2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题二 第2讲 填空题解题4技法(共31张PPT)
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2 2 2
答案： 6π
1． 填空题的主要作用是考查考生的基础知识、基本技能以 及思维能力和分析问题、解决问题的能力．填空题只要求直接 填写结果， 不必写出计算或推理过程， 其结果必须是数值准确、 形式规范、表达式(数)最简．
[思维流程]
[解析]
a b c 由正弦定理sin A＝sin B＝sin C，
sin2A＝sin2B＋sin Bsin C＋sin2C 可化为 a2＝b2＋bc＋c2，即 b2＋c2－a2＝－bc， b2＋c2－a2 1 故 cos A＝ 2bc ＝－2， 2π 又因为∠A∈(0，π)，所以∠A＝ 3 .
总结 ——————————规律· —————————————
利用图解法解决问题的步骤 图解法就是将不等式变形转化为两个函数图像的相对位置 关系，直接根据图形求解不等式的方法，主要应用于求解不等 式中含有两类不同性质的函数解析式的不等式问题．利用图解 法解决此类问题的基本步骤如下： 第一步：归类变形．根据不等式的结构特征进行归类，将 不等式变形为 f(x)>(<)g(x)或 f(x)≥(≤)g(x)的形式． 第二步：构造函数．根据变形后的不等式构造相应的函 数 y＝f(x)与 y＝g(x)．
BC， 故可推得 m∥n； 对于③： β 取②中平面， γ 为平面 AB′C′D， α， 取 取值线 n 为直线 B′C′故可推得结论．
[答案]
①或③
—————————规律· 总结—————————————
构造法的应用 构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根 据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向．一般通过构造 新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的 问题．在立体几何中，补形构造是最为常用的解题技巧．通过 补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中求解，如将 三棱锥补成特殊的长方体等．
[例 2]
如图，在△ABC 中，点 M 是
BC 的中点，过点 M 的直线与直线 AB、 AC 分别交于不同的两点 P、Q，若 AP ＝
1 1 λ AB ， AQ ＝μ AC ，则 λ＋μ＝________.
[思维流程]
[解析]
1 1 由题意可知， λ＋μ的值与点 P、Q 的位置无关，而当
2．数学填空题的类型 根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型： 一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程 的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线 段长度和角度大小等． 由于填空题和选择题相比， 缺少可选择的信 息，所以高考题中多数是以定量型问题出现． 二是定性型， 要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定 的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的焦点坐标、离心率 等．近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题．
[例 3]
不等式 4－x2－kx＋1≤0 的解集非空，则 k 的取
值范围为________．
[思维流程]
原不等 构造函数 作出函 利用k的几何 → → 式变形 fx，gx 数图像 → 意义求范围
[解析]
由 4－x2 － kx＋ 1≤0， 得 4－x2 ≤kx－ 1， 设 f(x) ＝
4－x2，g(x)＝kx－1，显然函数 f(x)和 g(x)的定义域都为[－2,2]．令 y＝ 4－x2，两边平方得 x2＋y2＝4，故函数 f(x)的图像是以原点 O 为 圆心，2 为半径的圆在 x 轴上及其上方的部分． 而函数 g(x)的图像是直线 l：y=kx－1 在 [－2,2]内的部分，该直线过点 C(0，－1)，斜 率为 k. 如图，作出函数 f(x)，g(x)的图像，不等式的解集非空，即直线 l 和半圆有公共点，可知 k 的几何意义就是半圆上的点与点 C(0，－1) 连线的斜率．
4.如图，已知球 O 的面上有四点 A、B、C、D，DA⊥ 平面 ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝ 2，则球 O 的 体积等于________．
解析：如图，以 DA，AB，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球 O 的半径为 R，则正方体的体对角线长即为球 O 的直径，所以 CD＝ 6 4πR3 2 ＋ 2 ＋ 2 ＝2R，所以 R＝ 2 ，故球 O 的体积 V＝ 3 ＝ 6π.
