线对称的。
2. 轴对称的性质- 轴对称的图形关于对称轴是对称的。
- 轴对称的图形的对称中心在对称轴上。
- 轴对称的图形的每一点经过对称轴的对称变换后都能恰好在图形上。
三、基本题型在八年级上册数学中，关于轴对称的题型主要包括：1. 判断图形是否轴对称2. 找出图形的对称中心和对称轴3. 根据轴对称的性质，解决相关的计算题目四、实例分析以具体的实例来分析轴对称的知识点：题目：如图，判断图形是否关于虚线对称。
[图片]解析：根据图形可以看出，通过对折可以发现，图形A和图形B可以重合，因此该图形是关于虚线对称的。
又如，若已知一个三角形的对称轴为边AC，对称中心为边BC的中点O，求证△ABC是个等腰三角形。
解析：根据轴对称的性质，可以证明线段BO和OA相等，从而得到△ABC为等腰三角形。
五、拓展应用除了基本的题型和实例分析，八年级上册数学中的轴对称知识点还涉及到一些拓展应用，在真实生活中也是有一定的应用场景的。
在建筑设计中，轴对称的思想可以帮助设计师更好地进行建筑设计和规划，保证建筑物的整体美观和稳定性。
在工程制图和艺术设计中，轴对称也扮演着重要的角色。
六、总结与展望通过对八年级上册数学轴对称知识点的全面评估和总结，我们更深入地理解了轴对称的基本概念、基本题型和实例分析，以及在拓展应用中的意义。
在今后的学习中，我们应该更加注重轴对称知识点的理解和应用，结合实际情况进行综合训练，提高解决问题的能力和思维方式，为未来的学习和生活打下坚实的基础。
人教版八年级数学上册 . 画轴对称图形
②过点B作BE⊥MN,延 长BE 使B 'E=BE ;
③过点C 作CF⊥MN,延 长CF 使C 'F=CF;
D
E F
C’
A’ B’
④连接A'B ',B 'C ',C 'A',即可得到 △ABC关于直线MN对称的△A'B 'C'.
人教版八年级数学上册 . 画轴对称图形
人教版八年级数学上册 . 画轴对称图形
第十三章 轴对称
人教版八年级数学上册 . 画轴对称图形
学习新知
检测反馈
人教版八年级数学上册 . 画轴对称图形
回顾旧知识
1、如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的 部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
2、如果两个图形关于某条直线对称，那么对 称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
来吧！动动脑筋动动手
．． ．．
对称轴方向和位置发生变化时， 得到的图形的方向和位置也会发生 变化。
人教版八年级数学上册 . 画轴对称图形
人教版八年级数学上册 . 画轴对称图形
如何画一个点的对称图形?
画出点A关于直线l 的对称点A'.
画法: 如图所示.(1)过点A作
l
对称轴l 的垂线,垂足为B;
(2)延长AB至A',使得
人教版八年级数学上册 . 画轴对称图形
人教版八年级数学上册 . 画轴对称图形
2.如图(1)所示,在3×3的正方形网格中已有两
个小正方形被涂黑,再将图中其余小正方形任
意涂黑一个,使整个图案构成一个轴对称图形
的办法有 ( C )
A.3种
B.4种
C.5种
八年级下册数学对称轴知识点
八年级下册数学对称轴知识点
一、对称轴的定义
对称轴是平面上的一条直线，该直线将平面分成两部分，两部分对称。
通过对称轴将图形翻转180°，图形和原来的图形完全一致。
二、对称轴的种类
1. 线对称轴：对称轴是一条直线，将图形对称后与原来的图形完全一致。
2. 点对称轴：对称轴是一点，将图形对称后与原来的图形完全一致。
三、线对称轴的性质
1. 对称轴上的点不变：对称轴与图形上的所有点的关系是对称的。
沿着对称轴旋转180°后，对称轴上的每个点仍然保持不变。
2. 对称轴将图形分为两个对称的部分：对称轴把图形分成两个对称的部分，对每个部分进行旋转和翻转，能够得到原始图形。
3. 线对称轴是一条中垂线：对称轴是连接每个点和其对称点的线段的中点。
四、应用
1. 图形的判定与构造：通过画对称轴，判定一个图形是否对称，或者通过构造对称轴，完成某些几何构造。
2. 物理问题中的应用：例如：一个对称铁路桥的重力中心与悬
挂的重物的重心处于同一条线上，可以利用对称轴来解决该问题。
五、例题
1. 在坐标系中，点A(2,4)关于直线y=-x对称，求点A的对称
点坐标。
解：对称轴是y=-x，点A到y=-x的距离为d=6，所以点A的
对称点坐标为B(-4,-2)。
