窗函数在信号处理中的应用

分析是以傅里叶变换为基础,将复杂信号分解为有 限个频率的简谐分量㊂ FFT 是频谱分析中广泛采
收稿日期: 2014-05-14 基金项目:北京市教委面上项目( KM2013100150010)
频谱分析是信号处理中最常用的方法㊂ 频谱
{
[
(
)]
0
0≤n≤M -1 其余 n (2)
3) Hamming( 海明 ) 窗㊂ 海明窗与汉宁窗都是 余弦窗,又称为改进的升余弦窗, 只是加权系数不
窗㊂ 矩形窗使用最多,习惯上不加窗就是使信号通 过了矩形窗㊂ 矩形窗的时域表达式 [6]232 如下: ω( n) = (1)
2) Hanning( 汉宁 ) 窗㊂ Hanning 窗又称升余弦 窗㊂ Hanning 窗的时域表达式 [6]235 如下: 0. 5 1 - cos 2πn M -1 ω( n) =
择㊂ 假设设原 始 信 号 为 x ( t ) = Acos ( 2 f 1 t ) + B cos
窗函数 矩形窗 汉宁窗 海明窗 布莱克曼窗 三角窗
各种窗函数的性能特点如表 1 所示㊂ 在选择
能,所以选择合适的窗函数并不是一件容易的事㊂ 选择合适的窗函数的前提是了解各窗函数的性能, 为了更好地区分各种窗函数的特点, 用 Matlab 作 为辅助工具, 把 n = 64 时的汉宁窗㊁ 汉明窗㊁ 矩形 窗㊁三角窗和布拉克曼窗的时域幅度与频域幅度曲 线绘制在一张图中,如图 2 所示㊂ 图 2 中曲线 1 为 汉宁窗,曲线 2 为海明窗, 曲线 3 为矩形窗, 曲线 4 为三角窗,曲线 5 为布莱克曼窗㊂ 从图 2 可以看出,矩形窗的优点是主瓣比较集
第 22 卷 第 4 期 Vol. 22 No. 4
北 京 印 刷 学 院 学 报 Journal of Beijing Institute of Graphic Communication
2014 年 8 月 Aug. 2014
窗函数在信号处理中的应用
( 北京印刷学院, 北京 102600)
崔 璨, 袁英才
摘 要: 在进行快速傅里叶变换时, 对信号进行截断会产 生频谱泄漏现象㊂ 为减小频谱泄漏的影响, 以理论分析窗 函数为基础,利用 Matlab 作为辅助工具绘出汉宁窗㊁ 汉明 窗㊁矩形窗㊁三角窗和布拉克曼窗的时域幅度与频域幅度 曲线,分析了频谱泄漏的原理以及各窗函数 的 特 点 和 性 能,提出了在对信号进行截断时, 如何通过选择合适的窗 函数来减小频谱泄漏对信号分析的影响㊂ 用 Matlab 软件 对某一信号进行加窗仿真实验, 结果表明: 汉宁窗最适合 此实验信号,验证了选择合适的窗函数的重要性. 中图分类号: TN911. 6 文章编号: 1004-8626 ( 2014 ) 04-0071-04 关键词: 频谱分析;快速傅里叶变换;窗函数;频谱泄漏
中,缺点是旁瓣较高,并有负旁瓣,会导致变换中带 进高频干扰和泄漏,甚至出现负谱现象㊂ 频率识别 精度最高,幅值识别精度最低, 所以矩形窗不是一 个理想的窗 [9]231 ㊂ 汉宁窗的主瓣比矩形窗宽,但其 旁瓣最大泄漏为 -31dB,其他旁瓣的衰减速度也比 矩形窗快,约为 -6dB / 个的速度下降, 从减小泄漏 观点出发, 汉宁窗优于矩形窗㊂ 但汉宁窗主瓣加 宽, 相当于分析带宽加宽, 频率分辨力下降㊂ 海明 窗的旁边最大泄漏为 -41dB, 旁瓣衰减速度约为 2dB / 个,与汉宁窗相比, 旁瓣更小, 旁瓣衰减速度 也较慢㊂ 汉宁窗和海明窗的主瓣宽都为矩形窗主 瓣宽的 2 倍,对邻近一次谐波的泄漏十分严重, 为 了避免这一缺点,分析窗的宽度至少是周期的 2 倍 以上㊂ 布莱克曼窗的主瓣较宽, 旁瓣较低, 但等效 噪声带宽比汉宁窗要大一点, 波动却小一点, 频率 识别精度最低,但幅值识别精度最高, 有更好的选 择性㊂ 三角窗的主瓣宽约等于矩形窗的两倍,但旁 瓣小,而且无负旁瓣, 是改善信号边界连续性最直 观的一种窗
[9]231
表 1 各种窗函数的性能比较
