成本函数与供给分析
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1 2 f 2 2 f 2 f 2 [ 2 h1 2 h1h2 h ] 2 2 2 x1 x1x2 x2
矩阵形式： f ( x1 h1 , x2 h2 )
h1 1 f11 f ( x1 , x2 ) ( f1 , f 2 ) (h1 , h2 ) h2 2 f 21 1 T 2 f (x) Df (x)h h D f (x)h 2
一阶条件为： L 1 w1 x1 x2 x1
（1） ；
L 1 w2 x1 x2 x2
（2）
(1) w1 x1 w2 x1 x2 ，代入 x1 x2 y 得到条件要 (2) w2 x2 w1
素需求函数和成本函数分别为：
要素价格上升， 厂商会用其他要素替代该要素。 所以成本提 高的比率小于该种要素价格上升的比率。
4. C (w, y ) 对于 w 是连续的
习题：函数 C ( w, r , y ) w2 / 3r1 / 4 y1 / 2 可以成为成本函数吗？
六、条件要素需求函数与谢泼德引理
C (w, y ) 谢泼德引理： xi (w, y ) wi
其经济含义是：若要素价格上涨为原来的 t 倍，则最小成本 也扩大为原来的 t 倍。
3. C (w, y ) 对于 w 具有凹性
C tw (1 t )w tC (w, y ) (1 t )C (w, y ) ， 0 t 1，
成本函数的凹性说明： 如果其他要素价格不变， 只有某一种
h T D 2 f (x)h 0 ， h 满足 wh 0
5.2 成本函数
一、成本函数概念
成 本 方 程 ： C wx wi xi ， 当 i 2 时 ， 就 变 成
i 1 n
C w1 x1 w2 x2 。
成本函数：从要素投入要求集V ( y ) 中选择成本最低的要素 组合时的支出 min wx
x0
s.t. f (x) y
C C (w, y ) （最优解） 。
条件要素需求函数： x ( w, y ) 例：生产函数为 y f ( x1 , x2 ) x1 x2 ，求成本函数。
min( w1 x1 w2 x2 )
s.t.
x1 x2 y
L w1 x1 w2 x2 ( y x1 x2 )
2 f x2 f 2 f x1 1 ( 2 ) 0 x1 w1 x1x2 w1 x1 w1 2 f x1 2 f x2 f 0 ( 2 ) 0 x2 x1 w1 x2 w1 x2 w1 0 f 1 f 2 f1 f11 f12 w f2 1 0 x1 f 21 1 w1 f 22 x2 0 w1
有： xt , q x , q 就是说，当产量 q 不变时，要素价格扩大 t 倍，维持成
i 1, , n
（1）关于要素价格的零次齐次性。对于任意的非零常数 t，
本最小的投入量不会改变。由于这里的 x 代表投入要素簇， 因而 x 的价格扩大 t 倍可视作所有的投入要素价格均扩大 t 倍。 （2）对称性。这是指对于任意的两种要素 xi 和 x j ，均有：
MC
ATC
y
AVC
AFC
在产出为 0 时，平均可变成本恰好等于边际成本。 Cv ( y ) 0 SAVC 的表达式变为 型的不定式。 0 y ( 0) Cv ( y ) Cv lim y 0 1 y 2.长期成本曲线与短期成本曲线的关系 长期成本线与短期成本线的最低投入点相切，是其包罗线。
xi , q x j , q j i
但须注意， 此式并不保证两种要素的需求交叉弹性一定 相等。这是因为，在一般情况下是： xi j x j i j xi i x j （3）要素自身价格效应为负。其数学表达式为：
xi , q 0 i x , q j 0 j 这说明投入要素的需求量随其自身价格的上涨 （下降） 而减 少（增加） 。 C ( w, y ) 思考： 等于什么？其结论具有什么意义？ y
二、短期成本函数
投入要素为 x ( x f , xv )T ，相应的要素价格为 w ( w f , wv ) 。 短期成本函数： C C (w, y, x f ) wv xv (w, y, x f ) w f x f
STC SVC FC wv xv (w , y, x f ) w f x f
求解该成本函数的最小化问题，可以得到：
x1 [ yk ( 1) ]
1
STC C ( w1 , w2 , y, k ) w1[ yk ( 1) ] w2 k
y SAC w1 ( ) k
1
1
k y w2 ； SAVC w1 ( ) k y
1
1
w1 y k SAFC w2 ； SMC ( ) k y
二、成本最小化的一阶条件
f (x) 一阶条件： wi 0 xi
i 1, , n
w Df (x)
wi f (x) xi w j f (x) x j
i, j 1, , n
在产出水平不变的前提下，其技术替代率等于要素价格之 比。
三、成本最小化二阶条件
