固体物理-第一章作业
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章习题
试计算出体心立方的习惯原胞的三个基矢之间的
1.
夹角，并说明为何体心立方不属于三方晶系。
体心立方惯用原胞基矢为：
Ø
a1
a 2
i j k
a2
a 2
i jk
a3
a 2
i
j k
• 设 a1a2 ,a2a3 ,a1a3 , 则
cos a1 a2 1
a1 a2
22
各晶面间距分别为：
d 001
2
a
100
a
2
d 110
a
11 0
2a
2
d 111
2
a
111
3a
6
因此，对体心立方晶体， (110)面原子密度最大，晶面间 距最大。
3. 试证明体心立方和面心立方互为倒格子，并求出 两种倒格子的格常数。
体心立方：设晶格常数为a，则正格子原胞基矢为：
Ø
a1
对体心立方晶体，设晶格常数为a ， (001)，(110)，
•
(111)面原子排布如图所示：
a
a
a
2a
2a
(001)
(110)
(111)
(001)面原子密度为：
4 1 4
1
a2 a2
4 1 1
(110)面原子密度为：
4 2a2
2 2a2
3 1
(111)面原子密度为： 1
6 6 2a2
1 3a2
构因子不为零的条件导出的劳厄条件类似，只
是其中的晶格常数变成b Øb）仍然适用。其中劳厄条件的晶格常数变成b，
布拉格定律的晶面间距将采用晶格常数b为单位 进行计算。
7. 综合题
高分辨透射电子显微镜（High Resolution Transmission
•
Electron Microscope, HRTEM）是研究晶体结构的先进的现代 表征技术，它的工作原理是利用高能电子束（目前商用的机
a1
a 2
jk
,
a2
a 2
k i
, a3
ai
2
j
代入倒格矢公式
b1
2
a1
a2 a3
a2 a3
, b2
2
a1
a3 a1
a2 a3
, b3
2
a1
a1 a2
a2 a3
得面心立方倒格子基矢为：
b1
2
a
i j k
, b2
2
a
i jk
, b3
2
a
i jk
通过比较体心立方倒格子基矢与面心立方正格子原 胞基矢可知，两者只相差一常数公因子，这说明体 心立方的倒格子是面心立方，面心立方的倒格子是 体心立方。
器一般是200 keV到300 keV）对待研究的晶体进行照射，电 子束与晶格相互作用之后造成其透过率的改变，从而在底片 上形成衬度不一样的图案，这些图案直接反映了晶体的结构。
目前的HRTEM技术已经可以达到对晶体的结构及其组成元素 进行成像。下面是一张金纳米颗粒（立方密堆积）的HRTEM 照片（Figure 1A and 1B），请结合相关的英文说明，解释各 种指数代表了什么意思。根据这些指数，我们可以构造出该
3. X射线, 电子, 中子衍射线的共性是什么? 它们的个
•
性又是什么? 晶体能对质子产生衍射吗？ 答：共性：均满足Brag条件以及劳厄条件；
个性：X射线能量较高，波长大致和固体中原子的间 距同数量级。适合于测量晶体点阵结构；
电子衍射的能量较低，晶体原子对低能电子有很大
Ø
的散射截面，所以入射电子进入晶体不深，适合研 究表面晶格性质；
思考题: 1. 由只有一种原子组成的晶体, 是否每个原子的平
•
移对称性都是等价的? 为什么?
答：不是，如单层石墨烯结构，两个相邻碳原子 的平移对称性并不等价；
2. 一个晶体的布喇菲格子的对称性与该晶体的对称
•
性是否一定相同? 答：不一定，布喇菲格子的对称性最高。实际晶
体由于原胞中的原子有特定的排列，使得其对称性 会进一步降低；
中子能感受到晶体的两个方面：核分布和电子磁化
Ø
强度分布。中子衍射可以用来分析磁矩的分布、方 向和磁矩的序方式。
晶体能对质子产生衍射。质子波长 h ， E ~Leabharlann 0.08eVØ2mE
的质子束流产生波长约为1Å的波，与晶格常数数量
级可比拟，故晶体可对其产生衍射。
6. 在一块晶格常数为a的简单立方晶体中, 按格常数 为b的简单立方重复周期挖空直径为b/2的球体, (例如, 沸石分子筛就具有十分相似的结构)b>a；试问：
a）是否可用X射线衍射测量b值? 为什么?