第一旁瓣相对于 主瓣衰减 / dB -13 -31 -41 -51 -25 主瓣宽 4π / N 8π / N 12π / N 8π / N 8π / N 阻带最小 衰减 / dB 21 44 53 74 25
3 Matlab 仿真实验
特定信号做 Matlab 仿真实验, 来说明窗函数的选 采样点数为 N = 100,分别对该信号加矩形窗㊁ 汉宁 窗㊁布莱克曼窗后, 利用 Matlab 软件进行仿真, 仿 真结果如图 3㊂ 较小的峰值与旁瓣的幅度接近, 甚至难以区分, 几 从图 3 可以清楚地看出, 使用矩形窗时, 幅度 下面采用矩形窗㊁汉宁窗和布莱克曼窗对某一
用的分析方法㊂ 对信号进行频谱分析和数据处理
时,由于受到处理时间和计算机存储容量的限制, 实际被处理的只能是有限时间长度的样本,即原始 信号必然要被截断, 从而导致泄漏误差 [1-4] ㊂ 本文 主要结合信号分析中常用的窗函数, 如矩形窗㊁ 三 角窗㊁汉宁窗㊁海明窗和布拉克曼窗等,针对频谱分 析中出现的泄漏现象,分析它们截断对时域和频域 信号产生的影响, 给出减小频谱泄漏的办法, 以提 高频谱分析的质量㊂ 去截取原信号,在矩形窗外的信号值都假设为零㊂ 作傅里叶变换时,变换原理决定了必须将原信号解 释为以窗长度为周期的周期信号 [5]184 ㊂ 显然,当原 始信号不是周期信号,或即使是周期信号但截取长 于是信号的频率结构被改变,在信号分析中称为频 率泄漏㊂ 为了克服这种现象,常采用其他窗函数来 对所截取的时域信号进行加权处理,于是产生了加 窗技术㊂ 度不等于整周期时, 则将遇到原信号的曲解问题, 时间信号的采样过程可以理解为用一矩形窗
文献标志码: A
Application of Window Function in Signal Processing
Abstract: The signal is intercepted in the process of FFT, which will cause spectrum leakage. In order to reduce the effect of spectrum leakage, based on theoretical analysis of window function,using Matlab as a tool to make time domain amplitude and frequency amplitude curve of the Hanning window, Hamming window, rectangular window, triangular window and Blackman window,this paper analyzes the principle of spectrum leakage and the features and functions of the window function, chooses the appropriate window function to cut down the spectrum leakage which is provided. A simulation experiment that window function is added to a singal make full use of Matlab software,the Hanning window is most suitable for the signal in the experiment, verifying the importance of choosing the appropriate window function. Key words: frequency analysis; FFT; window function; spectrum leakage
0≤n≤
当窗长 M 为偶数时:
M +1 ≤n≤M 2 M 2
0≤n≤
M +1 ≤n≤M 2
(6)
图 1 周期采样与非周期采样
第4期
崔 璨,袁英才:窗函数在信号处理中的应用