除了成本最小点之外， 在等成本线上的其它任何点进行生产 都会导致产量下降。 f f f ( x1 h1 , x1 x2 ) f ( x1 , x2 ) h1 h2 x1 x2
C ( w1 , w2 , y ) y
1
[( ) ( )
]w1 w2
C ( w1 , w2 , y ) y
1
Q ( w1 , w2 )
， ( w1 , w2 ) w1 w2 。
Q ( ) ( )
MC
AC MC
MC
AC
AC
Biblioteka Baidu1
y
1
y
1
y
四、成本曲线
C C (q ) b
总成本曲线
1.平均成本曲线与边际成本曲线的关系 边际成本分别与短期平均成本和短期平均可变成本交于后 两者的最低点。
y 表示最小平均成本点时的产量 d C ( y) 当 y y 满足，则 ( )0 dy y yC ( y ) C ( y ) C ( y) C ( y ) 0 ，即 2 y y C ( y) C ( y) y y 时， C ( y ) ； y y 时， C ( y ) 。 y y 习题：证明当边际成本下降时，平均成本必然下降。
例子：生产函数为 y x1 x2 ，其中 , 0 。 成本函数:
C ( w1 , w2 , y ) y
1
[( ) ( )
]w1 w2
[( ) ( )
f ( x1 ( w1 , w2 , y ), x2 ( w1 , w2 , y )) w1 0 x1 f ( x1 ( w1 , w2 , y ), x2 ( w1 , w2 , y )) w2 0 x2 f x1 f x2 对 w1 求导，可得： 0 x1 w1 x2 w1
三、长期成本函数
长期成本函数为：
LTC C ( w , y ) wv xv ( w , y ) w f x f ( w , y ) C[ w , y , x f ( w , y )]
LAC
LTC C (w, y ) LTC C (w , y ) ； LMC y y y y
x x1 ( w1 , w2 , y ) y
* 1 * 2
1 /( )
w2 /( ) ( ) w1 w1 /( ) ( ) w2
x x2 ( w1 , w2 , y ) y
1 /( )
带入目标函数 min( w1 x1 w2 x2 ) 得到成本函数:
]w1
w2
( )(
w1 w2
)
1
a
∴
LTC C ay
1
1
LAC ay
； LMC
a ay
1
1 LAC
1时， C 是凸的，规模报酬递减； 1， C 是线性的，规模报酬不变； 1时， C 是凹的，规模报酬递增（对偶性） 。
f12 h1 f 22 h2
变动后的要素组合仍在等成本线上，则有 w1h1 w2 h2 0 。
w1h1 w2 h2 f1h1 f 2 h2 ( f1h1 f 2 h2 ) 0 f11 f12 h1 h1 (h1 , h2 ) 0 ，满足 ( f1 , f 2 ) 0 。 f 21 f 22 h2 h2 其二阶条件可表述为： 生产函数的海塞矩阵是满足线性约束 的半负定矩阵。
第五章 成本函数与供给分析
5.1 成本最小化
一、成本最小化
成本最小化：当价格、产量一定时，成本最小化是在可行技
术约束下寻找最低成本的要素组合。 成本最小化形式化表述： s.t. f (x) y min wx x0 不考虑边界解的特殊情况： L( , x) wx [ f (x) y ]
0 f1
0 f2 1 f 21 x1 f 22 0 w1 H
f 2 0 f 22 x1 ; f1 f2 0 w1 f1 f11 f 21 f 2 f12 f 22
0 f1
f1 f11
0 1
f 2 f12 0 x2 f1 f2 0 w1 f1 f11 f 21 f 2 f12 f 22 x2 x1 x2 f 2 f1 x1 f1 f 2 0; 0; w1 H w2 w2 w1 H
wv xv (w, y, x f ) STC C (w , y, x f ) ； SAVC SAC y y y SAFC wf x f STC C (w , y, x f ) ； SMC y y y
(1 ) 例子。设有一个短期的 C—D 技术： y x1 k 。
STC1
STC2
STC3
LTC
y
1
y2
y3
五、成本函数的性质
1. C (w, y ) 关于 w 是非递减的
其经济含义是：当要素价格（产量）不变时较高的产量（要 素价格）对应的最小成本也较高。
2. C (w, y ) 是关于 w 一次齐次的 C (tw, y ) tC (w, y ) ，t>0
七、价格变动对投入要素的影响
利用条件要素需求函数可分析要素价格变动对厂商生产投 入要素和要素组合比例变化的影响。
条件要素需求函数 x(w, y ) 满足一阶条件： f (x(w, y )) y
w Df (x(w, y )) 0
（ min wx s.t. f (x) y ）
x0
