数值积分与数值微分1详解

f (4) () , (a,b)
由此可以看出，Simpson 公式就是利用 a , c = (a+b)/2, b 三点高度的加权平均值 [ f (a) )+4 f (c) + f (b)]/6 作为平均高 度 f (ξ )的近似值。从几何上来看，也就是利用抛物线 y =L 2 (x) 与x=a , x=b 以及 x 轴所围成的图形的面积来近似 表示曲边梯形的面积。
其中
S1
b
a L2 (x)dx
ba[ 6
f
(a) 4
f
a
2
b
f
(b)]
h[ 3
f
(a)
4Biblioteka Baidu
f
a
b 2
f
(b)]
这里 h (b a) / 2 ，上式称为Simpson公式或抛物型公式。
Simpson 公式的余项为：
RS1
b a
R2
(x)dx
1 90
h5
f
(4)
(
)
(b a)5 2880
第八章 数值积分与数值微分
山东大学数学学院
内容提纲
➢ 数值积分的必要性 ➢ 求积公式及其代数精度 ➢ 插值型求积公式 ➢ Newton-Cotes公式及数值稳定性 ➢ 复化求积公式及误差估计 ➢ 数值微分
引言 数值积分的必要性
本章主要讨论如下形式的一元函数积分
b
I ( f ) f (x)dx
a
在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分
b
I ( f ) a f (x)dx F (b) F (a)
被积函数 f (x)要求： ☞ 有解析表达式； ☞ f (x)的原函数F(x)为初等函数．
实际问题
1 f (x)的原函数F (x)不能用初等函数表示 例如函数:
sin x 2 , cos x 2 , sin x , 1 , 1 x3 , ex2 x ln x
求积公式及其代数精度
求积公式的概念
积分值
b
I ( f ) a f (x)dx
在几何上可解释为由x=a , x=b , y=0 和 y = f (x) 所围成的 曲边梯形的面积。积分计算之所以有困难，就是因为这个 曲边梯形有一条边 y = f (x)是曲的。
依据积分中值定理，对于连续函数 f (x) ,在[a , b]内存在
左矩形公式: I ( f )≈(b - a) f (a) 右矩形公式: I ( f )≈(b - a) f (b) 中矩形公式: I ( f )≈(b - a) f [(a+b)/2]
一 梯形公式
取积分区间的两个端点 a , b 作为插值节点，则相应的 Lagrange插值公式及其余项分别为：
L1(x)
xb ab
f (a) x a ba
f (b)
R1 ( x)
1 2
f
( )(x a)(x b) ,
(x) (a,b)
将 f (x) L1(x) R1(x) 代入定积分，则有：
b
b
I ( f ) a f (x)dx a [L1(x) R1(x)]dx
b
b
a L1(x)dx a R1(x)dx T1 RT1
f
(b)
b
a
2
b
(b
a)
R2 (x)
1 3!
f
(
)(
x
a)
x
a
b 2
(
x
b)
,
(x) (a,b)
将 f (x) L2 (x) R2 (x) 代入定积分，则有：
b
b
I ( f ) a f (x)dx a [L2 (x) R2 (x)]dx
b
b
a L2 (x)dx a R2 (x)dx S1 R S1
1 x2 2x2 3 3 x 2x2 3 9 ln( 2 x 2x2 3 )
4
16
16 2
3. f (x)没有解析表达式，只有数表形式:
x 1 2 3 45
f (x) 4 4.5 6 8 8.5
这些都说明,通过原函数来计算积分有它的局限 性,因而,研究关于积分的数值方法具有很重要的实 际意义.
a2
12
其中 h b a ，上式称为梯形公式的余项。
由此可以看出，梯形公式就是利用 a , b 两点高度的加
权平均值 [ f (a)+ f (b)]/2 作为平均高度 f (ξ )的近似值。从
几何上来看，也就是利用梯形的面积来近似表示曲边梯形
的面积。
例1：求 1 x d x 0
解：
1 0
1 0 x d x T1 2 (0 1) 0.5
一点ξ, 使得
b
I ( f ) a f (x)dx (b a) f ( )
称 f (ξ)为区间[a , b]的平均高度。问题在于点ξ的具体位置
一般是不知道的。这样, 只要对平均高度 f (ξ)提供一种算法,
相应地便获得一种数值求积方法.
如果简单地选取区间[a , b]的一个端点或区间中点的 高度作为平均高度，这样建立的求积公式分别是:
二 Simpson 公式
在积分区间内取三个插值节点： a, (a b) / 2,b ，则相应 的Lagrange插值公式及其余项分别为：
L2 ( x)
x
a
a
2
b
(
x
a)
a
2
b
(a
b)
f
(a)
(x a)(x b)
a
2
b
a
a
2
b
b
f
(a b) 2
x
a
2
b
(
x
a)
考虑一个实际问题:
建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块 平整的铝板压制而成的.
假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的
高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近
似2π英寸为一个周期. 求制做一块波纹
瓦所需铝板的长度L.
这个问题就是要求由函数f(x)=sinx 给定
的曲线,从 x =0 到 x =48英寸间的弧长L.
例2：利用Simpson公式求 1 x d x 0
解：
1 0
x
d
其中
T1
ba[ 2
f
(a)
f
(b)]
称为梯形公式。
余项为： RT1 (x)
b f ( ) (x a)(x b)dx
a2
由于 (x a)(x b) 在[a , b]上不变号，由积分中值定理，得：
RT1 (x)
b
f ( )
h3
(x a)(x b)dx
f () , (a,b)
由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:
L 48 1 ( f (x))2 dx 48 1 (cos x)2 dx
0
0
上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法 来计算.
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示
成有限形式,但表达式相当复杂,计算极不方便.例
如函数
x2 2x2 3
并不复杂,但它的原函数却十分复杂: