第三讲：散度、旋度

1.4矢量场的通量与散度 1.5矢量场的环流与旋度 1、理解散度、旋度的物理意义，掌握其计算公式和方法；
2、理解散度定理、斯托克斯定理的物理意义，能灵活运用其作积分变换；
3、知道散度、旋度描述了矢量场的不同性质，掌握它们的主要区别。

重点：散度、旋度的物理意义，计算公式。

难点：旋度的概念及其物理意义。

讲授、练习 学时：2学时
1.4矢量场的通量与散度
若所研究的物理量是矢量，则该物理量所确定的场称为矢量场，如：电场、磁场、
速度场等。

矢量场F 可用矢量函数来描述。

如：直角坐标系中
()()()()ˆˆˆ,,,,,,,,x x y y z z F F x y z e
F x y z e F x y z e F x y z ==++ 1、矢量线
1）方程：0F d r ⨯=
与坐标系的选择有关，在直角坐标下： 二维场：
y x F F dx dy = 三维场：y x z F F
F dx dy dz
== 2）性质：任意两条矢量线不相交 2、矢量管
由于矢量线不相交，通过场中任一闭合线的各矢量线构成一封闭管。

1S 2S
通过任意面的矢量线的条数：
N F S F S ⊥∆=⋅∆=∆ 或 /F N S ⊥=∆∆（矢量线密度）
即：用矢量线的疏密可以表示矢量场的大小。

一、矢量场的几何描述——矢量线
二、矢量场的通量
1、有向曲面
ˆ
n
dS e dS
=
封闭面：外法线
开面：与闭合线绕行方向构成右螺旋
2、通量
矢量F沿有向曲面S
的面积分
S
F dS
ψ=⋅
⎰
称为矢量F穿过S
面的通量。

若S
为封闭面，则
S
F dS
ψ=⋅
⎰
3、通量的物理意义
ψ=无源或正源和负源相等0
ψ<负源或负源多于正源0
ψ>正源或正源多于负源根据净通量的大小可大致判断闭合面中源的性质。

三、矢量场的散度
1、散度的概念
设封闭面S
所包围的体积为V
∆,则：
S
F dS
V
⋅
∆
⎰
就是矢量场F在V
∆中单位体积的平均通量，或称平均通量密度。

当闭合曲面S
及其所包围的体积V
∆向其内某点M收缩时，若平均通量密度的极限值存在，便记作
规定：有向曲面法线方向
+3q
-q
-q
+q
如何准确确定封闭面内源的
分布及某一点源的强弱？
lim
S
V F dS divF V
∆→⋅=∆⎰
称为矢量场F 在该点的散度(div 是divergence 的缩写)。

2、散度的计算公式
y x z
F F F divF x y z
∂∂∂=
++∂∂∂
前后一对表面穿出的净通量为：
x x x x A F F y z F x y z x y z x x ∂∂⎛⎫
-∆∆++∆∆∆=∆∆∆ ⎪∂∂⎝⎭
又 z y x V ∆∆∆=∆，所以：
lim
y S
x z
V F dS F F F divF V
x y z
∆→⋅∂∂∂==
++∆∂∂∂⎰
一般地：()12311223311
2233111ˆˆˆˆˆˆF e e e e
F e F e F h q h q h q ⎛⎫
∂∂∂∇⋅=++⋅++ ⎪∂∂∂⎝⎭ ()()()231132123123
1231
h h F h h F h h F h h h q q q ⎡⎤∂∂∂=
++⎢⎥∂∂∂⎣⎦
3、散度的性质
1）矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数→散度场（标量场） 2）散度代表矢量场的通量源的分布特性 0divF >表示该处发出矢量线（源头）；
由学生自
己证明
提示：由于散度与坐标系和所
选面元形状无关，可以采用直角坐标系的平行六
0divF <表示该处吸收矢量线（尾闾）；
0divF =表示该处无源又无沟，矢量线在该处不会中断。

若0divF ≡称为无源场；若divF ρ=，则ρ称为（通量）源密度。

四、散度定理
S
V
F dS FdV ⋅=∇⋅⎰
⎰
表 述：体积V 所围闭合面上矢量场的通量等于该矢量场散度的体积分。

物理意义：揭示了矢量场的表里关系，即矢量场穿过闭合面的通量是由其内矢量场的
源决定的。

公式证明：由散度的定义有：
01
lim
S
V F F dS V
∆∆→∇⋅=⋅∆⎰
对于i V ∆，有： i
i S F dS F V ∆⋅=∇⋅∆⎰
对于有限大小的体积V 求和，得
i
i
S i
i
F dS F V ∆⋅=∇⋅∆∑∑⎰
而 0
lim i i
V
V i
F V FdV ∆→∇⋅∆=∇⋅∑⎰
lim i
i S S S i
F dS F dS ∆∆→⋅=⋅∑⎰⎰ (V 内相邻表面的通量之和为零) 所以 S
V
F dS FdV ⋅=∇⋅⎰⎰
例题1：已知()()()'''
ˆˆˆx y z
R e
x x e y y e z z =-+-+-，R R =，证明： （1）3R ∇⋅=； （2）()3
00R
R R ∇⋅
=≠ 证明：（1）()()()''
'3R x x y y z z x y z
∂∂∂∇⋅=
-+-+-=∂∂∂ （2）'''3333R x x y y z z R x R y R z R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∂-∂-∂-∇⋅=++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()
()
2
2
2
'''3535
35
3331110
x x y y
z z
R R R R R R ---=
-+-+
-=
对于有限体积V ,可以分解为微元i V ∆，如图
1.5矢量场的环流与旋度
一、矢量场的环流 矢量F 沿空间有向闭合曲线l
的线积分
l
F d l Γ=
⋅⎰
表示绕线旋转趋势的大小，是一个刻画矢量场的特征量，它的数值除与F 有关外，
还与回路l
的形状和取向有关。