[例 4]
(2013· 济南模拟)已知三个互不重合的平面 α、β、
γ，α∩β＝m，n⊂γ，且直线 m、n 不重合，由下列三个条件： ①m∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③m⊂γ，n∥β. 能推得 m∥n 的条件是________．
[思维流程]
构造长方 把已知的线 → 面位置关系移 → 判断m、n → 得结论 体模型 植到长方体上 是否平行
0－－1 1 由图可知 A(－2,0)，B(2,0)，故 kAC＝ ＝－2， －2－0 0－－1 1 kBC＝ ＝2. 2－0 1 1 要使直线和半圆有公共点，则 k≥2或 k≤－2. 所以 k
[答案]
1 1 的取值范围为－∞，－2∪2，＋∞.
1 1 －∞，－ ∪ ，＋∞ 2 2
第三步：作图转化．根据函数的性质分别作出两个函数的 图像． 第四步：写出结论． 第五步：回顾反思．准确画出函数图像是解题的关键，作 函数图像时，要注意函数的定义域、单调性、奇偶性和周期性 等性质的应用，此类问题多与解析几何中的直线、圆、椭圆等 相联系，灵活利用几何意义确定不等式的解集．
3．若直线 y＝x＋m 与曲线 y＝－ x2－4有且仅有一个公共点， 则实数 m 的取值范围为________．
法二：把平行四边形 ABCD 看成正方形，则点 P 为对角线的交点， AC＝6，则 AP · ＝18. AC
垂足为 P，且 AP＝3，则 AP · ＝________. AC
答案：18
图 解 法
对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作 出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得 出正确结果．这类问题的几何意义一般比较明显，如一次函数的斜 率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间的距离等，求解的关键 是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形，虽然作图要花费一 些时间，但只要认真将图形作完，解答过程就会简便很多．
解析：由 y＝－ x2－4，得 x2－y2＝4(y≤0)， 它是双曲线 x2－y2＝4 在 x 轴下方的部分曲线 (包括与 x 轴的交点)，如图所示，它的渐近 线方程为 y＝± x(图中虚线)，直线 y＝x＋m 与 之平行，要使直线 y＝x＋m 与曲线 y＝－ x2－4有一个交点，把 直线 y＝x＋m 由下向上平移，容易得 m∈(－∞，－2]∪(0,2]．
第二讲
填空题解题 4 技法
1．数学填空题的特点 填空题缺少可选择的信息，故解答题的求解思路可以原 封不动地移植到填空题上．但填空题既不用说明理由，又无 需书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于 填空题．
填空题大多能在课本中找到原型和背景， 故可以化归为熟知的 题目或基本题型．填空题不需过程，不设中间分值，更易失分，因 而在解答过程中应力求准确无误． 填空题虽题小， 但跨度大， 覆盖面广， 形式灵活， 可以有目的、 和谐地结合一些问题，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活地运 用知识的能力和基本运算能力，突出以图助算、列表分析、精算与 估算相结合等计算能力．要想又快又准地答好填空题，除直接推理 计算外，还要讲究一些解题策略，尽量避开常规解法．
1 1 直线 BC 与直线 PQ 重合时，有 λ＝μ＝1，所以 λ＋μ＝2.
[答案]
2
总结 ——————————规律· —————————————
应用特殊值法的注意事项 求值或比较大小关系等问题均可运用特殊值法求解， 但要 注意此种方法仅限于所求值只有一种的填空题， 对于开放性的 问题或者多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．
2．如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AP⊥BD，
解析：法一：∵ AP · ＝ AP ·AB ＋ BC )＝ AP · ＋ AP · ＝ ( AC BC AB ( AP · ＋ AP ·BD ＋ BC )＝ AP · ＋2 AP · . AB BD AB 又 AP⊥BD，∴ AP · ＝0. BD 2 又∵ AP · ＝| AP || AB |cos∠BAP＝| AP | ， AB 2 ∴ AP · ＝2| AP | ＝2×9＝18. AC
3．解数学填空题的原则 解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确 性的要求比解答题更高、更严格． 《考试说明》中对解答填空 题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”．为此在解填空题 时要做到： 快——运算要快， 力戒小题大做； 稳——变形要稳， 不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题 要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意．
直 接 法
此类填空题的特点是必须根据题目中给出的条件， 通过数 学计算找出正确答案．解决此类问题需要直接从题设条件出 发， 利用有关性质或结论等， 通过巧妙变化， 简化计算过程． 解 题过程要灵活地运用相关的运算规律和技巧， 合理转化、 巧妙 处理已知条件．
[例 1] 若△ABC 的三个内角满足 sin2A＝sin2B＋sin B· C＋ sin sin2C，则∠A＝________.
