同济大学高等钢结构与组合结构铝合金作业

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（2） 边缘纤维应变达 2.0%时
挠度：
2
=
2
400 0.02
1-
cos
6
0.02 0.4
=446.64mm
截面部分进入塑性，由平截面假定
弹性核边缘与中和轴距离： L= y h = 0.00125 400 = 12.5mm 2 0.02 2
截面上的应力应变分布如下图：
截面部分进入塑性和强化，由平截面假定
弹性核边缘与中和轴距离： L= y h = 0.00125 400 = 6.25mm 2 0.04 2
强化段上边缘与中和轴距离： L= 0.02 h = 0.02 400 = 100mm 0.04 2 0.04 2
截面应力分布图为：
由钢材三折线本构关系：
当应变为 4%时，对应的钢材应力为 = 400-250 (4% − 2%) +250=287.5MPa
10%-2%
腹板和翼缘连接处的应力为 = 287.5-250 (100-16) +250=281.5MPa
200-100
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腹板弹性核部分
M
1 3
=
Ah
=
1 2
250
6.25
12
2 3
6.25
2
=
78125N
mm
=
0.078kN
m
腹板塑性部分：
M
2 3
=
f
y
As
h
=
250
12
备，能够提高结构的安全保障。
采用商用有限元软件 Abaqus 2016 版本进行建模：
实体单元：C3D8R
为防止钢梁平面外失稳，在跨中增加 X 向的约束。端部弯矩通过设置参考点，参考点与端部截面设置
耦合约束施加。
网格划分密度：50mm
图 1 荷载与边界条件
图 2 网格划分 第 4 页/共 11 页
通过跨中边缘处 Z 向即（E33）的应变提取位移 Y 方向（U22）和跨中截面弯矩。由于增量步设置原 因（过大计算结果不精确，过小计算时间太长无意义），无法通过 Z 向应变与题目相符获得相应数值 计算结果。通过提取两个增量步的结果，线性插值得到相应的数值结果，计算结果见表 1。 第一种情况：
解：
截面惯性矩：
I
=1 12
250
4003
−
(250
− 12)
( 400
− 16
2)3
=
3.45
108
mm2
屈服时边缘纤维应变： y =
fy E
=
250 200000
= 0.00125
受纯弯矩条件下，变形曲线为圆，则根据几何关系有
R =L R= 1
= = 2 hh 2
（1） 钢材边缘纤维刚刚屈服时
腹板弹性核部分
M
1 2
=
Ah
=
1 2
250
12.5 12
2 3
12.5
2
=
312500N
mm
=
0.3125kN
m
腹板塑性部分：
M
2 2
=
f y Ash
=
250
12
(200
− 16
−
12.5)
(200
−
16 2
−
12.5)
+ 12.5 2
= 101.1106 N mm = 101.1kN m
高等钢结构与组合结构
第一章作业
【第 2 题】某简支钢梁，梁端承受端弯矩，长度 L=6m，截面为 H400*250*12*16，已知钢材的弹性模量为 E=200GPa， 屈服强度为 fy=250Mpa，屈服平台的最大流幅 2.0%，抗拉强度为 fu=400Mpa，对应的应变为 10%；为试分别估算： （1）钢材边缘纤维刚刚屈服时，钢梁的跨中挠度，以及此时对应的弯矩 M1； （2）边缘纤维应变达 2.0%时，钢梁的跨中挠度，以及此时对应的弯矩 M2； （3）边缘纤维应变达 4.0%时，钢梁的跨中挠度，以及此时对应的弯矩 M3； （4）叙述屈服段和强化段的重要性； （5）采用数值分析软件，用实体单元建立模型，验证并对比上述计算结果，并解释原因。
485.40 492.59 1.48%
第三种情况 跨中挠度/mm M/kNm-1
873.32 933.17 6.85%
550.54 567.88 3.15%
从结果可以看出，有限元计算结果与理论推导吻合程度较好，计算精度较高。误差产生的原因为：（1）有限元 划分网格疏密。（2）有限元建模过程中，支座约束住梁两端截面，与计算理论中的铰支座有区别。（3）计算过程中 增量步的选取，会产生一定的误差。
第二种情况：
图 3 边缘纤维屈服
第三种情况：
图 4 边缘纤维应变 2%
图 5 边缘纤维应变 4%
手算 电算 误差
第一种情况 跨中挠度/mm M/kNm-1
28.12 29.17 3.75%
431.00 409.18 5.06%
表 1 计算误差 第二种情况
跨中挠度/mm M/kNm-1
446.64 466.44 4.43%
M1
1
钢梁屈服后，相比于位移的增加倍数，承载力增幅小，结构变形大。
钢材的本构模型分为弹性、屈服、强化和颈缩阶段。其中，对比算（1）、（2）和（3）可知屈服阶段
与强化阶段，钢材会产生较大的延性变形（挠度），在结构破坏前有明显的预兆，易于早发现和早修
复。对比（2）和（3）可知，钢材进入强化阶段后能继续承载，承受增加的应力。有一定的安全储
m
翼缘部分：
M
4 3
=
As h
=
287.5+281.5 2
16
250
( 400-16)
=
436.992 106
N
mm
=
437.0kN
m
截面弯矩：
M3
=
M
1 3
+
M
2 3
+
M
3 3
+M
4 3
=0.078+29.88+83.58+437=550.538kN
m
M 2 =1.13 ， 2 =15.9
M1
1
M3 =1.28 ， 3 =31.05
(100-6.25)
(100-6.25) 2
+ 6.25 2
= 29.88 106 N mm = 29.88kN m 腹板强化部分：
（4） （5）
M
3 3
=
As h
=
250+281.5 2
12
(200-16-100)
2
200-16-100 3
+100
2
=
83.58 106
N
mm
=
83.58kN
=R-R
cos
2
=
h 2
1
−
cos
L h
挠度：
1
=
2
400 0.00125
1-
cos
6
0.00125 0.4
=
28.12mm
由 =f y
=
M1 I
y
对应的弯矩为： M1=
fyI y
=
fyI h
=
250 Leabharlann Baidu3.45 108 400
= 431106 N mm = 431kN m
2
翼缘部分：
M
3 2
=f
y
As
h
=
250
250
16
(
400
−
16)
=
384
106
N
mm
=
384kN
m
截面弯矩：
M2
=
M
1 2
+
M
2 2
+
M
3 2
=0.3125+101.1+384=485.4kN
m
（3） 边缘纤维应变达 4.0%时
挠度：
3
=
2
400 0.04
1-
cos
6
0.04 0.4
=873.32mm