《线性代数》教案

武昌理工学院
理论课程教案
2018 —2019学年第一学期
课程名称线性代数
学院信息工程学院系（部）数学课部
授课专业班级造价1701、1702
主讲教师杜洪艳
职称教授
选用教材线性代数
教务处制表
第十次课线性方程组的解
一、教学目标
1．让学生理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件；
2．使学生掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法；
3．培养学生的抽象思维能力及分析问题解决问题的能力。

二、教学重点、难点
教学重点为行初等变换求线性方程组通解的方法；
教学难点为齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件。

三、教学形式
探究式。

四、教学内容及方法
上课前蓝墨云班课点名
3.3.1 解线性方程组
1.概念导入
由实际问题导入线性方程组的概念，让学生意识到线性方程组求解的问题与我们的实际生活及工作息息相关。

引例：某商场衬衫专柜销售S、M、L、XL四种型号的某品牌衬衫。

四种型号衬衫的售价分别为260元、270元、280元、300元。

已知当天共售出衬衫26件，营业额为4100元。

并已知L好衬衫的销售量为S号与XL号衬衫销售量的总和，L号衬衫的销售量收入也为S号
与XL 号衬衫销售量收入的总和。

试问当天每种型号的衬衫分别售出几件？
解：设S 、M 、L 、XL 号衬衫销售量分别为x 1、 x 2、 x 3、 x 4，根据题意得
{
 x 1+ x 2+ x 3+ x 4= 26260x 1+270x 2+280x 3+300x 4=4100
x 1 − x 3+ x 4= 0 260x 1 −280x 3+300x 4= 0
2.利用矩阵的行初等变换解线性方程组
例：1231231
233464241270
x x x x x x x x x +-=⎧⎪
++=⎨⎪-+-=⎩解线性方程组
r 2−3r 1 → r 2−3r 1 → r 3+3r 1 → r 3+3r 1 → r 3−r 2
→ r 3−r 2
→ {
得 得
⎪⎩⎪
⎨⎧=-+-=-+=++−−
→−⎪⎩⎪
⎨⎧=-+-=++=-+↔0
7246431
420
721424
643321321321321
3213212
1x x x x x x x x x x x x x x x x x x r
r 解
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---−−→
−⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---↔07
2
1
464
31421072114214643
2
1r r 写出方程组增广阵方程的对换 矩阵的行对换
⎪⎩⎪⎨⎧-=-==254
321x x x
⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--210050104001 由上式可知方程组有唯一解。

3.3.2 齐次线性方程组
1111221211222211220,
0,0.
n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++
+=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪++
+=⎩
对应矩阵方程为0=Ax 。