解析：由 f(x)是定义在 R 上的奇函数可知，f(1)＝－f(－1)＝ 1 －2 ＝－2.由 f(x)＝f(x＋4)可知，函数 f(x)是周期为 4 的Байду номын сангаас期
－1
1 函数，所以 f(2 013)＝f(503×4＋1)＝f(1)＝－2. 1 答案：－2
特 殊 值 法
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结 论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以 从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当的特殊值(特殊函 数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程和特殊 模型等)进行处理， 从而得出探求的结论． 为保证答案的正确性， 在运用此方法时，一般应多取几个特例．
答案：(－∞，－2]∪(0,2]
构 造 法
用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造 出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察 联想、 分析综合的基础之上的， 首先应观察题目， 观察已知(例 如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已 学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问 题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量 等具体的数学模型，达到快速解题的目的．
[解析]
构建长方体模型，如图，观察选
项特点，可优先判断条件②：取平面 α 为平面 ADD′A′，平面 β 为平面 ABCD，则直线 m 为直线 AD.因 m∥γ，故可取平面 γ 为平面 A′B′C′D′，因为 n⊂γ 且 n∥β，故可取直线 n 为直线 A′B′. 则直线 AD 与直线 A′B′为异面直线，故 m 与 n 不平行．对于①： α、β 取②中平面，取平面 γ 为平面 BCC′B′，可取直线 n 为直线
[答案] 2π 3
总结 ——————————规律· —————————————
直接法的运用技巧 直接法是解决计算型填空题最常用的方法， 在计算过程中我 们要根据题目的要求灵活处理， 并注意一些解题规律和解题技巧 的灵活应用，通过合理转化将计算过程简化，从而得到结果．
1．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意 x∈R 都有 f(x)＝ f(x＋4)，当 x∈(－2,0)时，f(x)＝2x，则 f(2 013)＝_________.
答案： 6π
1． 填空题的主要作用是考查考生的基础知识、基本技能以 及思维能力和分析问题、解决问题的能力．填空题只要求直接 填写结果， 不必写出计算或推理过程， 其结果必须是数值准确、 形式规范、表达式(数)最简．
[思维流程]
[解析]
a b c 由正弦定理sin A＝sin B＝sin C，
sin2A＝sin2B＋sin Bsin C＋sin2C 可化为 a2＝b2＋bc＋c2，即 b2＋c2－a2＝－bc， b2＋c2－a2 1 故 cos A＝ 2bc ＝－2， 2π 又因为∠A∈(0，π)，所以∠A＝ 3 .
总结 ——————————规律· —————————————
利用图解法解决问题的步骤 图解法就是将不等式变形转化为两个函数图像的相对位置 关系，直接根据图形求解不等式的方法，主要应用于求解不等 式中含有两类不同性质的函数解析式的不等式问题．利用图解 法解决此类问题的基本步骤如下： 第一步：归类变形．根据不等式的结构特征进行归类，将 不等式变形为 f(x)>(<)g(x)或 f(x)≥(≤)g(x)的形式． 第二步：构造函数．根据变形后的不等式构造相应的函 数 y＝f(x)与 y＝g(x)．
BC， 故可推得 m∥n； 对于③： β 取②中平面， γ 为平面 AB′C′D， α， 取 取值线 n 为直线 B′C′故可推得结论．
[答案]
①或③
—————————规律· 总结—————————————
构造法的应用 构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根 据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向．一般通过构造 新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的 问题．在立体几何中，补形构造是最为常用的解题技巧．通过 补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中求解，如将 三棱锥补成特殊的长方体等．
[例 2]
如图，在△ABC 中，点 M 是
BC 的中点，过点 M 的直线与直线 AB、 AC 分别交于不同的两点 P、Q，若 AP ＝
1 1 λ AB ， AQ ＝μ AC ，则 λ＋μ＝________.