考虑只有两种投入要素的情况，其一阶条件为： f ( x1 ( w1 , w2 , y ), x2 ( w1 , w2 , y )) y
矩阵形式： f ( x1 h1 , x2 h2 )
h1 1 f11 f ( x1 , x2 ) ( f1 , f 2 ) (h1 , h2 ) h2 2 f 21 1 T 2 f (x) Df (x)h h D f (x)h 2
一阶条件为： L 1 w1 x1 x2 x1
（1） ；
L 1 w2 x1 x2 x2
（2）
(1) w1 x1 w2 x1 x2 ，代入 x1 x2 y 得到条件要 (2) w2 x2 w1
素需求函数和成本函数分别为：
要素价格上升， 厂商会用其他要素替代该要素。 所以成本提 高的比率小于该种要素价格上升的比率。
4. C (w, y ) 对于 w 是连续的
习题：函数 C ( w, r , y ) w2 / 3r1 / 4 y1 / 2 可以成为成本函数吗？
六、条件要素需求函数与谢泼德引理
C (w, y ) 谢泼德引理： xi (w, y ) wi
其经济含义是：若要素价格上涨为原来的 t 倍，则最小成本 也扩大为原来的 t 倍。
3. C (w, y ) 对于 w 具有凹性
C tw (1 t )w tC (w, y ) (1 t )C (w, y ) ， 0 t 1，
成本函数的凹性说明： 如果其他要素价格不变， 只有某一种
h T D 2 f (x)h 0 ， h 满足 wh 0
5.2 成本函数
一、成本函数概念
成 本 方 程 ： C wx wi xi ， 当 i 2 时 ， 就 变 成
i 1 n
C w1 x1 w2 x2 。
成本函数：从要素投入要求集V ( y ) 中选择成本最低的要素 组合时的支出 min wx
x0
s.t. f (x) y
C C (w, y ) （最优解） 。
条件要素需求函数： x ( w, y ) 例：生产函数为 y f ( x1 , x2 ) x1 x2 ，求成本函数。
min( w1 x1 w2 x2 )
s.t.
x1 x2 y
L w1 x1 w2 x2 ( y x1 x2 )
2 f x2 f 2 f x1 1 ( 2 ) 0 x1 w1 x1x2 w1 x1 w1 2 f x1 2 f x2 f 0 ( 2 ) 0 x2 x1 w1 x2 w1 x2 w1 0 f 1 f 2 f1 f11 f12 w f2 1 0 x1 f 21 1 w1 f 22 x2 0 w1
有： xt , q x , q 就是说，当产量 q 不变时，要素价格扩大 t 倍，维持成
i 1, , n
（1）关于要素价格的零次齐次性。对于任意的非零常数 t，
本最小的投入量不会改变。由于这里的 x 代表投入要素簇， 因而 x 的价格扩大 t 倍可视作所有的投入要素价格均扩大 t 倍。 （2）对称性。这是指对于任意的两种要素 xi 和 x j ，均有：
MC
ATC
y
AVC
AFC
在产出为 0 时，平均可变成本恰好等于边际成本。 Cv ( y ) 0 SAVC 的表达式变为 型的不定式。 0 y ( 0) Cv ( y ) Cv lim y 0 1 y 2.长期成本曲线与短期成本曲线的关系 长期成本线与短期成本线的最低投入点相切，是其包罗线。
xi , q x j , q j i
但须注意， 此式并不保证两种要素的需求交叉弹性一定 相等。这是因为，在一般情况下是： xi j x j i j xi i x j （3）要素自身价格效应为负。其数学表达式为：
xi , q 0 i x , q j 0 j 这说明投入要素的需求量随其自身价格的上涨 （下降） 而减 少（增加） 。 C ( w, y ) 思考： 等于什么？其结论具有什么意义？ y
二、短期成本函数
投入要素为 x ( x f , xv )T ，相应的要素价格为 w ( w f , wv ) 。 短期成本函数： C C (w, y, x f ) wv xv (w, y, x f ) w f x f
STC SVC FC wv xv (w , y, x f ) w f x f
求解该成本函数的最小化问题，可以得到：
x1 [ yk ( 1) ]
1
STC C ( w1 , w2 , y, k ) w1[ yk ( 1) ] w2 k
y SAC w1 ( ) k
1
1
k y w2 ； SAVC w1 ( ) k y
1
1
w1 y k SAFC w2 ； SMC ( ) k y
二、成本最小化的一阶条件
f (x) 一阶条件： wi 0 xi
i 1, , n
w Df (x)
wi f (x) xi w j f (x) x j
i, j 1, , n
在产出水平不变的前提下，其技术替代率等于要素价格之 比。
三、成本最小化二阶条件
除了成本最小点之外， 在等成本线上的其它任何点进行生产 都会导致产量下降。 f f f ( x1 h1 , x1 x2 ) f ( x1 , x2 ) h1 h2 x1 x2