1、齐次线性方程组有非零解的条件 齐次线性方程组必有零解
定理 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充要条件是 R (A ) < n .
特别地，当A 为方阵时，
Ax = 0 仅有零解的充要条件：0A ≠ 有非零解的充要条件：0A =
推论1 若齐次线性方程组中方程的个数m 少于未知数的个数n ，则方程必存在非零解．
推论2 设齐次线性方程组中方程的个数m 与未知数的个数n 一样多，若其系数行列式不等于零，则方程必存在非零解． 3.3.3非齐次线性方程组的解
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 2112222212111212111
Ax b =矩阵形式：，与增广矩阵（A,b ）一一对应
当常数项b i 不全为0时, 称为非齐次线性方程组;
当常数项b i 全为0时, 为与之对应的齐次线性方程组, 也称作非齐次线性方程组的导出组.
任一线性方程组必满足以下三项之一： （1） 无解；（2）有惟一解；（3）有无穷组解.
“解线性方程组”常用消元法.消元过程中需反复用线性方程组的初等变换. 而线性方程组的初等变换与其增广矩阵的初等变换一一对应
阶梯形线性方程组的三种基本类型： 例:
x 1-x 2+2x 3 = 8 2x 2 +x 3 = 1
x 3 = 5 leading variables
2x 1+3x 2 -x 3 = 1 2x 2+x 3 = 2 0 = 1
x 1+2x 2+x 3 + x 4 = 2 x 3
+4x 4 = 3
自由变量
阶梯阵的形状与线性方程组的解
3.3.4 利用矩阵的秩讨论线性方程组解的存在性
定理 任一线性方程组Ax =b 有解的充要条件是系数矩阵与其增广矩阵的秩相等，即R (A)= R (A | b ).
证 （反证法）
若R (A )≠R (A |b ) ，则方程组的增广阵化简的行阶梯形含形如( 0,0, ,0, b ), b ≠0的行向量，显然方程组无解，与已知矛盾. 线性方程组Ax =b 解的存在性判别法：
2x 1+3x 2 -x 3 = 1 2x 2+x 3 = 2 0 = 1
x 1-x 2+2x 3 = 8 2x 2 +x 3 = 1 x 3 = 5
x 1+2x 2+x 3
+ x 4
= 2
x 3
+4x 4
= 3 0 = 0
无解
有唯一解 有无数解
解的数目
Ax = b Ax = b
~ ~ [A , b ]
~ ~ [A , b ]
r 2 ≠ r 1
r 2 = r 1 = n
r 2 = r 1 < n
234102120001-⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
212802110015-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
121200130000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
若R (A )≠R (A b ) ，则方程组无解；
若R (A )=R (A b ) = r=n 时，则方程组有唯一解. 若R (A )=R (A b ) = r <n 时，则方程组有无穷多解.
()||0.
n n A x b R A n A ⨯=⇔=⇔≠推论：有唯一解
例1 判断下列线性方程组是否有解,若有解,求出全部解.
⎪⎩⎪
⎨⎧-=++-=++--=---⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+1
444
52
322
243
23233132143214321321
321321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ）（）（
解 对增广阵作初等行变换，得同解方程组，再判断和求解
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=--48
100
38100
23
31
21
24
3213
23
31
11
31
243r r r r b A ]|[)
(
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−-1000381002331
23r r
()23(|).R A R A b =≠=，则原方程组无解
此时没必要继续化简成行最简形
⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++--=---1
444
52
3232143214321x x x x x x x x x x x ）（
[]−−→
−⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣⎡-------−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=⨯+-2131
22149123
00
68200231
1110
144
45111
23
111
2r r r r r b A |)
(
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------++000003410011011912300341002311123213r r r r
()(|)24,R A R A b ==<因，方程组有无穷组解同解方程组为：
⎩⎨
⎧=+=+-34143421x x x x x ⎩⎨⎧-=-+=434
21431x x x x x 即：
24x x 可选与为自由未知量。

练习题：
1. 若线性方程组123233231
22(1)x x x x x x λλ
++=⎧⎪
-+=-⎨⎪+=-⎩
无解，则数λ=______．
2. 求下列齐次线性方程组的通解．
1341241
23450230
20
x x x x x x x x x x +-=⎧⎪
+-=⎨⎪+-+=⎩ 3. 求线性方程组的12341
2345221.53223
x x x x x x x x +=⎧
⎪
+++=⎨⎪+++=⎩12x x 的通解，
小结：指导学生对本节知识进行小结 练习题：
1. 求下列齐次线性方程组的通解
1341241
23450
23020
x x x x x x x x x x +-=⎧⎪
+-=⎨⎪+-+=⎩
2. 求线性方程组的通解．
12341
234522153223
x x x x x x x x +=⎧
⎪
+++=⎨⎪+++=⎩12x x
复习题：
12. 高斯消元法解线性方程组的特点是什么？用矩阵的初等变换来表示消元法必须注意什
么？
13. 如果方程组有无穷多组解，那么自由未知量应如何选取？ 14. 若线性方程组
1111221121122222
1122,,.
n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪⎪+++=⎩ 的方程个数小于未知量个数，即m n <，且都小于矩阵A 的秩()R A ，问方程组是否一定有无穷多解？为什么？
15. 设有个方程个未知量的线性方程组
1111221121122222
1122,,.
n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪⎪+++=⎩ 若系数行列式为D ，设j D 是把D 的第j 列换成常数项列后所成的行列式，如果
12n D D D D ====，问方程组是否一定有无穷多解?
预习题：
行向量与列向量一样吗？
2. 线性相关的定义中说存在一组“不全为零”的数，以及在线性无关的定义中所说的“否则”是什么意思？
3. 向量组线性相关与线性无关的几何意义是什么？
4. 判别向量组线性相关性的主要方法有哪些？。