串并联谐振的计算

串并联谐振的计算

L是电感，C是电容

在含有电容和电感的电路中，如果电容和电感并联，可能出现在某个很小的时间段内：电容的电压逐渐升高，而电流却逐渐减少；与此同时电感的电流却逐渐增加，电感的电压却逐渐降低。而在另一个很小的时间段内：电容的电压逐渐降低，而电流却逐渐增加；与此同时电感的电流却逐渐减少，电感的电压却逐渐升高。电压的增加可以达到一个正的最大值，电压的降低也可达到一个负的最大值，同样电流的方向在这个过程中也会发生正负方向的变化，此时我们称为电路发生电的振荡。

电容和电感串联，电容器放电,电感开始有有一个逆向的反冲电流，电感充电;当电感的电压达到最大时，电容放电完毕，之后电感开始放电，电容开始充电，这样的往复运作，称为谐振。而在此过程中电感由于不断的充放电，于是就产生了电磁波。

电路振荡现象可能逐渐消失，也可能持续不变地维持着。当震荡持续维持时，我们称之为等幅振荡，也称为谐振。

谐振时间电容或电感两锻电压变化一个周期的时间称为谐振周期，谐振周期的倒数称为谐振频率。所谓谐振频率就是这样定义的。它与电容C和电感L的参数有关，即：f=1/√LC。

在研究各种谐振电路时，常常涉及到电路的品质因素Q值的问题，那末什么是Q值呢？下面我们作详细的论述。

1是一串联谐振电路，它由电容C、电感L和由电容的漏电阻与电感的线电阻R所组成。此电路的复数阻抗Z为三个元件的复数阻抗之和。

Z=R+jωL+(-j/ωC)=R+j(ωL-1/ωC) ⑴

上式电阻R是复数的实部，感抗与容抗之差是复数的虚部，虚部我们称之为电抗用X 表示, ω是外加信号的角频率。

当X=0时，电路处于谐振状态,此时感抗和容抗相互抵消了，即式⑴中的虚部为零，于是电路中的阻抗最小。因此电流最大，电路此时是一个纯电阻性负载电路，电路中的电压与电流同相。电路在谐振时容抗等于感抗，所以电容和电感上两端的电压有效值必然相等，电容上的电压有效值UC=I*1/ωC=U/ωCR=QU 品质因素Q=1/ωCR，这里I是电路的总电流。

电感上的电压有效值UL=ωLI=ωL*U/R=QU 品质因素Q=ωL/R

因为：UC=UL 所以Q=1/ωCR=ωL/R

电容上的电压与外加信号电压U之比UC/U= （I*1/ωC）/RI=1/ωCR=Q

感上的电压与外加信号电压U之比UL/U= ωLI/RI=ωL/R=Q

从上面分析可见，电路的品质因素越高，电感或电容上的电压比外加电压越高。

电路的选择性：图1电路的总电流I=U/Z=U/[R2+(ωL-1/ωC)2]1/2=U/[R2+(ωLω0/ω0-ω0/ωCω0)2]1/2 ω0是电路谐振时的角频率。当电路谐振时有：ω0L=1/ω0C 所以I=U/{R2+[ω0L(ω/ω0-ω0/ω)]2}1/2= U/{R2+[R2(ω0L/R)2](ω/ω0-ω0/

ω)2}1/2= U/R[1+Q2(ω/ω0-ω0/ω)2]1/2

因为电路谐振时电路的总电流I0=U/R，

所以I=I0/[1+Q2(ω/ω0-ω0/ω)2]1/2有：I/I0=1/[1+Q2(ω/ω0-ω0/ω)2]1/2作此式的函数曲线。设(ω/ω0-ω0/ω)2=Y

曲线如图2所示。这里有三条曲线，对应三个不同的Q值，其中有Q1>Q2>Q3。从图中可看出当外加信号频率ω偏离电路的谐振频率ω0时，I/I0均小于1。Q值越高在一定的频偏下电流下降得越快

并联谐振时电感和电容上的电压等于电源电压，谐振电流高于总电流许多倍。串联谐振时电感或电容上的电压才高出电源电压很多倍。有的串联谐振电路看上去很像并联谐振，但其实它是串联谐振电路。判断是串联还是并联谐振的关键是看电源或信号源是送到哪两端的。比如收音机和电视机的中频放大电路，在中频变压器的初级，信号是加在LC并联电路两端的，是并联谐振。而在同一个变压器的次级线圈上往往也并联一个电容，看上去也是并联谐振，但其实它是串联谐振，因为信号是从次级线圈上感应出来的，相当与信号串联在LC电路中，而不是加在LC并联电路两端。

电路发生串联谐振时，电容上的电压和电感上的电压大小相等，方向相反，所有电源电压（或信号源电压相当于全部加在了电路的等效串联电阻上了。这个等效电阻越小，电路里的总电流就越大。而电容和电感的阻抗又是不变的，其上电压=感抗 X 电流。所以，电感和电容上的电压会很高，可达电源电压的百倍甚至千倍。这个倍数叫做谐振电路的品质因数。它直接代表了谐振电路的好坏。品质因数越高，说明谐振电路的损耗越小。

通常电感和电容的损耗是随其上电流的频率升高而增大的。谐振频率越高，等效损耗电阻越大。折算到谐振电路里的串联电阻就越大。电路的品质因数下降。所以谐振电压降低。

电路的品质因数=感抗/串联电阻。从公式上看，频率升高，品质因数应该升高才对啊。其实不然，频率升高，容抗降低，而电路谐振时，感抗又必须和容抗相等，所以电路的品质因数也降低。为了提高电路的品质因数，应尽量提高谐振电路的电感量。相反，在电源电路中，千万不要发生串联谐振！

在发生串联和并联谐振时，电路两端的电压和电路的总电流都是同相位。此时用电设备和电源之间没有无功功率交换。所以，工厂里常采用并联谐振电路提高线路的功率因数。