[思维流程]
[解析]
1 1 由题意可知， λ＋μ的值与点 P、Q 的位置无关，而当
2．数学填空题的类型 根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型： 一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程 的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线 段长度和角度大小等． 由于填空题和选择题相比， 缺少可选择的信 息，所以高考题中多数是以定量型问题出现． 二是定性型， 要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定 的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的焦点坐标、离心率 等．近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题．
[例 3]
不等式 4－x2－kx＋1≤0 的解集非空，则 k 的取
值范围为________．
[思维流程]
原不等 构造函数 作出函 利用k的几何 → → 式变形 fx，gx 数图像 → 意义求范围
[解析]
由 4－x2 － kx＋ 1≤0， 得 4－x2 ≤kx－ 1， 设 f(x) ＝
4－x2，g(x)＝kx－1，显然函数 f(x)和 g(x)的定义域都为[－2,2]．令 y＝ 4－x2，两边平方得 x2＋y2＝4，故函数 f(x)的图像是以原点 O 为 圆心，2 为半径的圆在 x 轴上及其上方的部分． 而函数 g(x)的图像是直线 l：y=kx－1 在 [－2,2]内的部分，该直线过点 C(0，－1)，斜 率为 k. 如图，作出函数 f(x)，g(x)的图像，不等式的解集非空，即直线 l 和半圆有公共点，可知 k 的几何意义就是半圆上的点与点 C(0，－1) 连线的斜率．
4.如图，已知球 O 的面上有四点 A、B、C、D，DA⊥ 平面 ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝ 2，则球 O 的 体积等于________．
解析：如图，以 DA，AB，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球 O 的半径为 R，则正方体的体对角线长即为球 O 的直径，所以 CD＝ 6 4πR3 2 ＋ 2 ＋ 2 ＝2R，所以 R＝ 2 ，故球 O 的体积 V＝ 3 ＝ 6π.
[例 4]
(2013· 济南模拟)已知三个互不重合的平面 α、β、
γ，α∩β＝m，n⊂γ，且直线 m、n 不重合，由下列三个条件： ①m∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③m⊂γ，n∥β. 能推得 m∥n 的条件是________．
[思维流程]
构造长方 把已知的线 → 面位置关系移 → 判断m、n → 得结论 体模型 植到长方体上 是否平行
0－－1 1 由图可知 A(－2,0)，B(2,0)，故 kAC＝ ＝－2， －2－0 0－－1 1 kBC＝ ＝2. 2－0 1 1 要使直线和半圆有公共点，则 k≥2或 k≤－2. 所以 k
[答案]
1 1 的取值范围为－∞，－2∪2，＋∞.
1 1 －∞，－ ∪ ，＋∞ 2 2
第三步：作图转化．根据函数的性质分别作出两个函数的 图像． 第四步：写出结论． 第五步：回顾反思．准确画出函数图像是解题的关键，作 函数图像时，要注意函数的定义域、单调性、奇偶性和周期性 等性质的应用，此类问题多与解析几何中的直线、圆、椭圆等 相联系，灵活利用几何意义确定不等式的解集．
3．若直线 y＝x＋m 与曲线 y＝－ x2－4有且仅有一个公共点， 则实数 m 的取值范围为________．
法二：把平行四边形 ABCD 看成正方形，则点 P 为对角线的交点， AC＝6，则 AP · ＝18. AC
垂足为 P，且 AP＝3，则 AP · ＝________. AC
答案：18
图 解 法
对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作 出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得 出正确结果．这类问题的几何意义一般比较明显，如一次函数的斜 率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间的距离等，求解的关键 是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形，虽然作图要花费一 些时间，但只要认真将图形作完，解答过程就会简便很多．
解析：由 y＝－ x2－4，得 x2－y2＝4(y≤0)， 它是双曲线 x2－y2＝4 在 x 轴下方的部分曲线 (包括与 x 轴的交点)，如图所示，它的渐近 线方程为 y＝± x(图中虚线)，直线 y＝x＋m 与 之平行，要使直线 y＝x＋m 与曲线 y＝－ x2－4有一个交点，把 直线 y＝x＋m 由下向上平移，容易得 m∈(－∞，－2]∪(0,2]．
第二讲
填空题解题 4 技法
1．数学填空题的特点 填空题缺少可选择的信息，故解答题的求解思路可以原 封不动地移植到填空题上．但填空题既不用说明理由，又无 需书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于 填空题．
填空题大多能在课本中找到原型和背景， 故可以化归为熟知的 题目或基本题型．填空题不需过程，不设中间分值，更易失分，因 而在解答过程中应力求准确无误． 填空题虽题小， 但跨度大， 覆盖面广， 形式灵活， 可以有目的、 和谐地结合一些问题，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活地运 用知识的能力和基本运算能力，突出以图助算、列表分析、精算与 估算相结合等计算能力．要想又快又准地答好填空题，除直接推理 计算外，还要讲究一些解题策略，尽量避开常规解法．
1 1 直线 BC 与直线 PQ 重合时，有 λ＝μ＝1，所以 λ＋μ＝2.