b）如可以, 劳厄方程或布拉格定律是否仍然适用? Øa）可以。在挖空了直径为b/2的球体之后，剩 下的晶体骨架仍然会对X射线造成散射，只是此 时的晶格结构因子将变成重复周期为b，含有数 个原胞的“原胞群”贡献的叠加。因此晶体结
3a
j
倒格子如图所示
•
4
3a b2
O
b1
bc) 二维蜂房结构的布拉菲格子为正六边形； 倒格子为菱形。
第一布里渊区：黄色阴影部分
5. 简述几何结构因子和原子形状因子的物理意义，并讨论其 在X射线衍射中所起的作用。 几何结构因子：对于一定的入射方向，晶胞内所有原子或离
Ø
子沿某一方向的散射波的幅度与一个电子的散射波的幅度之 比。表征一个原胞中所有原子对X射线的散射能力，与原胞 内原子的排列方式密切相关
格常数：对晶格常数为a的体心立方与面心立方，倒 格子的格常数均为 4
a
4. 有一正格子，二维，a1 a2 ，具夹角 a1a2 60，
a) 画出正格子、倒格子、以及倒格子基矢； b) 画出二维蜂房结构的布拉菲格子及其倒格子； c) 画出上述倒格子的第一布里渊区。
解：a) 正格子如图所示
y
b2 a2
3
cos a2 a3 1
a2 a3
3
cos a1 a3 1
a1 a3
3
所以体心立方惯用原胞三个基矢间夹角为：
•
cos1( 1) 109 28
3
• 由而于三体 方心 晶立 系方 只结 需构 满的 足原 ：胞基 矢 满足彼此1夹20角（。为10990º2。）8’，
因此体心立方结构的原胞具有比三方结构更高的对称
a 2
i j k
a2
a 2
i jk
a3
a 2
i j k
代入倒格矢公式
b1
2
a1
a2 a3
a2 a3
, b2
2
a1
a3 a1
a2 a3
, b3
2
a1
a1 a2
a2 a3
得体心立方倒格子基矢为：
b1
2
a
j k
,b2
2
a
k i
,b3
2
a
i
j
Ø面心立方，晶格原胞基矢为：
原子形状因子：指原子内所有电子的散射波振幅的几何和与
Ø
一个电子的散射波的振幅之比。表征不同原子对X射线的散 射能力。
X射线衍射实际上考察的是晶体中所有原子对X射线散射之后，
Ø
在某个方向上散射波的相干叠加结果。因此，该方向上的衍 射强度既取决于单个原子本身对X射线的散射能力，亦即原 子形状因子，与原子的电子数目有关；其次还取决于经各个 原子散射的X射线的叠加，亦即几何结构因子。
纳米颗粒的模型（Figure 1C）。
答：金是面心立方结构，图中是一根金纳米棒的高分辨透射 电镜照片。根据各个晶面之间的夹角关系，可以推算出其密
勒指数。实验结果表明，金棒的侧面由高指数面{250}面组成。 顶端由两族晶面围绕而成，分别是{110}和{111}面。整根纳米 棒的生长方向（长轴方向）是[001]方向，因此金棒的两个底 面分别是(001)面。
2a
(111)
(001)面原子密度为：
4 1 4
1
a2 a2
4 1
(110)面原子密度为：
4 2a2
1 2a2
3 1
(111)面原子密度为： 1
6 6 2a2
1 3a2
22
各晶面间距分别为：
d001
a 0 0 1
a,
d110
a 11 0
2a 2
,
d111
a 3a 111 3
因此，对简单立方晶体， (001)面原子密度最大，晶面 间距最大。
O
a1
O
x
b1
设 a1 a2 a ，正格子基矢可写为：
a1
ai
, a2
a
1i 2
3 2
j
a3 ak
k垂直于纸面
b1
2
a1
a2 a3
a2 a3
, b2
2
a1
a3 a1
a2 a3
, b3
2
a1
a1 a2
a2 a3
则相应的倒格子基矢为：
•
b1
2
a
i
2
3a
j, b2
4
•
性，故其不属于三方晶系。
2. 简单立方晶体中，下列哪一簇晶面的面原子密度 最大？哪一簇晶面的晶面间距最大? (001)，(110)， (111)。对体心立方情况又如何?
Ø 对简单立方晶体，设晶格常数为a， (001)，(110)， (111)面原子排布如图所示：
a a
(001)
a 2a
(110)
试计算出体心立方的习惯原胞的三个基矢之间的
1.
