含一个量词的命题的否定

2)某些平行四边形是菱形；
3) x0∈R, x02+1＜0
否定:
x0∈M, p(x0) x0∈M, p(x0)
1)所有实数的绝对值都不是正数; xM,p(x)
2)每一个平行四边形都不是菱形; x M,p(x)
3) x R, x2 1 0
x M,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
例3. 写出下列命题的否定： （1） 若x2>4，则 x>2； （2） 若m≥0,则 x2+x－m=0有实数根； （3） 可以被5整除的整数，末位是0； （4） 被8整除的数能被4整除； （5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.
解：(1)原命题完整表述：对任意的实数x,若x2>4,则x>2.
课堂练习：教材26页练习
1.写出下列命题的否定，并判断真假： (1) n Z, n Q ; (2) 任意素数都是奇数； (3) 每个指数函数都是单调函数. 解：(1) n0∈Z, n0∈Q.
(2) 存在一个素数,它不是奇数； (3) 存在一个指数函数,它不是单调函数.
2.写出下列命题的否定： (1) 有些三角形是直角三角形； (2) 有些梯形是等腰梯形； (3) 存在一个实数，它的绝对值不是正数. 解：(1) 所有三角形都不是直角三角形；
(2) 每个梯形都不是等腰梯形；
(3) 所有实数的绝对值都是正数.
隐蔽性否定命题的确定：
解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等 量词的简化形式，这种情形下时应先将命题写成完 整形式，再依据法则来写出其否定形式.
例3. 写出下列命题的否定： （1） 若x2>4，则 x>2； （2） 若m≥0,则 x2+x－m=0有实数根； （3） 可以被5整除的整数，末位是0； （4） 被8整除的数能被4整除； （5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.
1.4.3 含有一个量词 的 命题的否定
复习回顾:
常见的全称量词有“所有的”“任意一个” “一切” “每一个” “任给”“所有的”等. 常见的存在量词有“存在一个”“至少一个” “有些” “有一个” “对某个” “有的”等.
判断全称命题和特称命题真假
要判定全称命题“ x∈M, p(x) ”是真命题，需要对集合M中每个
1)所有的矩形都是平行四边形； x M,p(x)
2)每一个素数都是奇数； xM,p(x)
3)x R, x2 2x 1 0
否定:
x M,p(x)
1)存在一个矩形不是平行四边形； x0∈M, ﹁p(x0)
2)存在一个素数不是奇数； x0∈M, ﹁p(x0)
3) x0∈R, x02-2x0+1＜0 x0∈M, ﹁ p(x0)
解：(1) ¬p:存在一个能被3整除的整数不是奇数.
(2) ¬p:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.
(3) ¬ p: x0 Z , x02 的个位数字等于3.
【说明】否定时,不能只是简单的否定结论， 全称命题的否定变成特称命题.
探究
写出下列命题的否定
1)有些实数的绝对值是正数； x0∈M, p(x0)
元素x, 证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0) 不成立，那么这个全称命题就是假命题.
要判定特称命题 “ x0∈M, p(x0)”是真命题，只需在集合M中
找到一个元素x0,使p(x0)成立即可，如果在集合M中，使p(x)成立 的元素x不存在，则特称命题是假命题.
探究 写出下列命题的否定
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从命题形式上看,这三个全称命题的否定都 变成了特称命题.
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否 定,有下面的结论:
全称命题p: x M , p(x)
它的否定p : x0∈M, ﹁p(x0)
全称命题的否定是特称命题.
例1 写出下列全称命题的否定： (1) p: 所有能被3整除的整数都是奇数; (2) p: 每一个四边形的四个顶点共圆; (3) p: 对任意x∈Z, x2的个位数字不等于3.
从命题形式上看,这三个特称命题的否定 都变成了全称命题.
一般地,对于含有一个量词的特称命题的 否定,有下面的结论:
特称命题 p : x0∈M, p(x0)
它的否定 p : x M,p(x)
特称命题的否定是全称命题.
例2 写出下列特称命题的否定：
(1)p: x0∈R, x02+2x0+2≤0
解：(4)原命题完整表述：所有能被8整除的数能被4整除.
否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.
(5)原命题完整表述：任意四边形，若它是正方形， 则它的四条边中任何两条都相等.
否定：存在一个四边形，它是正方形，但它的四条边 中至少有两条不相等.
Leabharlann Baidu它的否定：存在实数x0，满足x02＞4，但x0≤2. (2)原命题完整表述：对任意实数m,若m≥0,则 x2+x－m=0 有实数根.
它的否定：存在非负实数m0 ,使x2+ x－m=0无实数根. (3)原命题完整表述：所有可以被5整除的整数，末位是0；
否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0；
例3. 写出下列命题的否定： （1） 若x2>4，则 x>2； （2） 若m≥0,则 x2+x－m=0有实数根； （3） 可以被5整除的整数，末位是0； （4） 被8整除的数能被4整除； （5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.
(2) p:有的三角形是等边三角形;
(3) p:有一个素数含三个正因数.
解：(1) ¬ p: x R, x2 2x 2 0.
(2) ¬ p: 所有的三角形都不是等边三角形.
(3) ¬ p: 每一个素数都不含三个正因数.
【说明】否定时，不能只是简单的否定结论，特称命 题的否定变成全称命题.