[答案]
2
总结 ——————————规律· —————————————
应用特殊值法的注意事项 求值或比较大小关系等问题均可运用特殊值法求解， 但要 注意此种方法仅限于所求值只有一种的填空题， 对于开放性的 问题或者多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．
2．如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AP⊥BD，
解析：法一：∵ AP · ＝ AP ·AB ＋ BC )＝ AP · ＋ AP · ＝ ( AC BC AB ( AP · ＋ AP ·BD ＋ BC )＝ AP · ＋2 AP · . AB BD AB 又 AP⊥BD，∴ AP · ＝0. BD 2 又∵ AP · ＝| AP || AB |cos∠BAP＝| AP | ， AB 2 ∴ AP · ＝2| AP | ＝2×9＝18. AC
3．解数学填空题的原则 解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确 性的要求比解答题更高、更严格． 《考试说明》中对解答填空 题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”．为此在解填空题 时要做到： 快——运算要快， 力戒小题大做； 稳——变形要稳， 不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题 要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意．
直 接 法
此类填空题的特点是必须根据题目中给出的条件， 通过数 学计算找出正确答案．解决此类问题需要直接从题设条件出 发， 利用有关性质或结论等， 通过巧妙变化， 简化计算过程． 解 题过程要灵活地运用相关的运算规律和技巧， 合理转化、 巧妙 处理已知条件．
[例 1] 若△ABC 的三个内角满足 sin2A＝sin2B＋sin B· C＋ sin sin2C，则∠A＝________.
解析：由 f(x)是定义在 R 上的奇函数可知，f(1)＝－f(－1)＝ 1 －2 ＝－2.由 f(x)＝f(x＋4)可知，函数 f(x)是周期为 4 的Байду номын сангаас期
－1
1 函数，所以 f(2 013)＝f(503×4＋1)＝f(1)＝－2. 1 答案：－2
特 殊 值 法
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结 论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以 从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当的特殊值(特殊函 数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程和特殊 模型等)进行处理， 从而得出探求的结论． 为保证答案的正确性， 在运用此方法时，一般应多取几个特例．
答案：(－∞，－2]∪(0,2]
构 造 法
用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造 出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察 联想、 分析综合的基础之上的， 首先应观察题目， 观察已知(例 如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已 学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问 题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量 等具体的数学模型，达到快速解题的目的．
[解析]
构建长方体模型，如图，观察选
项特点，可优先判断条件②：取平面 α 为平面 ADD′A′，平面 β 为平面 ABCD，则直线 m 为直线 AD.因 m∥γ，故可取平面 γ 为平面 A′B′C′D′，因为 n⊂γ 且 n∥β，故可取直线 n 为直线 A′B′. 则直线 AD 与直线 A′B′为异面直线，故 m 与 n 不平行．对于①： α、β 取②中平面，取平面 γ 为平面 BCC′B′，可取直线 n 为直线
[答案] 2π 3
总结 ——————————规律· —————————————
直接法的运用技巧 直接法是解决计算型填空题最常用的方法， 在计算过程中我 们要根据题目的要求灵活处理， 并注意一些解题规律和解题技巧 的灵活应用，通过合理转化将计算过程简化，从而得到结果．
1．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意 x∈R 都有 f(x)＝ f(x＋4)，当 x∈(－2,0)时，f(x)＝2x，则 f(2 013)＝_________.