夹角，并说明为何体心立方不属于三方晶系。
体心立方惯用原胞基矢为：
Ø
a1
a 2
i j k
a2
a 2
i jk
a3
a 2
i
j k
• 设 a1a2 ,a2a3 ,a1a3 , 则
cos a1 a2 1
a1 a2
22
各晶面间距分别为：
d 001
2
a
100
a
2
d 110
a
11 0
2a
2
d 111
2
a
111
3a
6
因此，对体心立方晶体， (110)面原子密度最大，晶面间 距最大。
3. 试证明体心立方和面心立方互为倒格子，并求出 两种倒格子的格常数。
体心立方：设晶格常数为a，则正格子原胞基矢为：
Ø
a1
对体心立方晶体，设晶格常数为a ， (001)，(110)，
•
(111)面原子排布如图所示：
a
a
a
2a
2a
(001)
(110)
(111)
(001)面原子密度为：
4 1 4
1
a2 a2
4 1 1
(110)面原子密度为：
4 2a2
2 2a2
3 1
(111)面原子密度为： 1
6 6 2a2
1 3a2
构因子不为零的条件导出的劳厄条件类似，只
是其中的晶格常数变成b Øb）仍然适用。其中劳厄条件的晶格常数变成b，
布拉格定律的晶面间距将采用晶格常数b为单位 进行计算。
7. 综合题
高分辨透射电子显微镜（High Resolution Transmission
•
Electron Microscope, HRTEM）是研究晶体结构的先进的现代 表征技术，它的工作原理是利用高能电子束（目前商用的机
a1
a 2
jk
,
a2
a 2
k i
, a3
ai
2
j
代入倒格矢公式
b1
2
a1
a2 a3
a2 a3
, b2
2
a1
a3 a1
a2 a3
, b3
2
a1
a1 a2
a2 a3
得面心立方倒格子基矢为：
b1
2
a
i j k
, b2
2
a
i jk
, b3
2
a
i jk
通过比较体心立方倒格子基矢与面心立方正格子原 胞基矢可知，两者只相差一常数公因子，这说明体 心立方的倒格子是面心立方，面心立方的倒格子是 体心立方。
器一般是200 keV到300 keV）对待研究的晶体进行照射，电 子束与晶格相互作用之后造成其透过率的改变，从而在底片 上形成衬度不一样的图案，这些图案直接反映了晶体的结构。
目前的HRTEM技术已经可以达到对晶体的结构及其组成元素 进行成像。下面是一张金纳米颗粒（立方密堆积）的HRTEM 照片（Figure 1A and 1B），请结合相关的英文说明，解释各 种指数代表了什么意思。根据这些指数，我们可以构造出该
3. X射线, 电子, 中子衍射线的共性是什么? 它们的个
•
性又是什么? 晶体能对质子产生衍射吗？ 答：共性：均满足Brag条件以及劳厄条件；
个性：X射线能量较高，波长大致和固体中原子的间 距同数量级。适合于测量晶体点阵结构；
电子衍射的能量较低，晶体原子对低能电子有很大
Ø
的散射截面，所以入射电子进入晶体不深，适合研 究表面晶格性质；
思考题: 1. 由只有一种原子组成的晶体, 是否每个原子的平
•
移对称性都是等价的? 为什么?
答：不是，如单层石墨烯结构，两个相邻碳原子 的平移对称性并不等价；
2. 一个晶体的布喇菲格子的对称性与该晶体的对称
•
性是否一定相同? 答：不一定，布喇菲格子的对称性最高。实际晶
体由于原胞中的原子有特定的排列，使得其对称性 会进一步降低；
中子能感受到晶体的两个方面：核分布和电子磁化
Ø
强度分布。中子衍射可以用来分析磁矩的分布、方 向和磁矩的序方式。
晶体能对质子产生衍射。质子波长 h ， E ~Leabharlann 0.08eVØ2mE
的质子束流产生波长约为1Å的波，与晶格常数数量
级可比拟，故晶体可对其产生衍射。
6. 在一块晶格常数为a的简单立方晶体中, 按格常数 为b的简单立方重复周期挖空直径为b/2的球体, (例如, 沸石分子筛就具有十分相似的结构)b>a；试问：
a）是否可用X射线衍射测量b值? 为什么?