2. 点D(-3,2)关于点C(4,-1)的对称点为B，若点A(6,k)在直线
BC上，求k的值。
解：点D的对称点为B(11,-4)，由于BC是点D的中垂线，所
以AB=CD，由此得出k=-2。
轴对称的教案八年级
八年级数学《轴对称》教案本教案旨在帮助八年级学生掌握轴对称的概念、性质和应用，培养学生的几何直观能力和解题能力。
下面是本店铺为大家精心编写的5篇《八年级数学《轴对称》教案》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《八年级数学《轴对称》教案》篇1一、教学目标1. 知识与技能目标：理解轴对称的概念，掌握轴对称的性质和应用，能运用轴对称解决简单的几何问题。
2. 过程与方法目标：通过观察、操作、讨论等方式，培养学生的几何直观能力和解题能力。
3. 情感态度和价值观目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生的审美观念和学习兴趣。
二、教学重点和难点1. 教学重点：理解轴对称的概念和性质，掌握轴对称的应用。
2. 教学难点：运用轴对称解决简单的几何问题。
三、教学准备1. 教师准备：课件、方格纸、彩色笔。
2. 学生准备：笔记本、笔。
四、教学过程1. 导入新课 (5 分钟)教师通过图片或视频的形式，向学生展示一些具有轴对称性的事物，如飞机、鸟巢、雪花等，引导学生观察并思考这些事物的共同特点。
2. 学习新知 (30 分钟)(1) 教师通过课件向学生介绍轴对称的概念，引导学生理解轴对称的定义和特点。
(2) 教师通过实例讲解轴对称的性质，如对称轴、对称点、对称线等，引导学生掌握轴对称的性质。
(3) 教师通过例题讲解轴对称的应用，如求解线段中点、求解面积等，引导学生掌握轴对称的应用。
3. 巩固练习 (20 分钟)教师通过课件出示一些练习题，让学生运用轴对称的概念和性质解决实际问题。
4. 小组讨论 (15 分钟)教师将学生分成小组，让他们讨论轴对称的一些应用问题，如“如果一个长方形有一条对称轴，那么它是否一定是矩形？”、“如果一个正方形有一条对称轴，那么它是否一定是菱形？”等。
5. 总结反思 (5 分钟)教师引导学生总结本节课所学的知识点，反思自己的学习过程，检查是否达到教学目标。
五、教学评价1. 课堂练习：学生能熟练运用轴对称的概念和性质解决实际问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
[单选]某企业年初资产总额为30000000元，负债总额为6000000元，所有者权益总额为24000000元，则该企业年初的产权比率为（）。A.0.5B.0.25C.1.5D.2.5 [单选]《行政诉讼法》第55条规定，人民法院判决被告重新作出具体行政行为的，被告不得以同一事实和理由作出与原具体行政行为基本相同的具体行政行为。下列（）内容属该条规定的例外情况。A.人民法院以具体行政行为主要证据不足为由判决撤销的B.人民法院以具体行政行为适用法律，法 [单选]跳汰机除去小修外的中修内容包括（）。A.检查各槽体、有无漏水、漏矿。B.拆检中间轴C.电机表面清理D.更换中间轴 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列项叙述是错误的（）A.皇甫谧著《针灸甲乙经》B.杨继洲著《针灸大成》C.徐凤著《针灸大全》D.高武著《十四经发挥》E.李时珍著《奇经八脉考》 [单选,A2型题]一个4岁儿童早餐通常吃一个鸡蛋，喝一杯牛奶，家长认为孩子的早餐非常有营养，但通过咨询营养专家，发现早餐应该增加的食物是（）A.面包+蔬菜B.蔬菜+水果C.鱼类+馒头D.瘦肉+米饭E.豆腐+米饭 [名词解释]射频识别 [单选,A2型题,A1/A2型题]持续呕吐或鼻胃吸引可引起（）.A.高阴离子间隙型代谢性酸中毒B.正常阴离子间隙型代谢性酸中毒Cl-响应型代谢性碱中毒D.Cl-抵抗型代谢性碱中毒E.外源性碱增多引起的代谢性碱中毒 [单选]（）是指在一个独立行使管理权的基层物业管理单位内，独立核算的财务主体所进行的以物业服务费为主要对象的费用计划、编制、控制、使用管理和分析的财务活动。A.物业管理项目财务管理B.物业管理项目企业管理C.财务管理项目物业管理D.企业管理项目财务管理 [单选]《建设工程勘察合同示范合同示范文本（一）》和《建设工程勘察合同示范文本（二）》均约定，在合同生效后3天内，发包人应向勘察人支付勘察费的（）作为定金。