非线性有限元5讲义
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2. 通过数值语言描述一些抽象、艰深的力学概念，比如 从结构体内力更新的角度阐述连续介质力学中Cauchy 应力与转动Jaumann率的关系，使貌似复杂的力学定义 原来是如此形象和自然。
3. 课程涉及到很多固体力学中的前沿问题，如材料的稳 定性、任意欧拉-拉格朗日网格描述等，拓宽了视野， 对博士生选题有很大启发。
对于弹性材料，应力－应变的 卸载曲线简单地沿加载曲线返回， 直到完全卸载，材料返回到了它的 初始未伸长状态。然而，对于弹－ 塑性材料，卸载曲线区别于加载曲 线，卸载曲线的斜率是典型的应力 －应变弹性（初始）段的斜率，卸 载后产生永久应变。其它材料的行 为介于这两种极端之间。由于在加 载过程中微裂纹的形成材料已经损 伤，脆性材料的卸载行为，当荷载 移去后微裂纹闭合，弹性应变得到 恢复。卸载曲线的初始斜率给出形 成微裂纹损伤程度的信息。
(Uchic et al., Science, 2004)
Dislocation source starvation
Microstructure and sample geometry:
•Defects free pillar, •Diminishing of the taper angle without apparent shearing and buckling
Cauchy（或者真实）应力表示为
x
T A
x
T JA0
x J 1 px
工程应力－应变曲线 真实应力－应变曲线
2 应力-应变曲线
考虑一种不可压缩材料(J＝1)，名义应力和工程应变的
关系为
px s0 ( x )
x
L L0 L0
L0
x1
真实应力(对于不可压缩材料)
Leabharlann Baidu x x s0 ( x ) s(x )
塑料
工程 材料
2 应力-应变曲线
材料应力－应变行为的许多基本特征可以从一维应力状态(单轴 应力或者剪切)的一组应力-应变曲线中获得，多轴状态的本构方程常 常基于在试验中观察到的一维行为而简单生成。
定义伸长
x L L0
名义应力（工程应力）给出为
px
T A0
工程应变定义为
x
L L0 L0
L0
x1
载荷－位移曲线
2 应力-应变曲线
以每单位当前长度应变的增量随长度 的变化得到另一种应变度量
对数应变（也称为真实应变）
ex
L L0
dL L
ln( L
L0 )
ln x
对材料时间求导，表达式为 当一维情况，上式为变形率。
ex
x x
Dx
当前面积的表达式给出为
A J A0L0 L J A0 x
非线性有限元
第5章 本构模型
2020年8月2日
如何学好这门课？带着科研问题！ 这门课得到什么？力学思维方法！
增加互动机制，请同学讲问题！
1. 通过“有限元离散”这条主线把连续介质力学、固体 本构、板壳理论等众多固体力学课程贯穿起来，对多 年来学习的力学知识进行有效的梳理。教材是科研中 不可缺少的“百科全书”。
x L0
因为 L 和
即名义应变率等于伸长率，例如 x x
L0 L L0 x
可以看出，对于 率无关材料的应力－ 应变曲线是应变率独 立的，而对于率相关 材料的应力－应变曲 线，当应变率提高时 是上升的；而当温度 升高时是下降的。
率无关和率相关材料的一维反应
2 应力-应变曲线
(a)弹性,(b)弹-塑性,(c)弹性含损伤
Strain gradient theories
Since the strain is non-local, which could not be obtained at a single integration Gauss point. The ABAQUS User Element is developed to calculate the non-local strain gradient plasticity.
s(x ) x s0 (x 1)
说明了对于本构行为应用不同泛函表达式的区别，对于同样材 料取决于采用何种应力和变形的度量。
应力－应变曲线的显著特征之一是非线性的度。材料线弹性 行为的范围小于应变的百分之几，就可以采用小应变理论描述。
2 应力-应变曲线
应力－应变反应与变形率无关的材料称为率无关；否则， 称为率相关。名义应变率定义为
4. 课程提高了解决实际力学问题的能力，使得在科研中 通过数值模拟迅速实现一些新想法，若到国外留学， 从事博士后研究，更能体会到该课程带来的好处。
第5章 本构模型
1 引言 2 应力-应变曲线 3 一维弹性 4 非线性弹性 5 一维塑性 6 多轴塑性 7 连续介质力学与本构模型
1 引言
本构关系是有生材限物料 元模 金属 拟关键一环！
12
Compression for micro-pillars
By performing uniaxial compression tests for micro-pillars of Ni having diameters from 150 nm to 40μm, the size dependent and dislocations escape from free surfaces are found. The thinner is harder, although there is no strain gradient.
Size effect：对经典本构理论的挑战，诞生了微米 尺度的应变梯度塑性理论，如MSG
Fleck, 1994, (a) torsion; (b) tension Q- torsion, k-torsion angle per unit length When diameter of copper wire reduced to d=12m, torsion strength increased 3 times than it d=170m. During thin beams bending test, Stolken and Evans found when the thickness from h=100m reduced11 to h=12.5m, the bending strength was also increased significantly.