b）如可以, 劳厄方程或布拉格定律是否仍然适用? Øa）可以。在挖空了直径为b/2的球体之后，剩 下的晶体骨架仍然会对X射线造成散射，只是此 时的晶格结构因子将变成重复周期为b，含有数 个原胞的“原胞群”贡献的叠加。因此晶体结
3a
j
倒格子如图所示
•
4
3a b2
O
b1
bc) 二维蜂房结构的布拉菲格子为正六边形； 倒格子为菱形。
第一布里渊区：黄色阴影部分
5. 简述几何结构因子和原子形状因子的物理意义，并讨论其 在X射线衍射中所起的作用。 几何结构因子：对于一定的入射方向，晶胞内所有原子或离
Ø
子沿某一方向的散射波的幅度与一个电子的散射波的幅度之 比。表征一个原胞中所有原子对X射线的散射能力，与原胞 内原子的排列方式密切相关
格常数：对晶格常数为a的体心立方与面心立方，倒 格子的格常数均为 4
a
4. 有一正格子，二维，a1 a2 ，具夹角 a1a2 60，
a) 画出正格子、倒格子、以及倒格子基矢； b) 画出二维蜂房结构的布拉菲格子及其倒格子； c) 画出上述倒格子的第一布里渊区。
解：a) 正格子如图所示
y
b2 a2
3
cos a2 a3 1
a2 a3
3
cos a1 a3 1
a1 a3
3
所以体心立方惯用原胞三个基矢间夹角为：
•
cos1( 1) 109 28
3
• 由而于三体 方心 晶立 系方 只结 需构 满的 足原 ：胞基 矢 满足彼此1夹20角（。为10990º2。）8’，
因此体心立方结构的原胞具有比三方结构更高的对称
a 2
i j k
a2
a 2
i jk
a3
a 2
i j k
代入倒格矢公式
b1
2
a1
a2 a3
a2 a3
, b2
2
a1
a3 a1
a2 a3
, b3
2
a1
a1 a2
a2 a3
得体心立方倒格子基矢为：
b1
2
a
j k
,b2
2
a
k i
,b3
2
a
i
j
Ø面心立方，晶格原胞基矢为：
原子形状因子：指原子内所有电子的散射波振幅的几何和与
Ø
一个电子的散射波的振幅之比。表征不同原子对X射线的散 射能力。
X射线衍射实际上考察的是晶体中所有原子对X射线散射之后，
Ø
在某个方向上散射波的相干叠加结果。因此，该方向上的衍 射强度既取决于单个原子本身对X射线的散射能力，亦即原 子形状因子，与原子的电子数目有关；其次还取决于经各个 原子散射的X射线的叠加，亦即几何结构因子。
纳米颗粒的模型（Figure 1C）。
答：金是面心立方结构，图中是一根金纳米棒的高分辨透射 电镜照片。根据各个晶面之间的夹角关系，可以推算出其密
勒指数。实验结果表明，金棒的侧面由高指数面{250}面组成。 顶端由两族晶面围绕而成，分别是{110}和{111}面。整根纳米 棒的生长方向（长轴方向）是[001]方向，因此金棒的两个底 面分别是(001)面。
2a
(111)
(001)面原子密度为：
4 1 4
1
a2 a2
4 1
(110)面原子密度为：
4 2a2
1 2a2
3 1
(111)面原子密度为： 1
6 6 2a2
1 3a2
22
各晶面间距分别为：
d001
a 0 0 1
a,
d110
a 11 0
2a 2
,
d111
a 3a 111 3
因此，对简单立方晶体， (001)面原子密度最大，晶面 间距最大。
O
a1
O
x
b1
设 a1 a2 a ，正格子基矢可写为：
a1
ai
, a2
a
1i 2
3 2
j
a3 ak
k垂直于纸面
b1
2
a1
a2 a3
a2 a3
, b2
2
a1
a3 a1
a2 a3
, b3
2
a1
a1 a2
a2 a3
则相应的倒格子基矢为：
•
b1
2
a
i
2
3a
j, b2
4
•
性，故其不属于三方晶系。
2. 简单立方晶体中，下列哪一簇晶面的面原子密度 最大？哪一簇晶面的晶面间距最大? (001)，(110)， (111)。对体心立方情况又如何?
Ø 对简单立方晶体，设晶格常数为a， (001)，(110)， (111)面原子排布如图所示：
a a
(001)
a 2a
(110)