在直角坐标系中:
x y z l
l
F dl F dx F dy F dz Γ=
⋅=
++⎰
⎰
2、环流面密度
设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线l 为边界的面积S
∆逐渐
缩小，l
F dl ⋅⎰也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值：
00
lim lim
l
n S S F dl u S S
∆→∆→⋅∆Γ
==∆∆⎰
称为环量面密度。

它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法 线方向。

如：磁场： dS
dI
S I S
l
d H u S l
S n =
∆∆=∆⋅=→∆→∆⎰00
lim
lim
二、旋度 1、旋度的概念
旋度是一个矢量，模值等于环量面密度的最大值，方向为最大环量面密度对应的 法线方向，用rotF 表示（rot 是rotation 缩写），即
max
ˆlim l
n S F dl rotF e
S
∆→⋅=∆⎰
式中ˆn e
是环量面密度取得最大值的面元正法向单位矢。

显然 ˆ0
lim
l
n S F dl rot F S
∆→⋅=∆⎰
过某一点可以作无穷多个法线方向不同的面，沿不同的法线方向n u 一
般不同。

那么最大的环量面密度等于多少？对应的法线方向为何？
1、环流
2、旋度的计算公式
旋度的定义与坐标系无关，但其具体表达式与坐标系有关。

在直角坐标系下
ˆˆˆx y z x
y
z
x
y z
e
e
e
rotF F F F F ∂∂∂∂∂∂=
=∇⨯
公式证明：
以点M 为顶点，取右图所示面元，矢量ˆˆˆx x y y z z F e
F e F e F =++ C 沿回路C 的积分为 M
y z
y z y z C F F F dl F y F y z F z y F z y z ∂⎛⎫⎛⎫∂⋅=∆++∆∆-+∆∆-∆ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭
⎰ ˆx e
y z
F F y z z y y z
∂∂=∆∆-∆∆∂∂ 故 01
lim
x y
z x C S x F F F dl rot F S y z ∆→∂∂⋅=-=∆∂∂⎰
同理 01lim
y x z
y C
S y
F F F dl rot F S z x
∆→∂∂⋅=
-=∆∂∂⎰
01
lim
z y x
z C
S z F F F dl rot F S x
y
∆→∂∂⋅=
-
=∆∂∂⎰
因此，得到 ˆˆˆx x y y z z rotF e
rot F e rot F e rot F =++ ˆˆˆy y x x z z x y z F F F F F F e e e F y z z x x y ∂∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫=-+-+-=∇⨯ ⎪
⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 写成行列式形式：
ˆˆˆx y z x y z
e e e F x y z F F F ∂
∂∂∇⨯=
∂∂∂
一般地： 1231231
2311
22
33
ˆˆˆ1z h e
h e
h e F h h h q q q h F h F h F ρφ∂∂∂
∇⨯=
∂∂∂ y
∆z
∆
3、旋度的物理意义
1）矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数→旋度场； 2）旋度的大小表示环量面密度的最大值；
3）旋度的方向为最大环量面密度对应的法线方向。

在矢量场中，若0rotF ≡，称为无旋场；若rotF J =,称为有旋场（或涡旋场），J 称 为旋度场的源。

例题1：已知()()()'''ˆˆˆx y z R e
x x e y y e z z =-+-+-，R R =，证明： （1）0R ∇⨯=； （2）30R
R
∇⨯
= 证明：()()()()()()''''''ˆˆˆ0x y z R e
z z y y e x x z z e y y x x y z z x x y ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂⎡⎤∇⨯=---+---+---=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦
33335
11130R d R
R R R R R R R R dR R R ⎛⎫∇⨯
=∇⨯+∇⨯=∇⨯=-⨯= ⎪⎝⎭ 4、散度和旋度的区别
1）旋度是矢量函数，散度是标量函数；
2）旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度描述的是矢量场中 各点的场量与通量源的关系；
3）旋度描述的是场分量在与其垂直的方向上的变化规律，散度描述的是场分量沿 着各自方向上变化规律。

三、斯托克斯定理（Stokes ’s Theorem ）
()S
l F dl F dS ⋅=∇⨯⋅⎰⎰
表 述：曲面S 边界上矢量场的环量等于该矢量场旋度在S 面上的通量。

物理意义：揭示了矢量场的边面关系，即矢量场沿任一闭合线的环量是以该闭合线为边 界的曲面上矢量场的涡旋分布决定的。

()
01lim
l
n
S F F dl
S
∆→∇⨯=⋅∆⎰
对于有限曲面S 可以分解为若干微元i S ∆，如图。

对于i S ∆有：
公式证明：由旋度的定义有：
对于有限曲面S ，求和，有：
()
i
i
i i l n i
i
F S F dl ∇⨯∆=⋅∑∑⎰
而 ()
()
lim
i
i i S
n S i
F S F dS ∆→∇⨯∆=∇⨯⋅∑⎰ ， i
i l l
i
F dl F dl ⋅=
⋅∑⎰⎰
所以 ()l
S
F dl F dS ⋅=∇⨯⋅⎰⎰
作业：思考题：1.7、1.8、1.9、1.10
习题：1.15、1.16、1.22、1.23。

()
i
i
i i l n F S F dl ∇⨯∆=
⋅⎰。