3. 课程涉及到很多固体力学中的前沿问题，如材料的稳 定性、任意欧拉-拉格朗日网格描述等，拓宽了视野， 对博士生选题有很大启发。
对于弹性材料，应力－应变的 卸载曲线简单地沿加载曲线返回， 直到完全卸载，材料返回到了它的 初始未伸长状态。然而，对于弹－ 塑性材料，卸载曲线区别于加载曲 线，卸载曲线的斜率是典型的应力 －应变弹性（初始）段的斜率，卸 载后产生永久应变。其它材料的行 为介于这两种极端之间。由于在加 载过程中微裂纹的形成材料已经损 伤，脆性材料的卸载行为，当荷载 移去后微裂纹闭合，弹性应变得到 恢复。卸载曲线的初始斜率给出形 成微裂纹损伤程度的信息。
(Uchic et al., Science, 2004)
Dislocation source starvation
Microstructure and sample geometry:
•Defects free pillar, •Diminishing of the taper angle without apparent shearing and buckling
Cauchy（或者真实）应力表示为
x
T A
x
T JA0
x J 1 px
工程应力－应变曲线 真实应力－应变曲线
2 应力-应变曲线
考虑一种不可压缩材料(J＝1)，名义应力和工程应变的
关系为
px s0 ( x )
x
L L0 L0
L0
x1
真实应力(对于不可压缩材料)
Leabharlann Baidu x x s0 ( x ) s(x )
塑料
工程 材料
2 应力-应变曲线
材料应力－应变行为的许多基本特征可以从一维应力状态(单轴 应力或者剪切)的一组应力-应变曲线中获得，多轴状态的本构方程常 常基于在试验中观察到的一维行为而简单生成。
定义伸长
x L L0
名义应力（工程应力）给出为
px
T A0
工程应变定义为
x
L L0 L0
L0
x1
载荷－位移曲线
2 应力-应变曲线
以每单位当前长度应变的增量随长度 的变化得到另一种应变度量
对数应变（也称为真实应变）
ex
L L0
dL L
ln( L
L0 )
ln x
对材料时间求导，表达式为 当一维情况，上式为变形率。
ex
x x
Dx
当前面积的表达式给出为
A J A0L0 L J A0 x
非线性有限元
第5章 本构模型
2020年8月2日
如何学好这门课？带着科研问题！ 这门课得到什么？力学思维方法！
增加互动机制，请同学讲问题！
1. 通过“有限元离散”这条主线把连续介质力学、固体 本构、板壳理论等众多固体力学课程贯穿起来，对多 年来学习的力学知识进行有效的梳理。教材是科研中 不可缺少的“百科全书”。
x L0
因为 L 和
即名义应变率等于伸长率，例如 x x
L0 L L0 x
可以看出，对于 率无关材料的应力－ 应变曲线是应变率独 立的，而对于率相关 材料的应力－应变曲 线，当应变率提高时 是上升的；而当温度 升高时是下降的。
率无关和率相关材料的一维反应
2 应力-应变曲线
(a)弹性,(b)弹-塑性,(c)弹性含损伤
Strain gradient theories
Since the strain is non-local, which could not be obtained at a single integration Gauss point. The ABAQUS User Element is developed to calculate the non-local strain gradient plasticity.
s(x ) x s0 (x 1)
说明了对于本构行为应用不同泛函表达式的区别，对于同样材 料取决于采用何种应力和变形的度量。
应力－应变曲线的显著特征之一是非线性的度。材料线弹性 行为的范围小于应变的百分之几，就可以采用小应变理论描述。
2 应力-应变曲线
应力－应变反应与变形率无关的材料称为率无关；否则， 称为率相关。名义应变率定义为
4. 课程提高了解决实际力学问题的能力，使得在科研中 通过数值模拟迅速实现一些新想法，若到国外留学， 从事博士后研究，更能体会到该课程带来的好处。
第5章 本构模型
1 引言 2 应力-应变曲线 3 一维弹性 4 非线性弹性 5 一维塑性 6 多轴塑性 7 连续介质力学与本构模型
1 引言
本构关系是有生材限物料 元模 金属 拟关键一环！
12
Compression for micro-pillars
By performing uniaxial compression tests for micro-pillars of Ni having diameters from 150 nm to 40μm, the size dependent and dislocations escape from free surfaces are found. The thinner is harder, although there is no strain gradient.
Size effect：对经典本构理论的挑战，诞生了微米 尺度的应变梯度塑性理论，如MSG
Fleck, 1994, (a) torsion; (b) tension Q- torsion, k-torsion angle per unit length When diameter of copper wire reduced to d=12m, torsion strength increased 3 times than it d=170m. During thin beams bending test, Stolken and Evans found when the thickness from h=100m reduced11 to h=12.5m, the bending strength was also increased significantly.