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图 2 各窗函数的时域幅度与频域幅度( dB) 特性曲线
生的较高的旁瓣分量, 达到降低频谱泄漏的目的㊂ 但对信号加窗后也会产生不利影响,主要是牺牲信 号的主瓣频率精度来换取频谱泄漏的减小㊂ 窗函数有很多种, 不同的窗函数有不同的性
窗函数时,我们并不是单一地根据主瓣宽或衰减速 度某个要求,而是充分考虑被分析信号的性质和处 理要求㊂ 如果分析窄带信号, 且有较强的干扰噪 声,则应选择旁瓣幅度小的窗函数,如汉宁窗㊁三角 窗等;如果只要求读出主瓣的频率则对幅值精度不 作要求,如测量物体的自振频率, 则选择不加窗的 矩形窗;对于随时间衰减的信号,如脉冲响应信号, 处理时可以选用指数窗来提高信号的信噪比 [10] ㊂ 对于要处理的信号, 不知道选择哪一种窗函数时, 往往多选用几种窗函数进行处理,然后比较用几种 窗处理的结果,加上实验验证综合考虑, 来决定选 用什么样的窗函数㊂ 因汉宁窗在各方面都比较平 均,故被经常使用㊂
( Beijing Institute of Graphic Communication, Beijing 10026, China)
CUI Can,YUAN Yingcai
1 窗函数
1) 矩 形 窗㊂ 矩 形 窗 属 于 时 间 变 量 的 零 次 幂 1 {0 0≤n≤M -1 其余 n 以下是几种常用的窗函数:
{
0. 54 1 - 0. 85cos 2πn M -1
[
(
)]
0
0≤n≤M -1 其余 n (3)
4) Blackman( 布莱克曼 ) 窗㊂ Blackman 窗是二 阶 升 余 弦 窗㊂ Blackman 窗 的 时 域 表 达 式 [6]236 ì ï(0. 42 - 0. 5cos 2πn + M -1 ï ï ω( n) = í 0. 08cos 4πn ï M -1 ï ï î 0 如下:
(
)
(
)
5) 三角窗㊂ 三角窗是幂窗的一次方形式㊂ 三 角窗的时域表达式 [7-8] 如下: ì ï 2n ïM + 1 ω( n) = í ï2( M - n + 1) ï î M +1 ì ï2 n - 1 ï M ω( n) = í ï2( M - n + 1) ï î M 当窗长 M 为奇数时: M +1 2
72 同㊂ 海明窗的时域表达式 [6]236 如下: ω( n) =
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2014 年
2 频谱泄漏
邻频率点的现象㊂ 在用 FFT 进行频谱分析时, 先 对信号 x( t) 进行采样, 使其变为离散函数, 然后对 离散函数进行截断, 使其成为有限个点的函数, 再 对函数进行计算处理㊂ 在对函数进行截断时,信号 截取长度必须是信号周期的整数倍,否则就会产生 频谱泄漏 [5]184 ㊂ 当截断长度是信号周期的整数倍 时,如图 1( a) 所示, 此时, 得到的周期信号是连续 0≤n≤M -1 其余 n (4) 的,在频域上是一个单位脉冲,如图 1( c) 所示㊂ 当 截断长度不是信号周期的整数倍时, 如图 2 ( b) 所 示,得到的周期信号是不连续的, 在频域上不再是 一个单位脉冲,而是频率的谱续函数,如图 1( d) 所 示,这种频谱以实际频率值为中心, 以窗函数频谱 波形的形状向两侧扩散, 产生 泄漏效应 ” ㊂ 由于 对信号进行数据处理时, 时域的截断是必需的, 而 常常很难做到截断长度是信号周期的整数倍, 所 (5) 以,泄漏效应总是存在的, 这就使离散傅里叶变换 和连续傅里叶变换之间存在显著差异,为减少这种 差异,就必须尽可能地减少 泄漏效应” ㊂ 要讨论加窗函数减小频谱泄漏㊂ 采用适当的窗函数;二是提高频率分辨率㊂ 本文主 里叶变换时,可让时域信号乘以一个窗函数, 窗函 数幅度逐渐减小,从而减小由于数据突然截断而产 为减小频谱泄漏的影响,在对时域信号进行傅 目前,减少频谱泄漏的方法主要有两种: 一是 频谱泄漏是指某一频率的信号能量扩散到相