根轨迹分析法参考答案
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习题
已知下列负反馈的开环传递函数，应画零度根轨迹的是：(A)
A *(2)(1)K s s s -+
B *(1)(5)K s s s -+
C *2(31)K s s s -+
D *(1)(2)
K s s s --
若两个系统的根轨迹相同，则有相同的：(A)
A 闭环零点和极点
B 开环零点
C 闭环极点
D 阶跃响应
己知单位负反馈控制系统的开环传递函数为
*
()()(6)(3)K G s H s s s s =
++ (1) 绘制系统的根轨迹图(*0K <<∞)；
(2) 求系统临界稳定时的*K 值与系统的闭环极点。
解：系统有三个开环极点分别为10p =、23p =-、36p =-。
系统有3条根轨迹分支，分别起始于开环极点，并沿渐进线终止于无穷远。 实轴上的根轨迹区段为(],6-∞-、[]3,0-。 根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为
()()36 33a σ-+-==-，() (0)
321 (1)3 (2)3
a k k k k π
ϕππ
⎧=⎪+⎪===⎨⎪⎪-=⎩
求分离点方程为
111036
d d d ++=++ 经整理得2660d d ++=，解方程得到1 4.732d =-、2 1.268d =-。显然分离点位于实轴上
[]3,0-间，故取2 1.268d =-。
求根轨迹与虚轴交点，系统闭环特征方程为
32*()9180D s s s s K =+++=
令j s ω=，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有
[][]2*
3
Re (j )(j )190
Im (j )(j )1180
G H K G H ωωωωωωω⎧+=-+=⎪⎨+=-+=⎪⎩ 解之得 *00K ω=⎧⎨=⎩
、*162
K ω⎧=±⎪⎨=⎪⎩
显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。根轨迹与虚轴的交点为s =±，对应的根轨迹增益*162K =为临界根轨迹增益。根轨迹与虚轴的交点为临界稳定的2个闭环极点，第
三个闭环极点可由根之和法则求得
1233036λλλλ--=++=+
解之得39λ=-。即当*162K =时，闭环系统的3
个特征根分别为1λ=
、
2λ=-39λ=-。系统根轨迹如图所示。
图 题所示系统根轨迹图
系统结构如下图所示
绘制系统的根轨迹(0K <<∞)，并确定系统欠阻尼状态下的K 值。
解：系统闭环传递函数为 ()()()
2
929
()99299122s s s Ks s s Ks s s s s φ+==+++++
++。
特征方程为22990s s Ks +++=。
等效开环传递函数为 2
9()()29
Ks
G s H s s
s =
++。
系统有
2条根轨迹分支，起始于开环极点1,21p =-±，1条终止于开环零点0z =，另一条沿渐进线终止于无穷远。
实轴上的根轨迹区段为(],0-∞。
根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为
((11 21a
σ-++--==-，()
21 0,2
a
k ϕ
π+=
= 实轴上分离点方程为22909d s s ds Ks ⎛⎫
++= ⎪⎝⎭
。解方程得到13d =-、23d =(弃去)，对应
4
9
K =。根轨迹与虚轴在有限范围内无交点，根轨迹如图所示。
图 题所示系统根轨迹图
由根轨迹可知当4
09
K <<
时，系统有两个闭环极点，为欠阻尼响应。 已知负反馈控制系统的闭环特征方程为
*2(14)(22)0K s s s ++++= (1) 绘制系统的根轨迹(*0K <<∞)；
(2) 确定使复数闭环主导极点的阻尼系数0.5ζ=的*K 值。 解：系统开环传递函数为
*
2()()(14)(22)
K G s H s s s s =+++
开环极点为114p =-、2,31j p =-±。 实轴上根轨迹区段为(],14-∞-。 根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为
()()()1411 5.33a j j σ-+--+--==-，() (0)
321 (1)3 (2)3
a k k k k π
ϕππ
⎧=⎪+⎪===⎨⎪⎪-=⎩
实轴上分离点方程为111
01411d d j d j
++=++++-，解之得9.63d =-。
求与虚轴交点，闭环特征方程为*2()(14)(22)D S K s s s =++++。令j s ω=，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有
[][
]2*
3
Re (j )(j )116280
Im (j )(j )1300G H K G H ωωωωωωω⎧+=-++=⎪⎨+=-+=⎪⎩，解得 * 5.4438.6K ω=±⎧⎨=⎩。 因cos 0.5β=，故60β=︒，作过原点与负实轴夹角为60±︒的直线，在s 上半平面交P 、Q 两点，如图所示。P 点坐标为0.94j 1.62s =-+，则对应
*0.94j1.62
(14)(0.94j 1.62)(0.94j 1.62)
21.61
s s s s K =-+++-++=
=