C ( w1 , w2 , y ) y
1
[( ) ( )
]w1 w2
C ( w1 , w2 , y ) y
1
Q ( w1 , w2 )
， ( w1 , w2 ) w1 w2 。
Q ( ) ( )
MC
AC MC
MC
AC
AC
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y
1
y
1
y
四、成本曲线
C C (q ) b
总成本曲线
1.平均成本曲线与边际成本曲线的关系 边际成本分别与短期平均成本和短期平均可变成本交于后 两者的最低点。
y 表示最小平均成本点时的产量 d C ( y) 当 y y 满足，则 ( )0 dy y yC ( y ) C ( y ) C ( y) C ( y ) 0 ，即 2 y y C ( y) C ( y) y y 时， C ( y ) ； y y 时， C ( y ) 。 y y 习题：证明当边际成本下降时，平均成本必然下降。
例子：生产函数为 y x1 x2 ，其中 , 0 。 成本函数:
C ( w1 , w2 , y ) y
1
[( ) ( )
]w1 w2
[( ) ( )
f ( x1 ( w1 , w2 , y ), x2 ( w1 , w2 , y )) w1 0 x1 f ( x1 ( w1 , w2 , y ), x2 ( w1 , w2 , y )) w2 0 x2 f x1 f x2 对 w1 求导，可得： 0 x1 w1 x2 w1
三、长期成本函数
长期成本函数为：
LTC C ( w , y ) wv xv ( w , y ) w f x f ( w , y ) C[ w , y , x f ( w , y )]
LAC
LTC C (w, y ) LTC C (w , y ) ； LMC y y y y
x x1 ( w1 , w2 , y ) y
* 1 * 2
1 /( )
w2 /( ) ( ) w1 w1 /( ) ( ) w2
x x2 ( w1 , w2 , y ) y
1 /( )
带入目标函数 min( w1 x1 w2 x2 ) 得到成本函数:
]w1
w2
( )(
w1 w2
)
1
a
∴
LTC C ay
1
1
LAC ay
； LMC
a ay
1
1 LAC
1时， C 是凸的，规模报酬递减； 1， C 是线性的，规模报酬不变； 1时， C 是凹的，规模报酬递增（对偶性） 。
f12 h1 f 22 h2
变动后的要素组合仍在等成本线上，则有 w1h1 w2 h2 0 。
w1h1 w2 h2 f1h1 f 2 h2 ( f1h1 f 2 h2 ) 0 f11 f12 h1 h1 (h1 , h2 ) 0 ，满足 ( f1 , f 2 ) 0 。 f 21 f 22 h2 h2 其二阶条件可表述为： 生产函数的海塞矩阵是满足线性约束 的半负定矩阵。
第五章 成本函数与供给分析
5.1 成本最小化
一、成本最小化
成本最小化：当价格、产量一定时，成本最小化是在可行技
术约束下寻找最低成本的要素组合。 成本最小化形式化表述： s.t. f (x) y min wx x0 不考虑边界解的特殊情况： L( , x) wx [ f (x) y ]
0 f1
0 f2 1 f 21 x1 f 22 0 w1 H
f 2 0 f 22 x1 ; f1 f2 0 w1 f1 f11 f 21 f 2 f12 f 22
0 f1
f1 f11
0 1
f 2 f12 0 x2 f1 f2 0 w1 f1 f11 f 21 f 2 f12 f 22 x2 x1 x2 f 2 f1 x1 f1 f 2 0; 0; w1 H w2 w2 w1 H
wv xv (w, y, x f ) STC C (w , y, x f ) ； SAVC SAC y y y SAFC wf x f STC C (w , y, x f ) ； SMC y y y
(1 ) 例子。设有一个短期的 C—D 技术： y x1 k 。
STC1
STC2
STC3
LTC
y
1
y2
y3
五、成本函数的性质
1. C (w, y ) 关于 w 是非递减的
其经济含义是：当要素价格（产量）不变时较高的产量（要 素价格）对应的最小成本也较高。
2. C (w, y ) 是关于 w 一次齐次的 C (tw, y ) tC (w, y ) ，t>0
七、价格变动对投入要素的影响
利用条件要素需求函数可分析要素价格变动对厂商生产投 入要素和要素组合比例变化的影响。
条件要素需求函数 x(w, y ) 满足一阶条件： f (x(w, y )) y
w Df (x(w, y )) 0
（ min wx s.t. f (x) y ）
x0
考虑只有两种投入要素的情况，其一阶条件为： f ( x1 ( w1 , w2 , y ), x2 ( w1 , w2 , y )) y