A.10%B.20%C.30%D.40% [问答题,简答题]实施清洁生产有哪些途径和方法？ [填空题]在三维块状模型中，将矿床分为单元块后，需要应用某种方法对每一小块的平均品位进行估计。常用的方法有三，即（）、（）和（）。 [单选]在建筑施工现场（）是导致事故发生的最主要因素。A.人的因素B.物的因素C.环境因素D.不可测知的因素 [单选]行政主体的活动，从性质上划分主要包括（）。A.民事活动和司法活动B.司法活动和行政诉讼活动C.民事活动和行政管理活动D.行政复议活动和行政诉讼活动 [配伍题,B1型题]发生在输血2小时内最常见的并发症是（）</br>输血的同时输注低渗性液体易发生（）A.变态反应B.发热反应C.过敏反应D.溶血反应E.细菌污染反应 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列哪一项不是自发性蛛网膜下腔出血的原因（）。A.颅内动脉瘤B.动静脉畸形C.烟雾病D.动脉硬化E.抗纤溶治疗 [单选]（）把下属作为权变的变量，即认为下属的成熟水平是选择领导风格的依赖条件。A．参与模型基础B．领导情境理论C．费德勒的权变模型D．路径—目标理论 [填空题]黑色金属表面一般都存在氧化皮，俗称（）。 [单选,A1型题]放射性药品使用许可证的有效期为（）A.1年B.2年C.3年D.5年E.7年 [填空题]带变频调速的螺旋给料机在运行中突然跳停，可能的原因是（）故障、给料电动机本体（）或机械传动部分卡涩。 [单选]对航海员来讲，下列那种导航方法比较直观（）。A．雷达导航B．目视导航C．VTS导航D．GPS导航 [单选]甲烷化炉入口二氧化碳含量设计值是（）PPM。A.1800B.1500C.800D.400 [单选,A1型题]下列关于具有抗肿瘤作用的药物，错误的是（）A.黄连B.苦参C.黄芩D.鱼腥草E.知母 [单选]下列有关神经纤维膜上通道的叙述，哪一项是错误的A．是电压门控的B．在去极化达阈电位时，可引起正反馈C．有开放和关闭两种状态D．有髓纤维，主要分布在郎飞结处E．与动作电位的去极相有关 [单选,A2型题,A1/A2型题]缺铁性贫血的改变顺序是（）A.低血清铁--骨髓贮存铁减少--贫血B.低血清铁--贫血--骨髓贮存铁减少C.骨髓贮存铁减少--贫血--低血清铁D.贫血--骨髓贮存铁减少--低血清铁E.骨髓贮存铁减少--低血清铁--贫血 [单选]由于（）耐磨性差，用于室内地面，可以采用表面结晶处理，提高表面耐磨性和耐酸腐蚀能力。A．瓷砖B．花岗岩C．微晶石D．大理石 [单选]烧伤临床常用的磺胺嘧啶银霜剂的浓度是()A．1%B．5%C．10%D．20%E．以上都不是 [单选]设卫星的轨道平面与地球的赤道平面夹角为i，则极轨道的夹角为（）A.i=0°B.i=90°CC.0° [多选]在编制资产负债表时根据总账科目期末余额与其备抵科目抵消后的数据填列的项目有（）。A.预付账款B.应收账款C.在建工程D.无形资产E.存货 [单选]下载文件使用的协议是（）A.HTTPB.POP3C.FTPD.TCP/IP [问答题,案例分析题]患者女性，25岁，急性阑尾炎术后，请你戴无菌手套、清洁伤口换药。 [填空题]带有脱硫系统的锅炉效率（）。 [填空题]3、宽体机的机身较宽，客舱内至少有2条走廊，3排座椅，机身宽一般在（）米以上 [单选]可确诊支气管扩张的诊断方法为（）A.支气管造影B.支气管镜检查C.详细的病史D.肺部前后位X线片E.用上述检查方法均无效 [单选,A2型题]人类文化的产生与发展是世代努力的结果，这指的是文化的（）A.历史性B.现实性C.渗透性D.继承性E.社会性 [配伍题]内容同住院病历，但重点更突出、更简要的是（）</br>病人住院期间的全部病情经过应记录在（）A.会诊记录B.入院记录C.病程记录D.出院记录E.死亡记录 [填空题]化验室大量使用玻璃仪器，是因为玻璃具有很高的（）、（）有很好的（）一定的（）和良好绝缘性能. [单选]船舶对水航速VL，对地航速VG，船速VE，如果VL＜VE，而且VG＞VL，则船舶航行在（）情况下。A．顺风顺流B．顶风顶流C．顺风顶流D．顶风顺流 [单选]综合数字网的英文编写是（）.A.IDNB.ISDNC.TMN [单选,A1型题]男，55岁。机关干部。患胃溃疡多年，本次因胃出血入院，手术治疗后，病情平稳。此时，医患关系模式为（）。A.共同参与型B.指导-合作型C.被动-主动型D.主动-主动型E.主动-被动型 [单选,A1型题]下列各项，不属于温燥证临床表现的是（）。A.发热有汗B.咽喉疼痛C.口渴饮水D.舌红脉浮数E.无汗头痛