第7章应力状态分析
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工程力学7第七章应力状态和应变状态分析
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
0
x y
2
(
x y
2
)
2
2
2 x
y
y
y
2
090
0
x y
2
(
x y
2
2、为什么要研究一点的应力状态 单向应力状态和纯剪切应力状态的强度计算
σmax≤ [σ] τ
max≤[τ
]
梁截面上的任意点的强度如何计算？
分析材料破坏机理
F F F F T
T
3、怎么研究一点的应力状态
单元体
•各面上的应力均匀分布
• 相互平行的一对面上 应力大小相等、符号相同
满足：力的平衡条件 切应力互等定理
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法:
1.任意斜面上的应力 y
y
y
y
y
n
y
x
a
x
e
d
x
x
x
bz
x
x
x
e
x
x
y
f
yy
x
x
b
c
y
y
y
f t
应力的符号规定同前 α角以从x轴正向逆时针 转到斜面的法线为正
(设ef的面积为dA)
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
第七章应力状态及应变状态分析
第七章 应力状态及应变状态分析第一节 概 述在第一章中将应力定义为内力的集度或单位面积的内力值。
应力又分正应力σ和剪应力τ两种。
前面各章的知识表明，受力杆件中任一点的应力是随截面位置及点的位置的不同而不同，如7-1（a ）中a 、b 两点分别在两个截面上，其应力是不同的。
同一截面上的各点，如图7-1（b ）中b 、c 两点的应力一般情况下也是不同的。
同一点不同方向的应力也是不同的。
过一点各个方向上的应力情况称为该点的应力状态．．．．，应力状态分析就是要研究杆件中某一点（特别是危险点）各个方向上的应力之间的关系，确定该点处的最大正应力和最大剪应力，为强度计算提供重要依据。
研究应力状态的方法是过杆件中的任一点取出一个微小的六面体——单元．．体．。
如图7-1（a ）中过a 点取出的单元体放大如图7-2所示。
单元体三个方向的边长很小且趋于零，则该单元体代表一点，即a 点，互相平行的平面上的正应力相等，剪应力也相等。
杆件在任意荷载作用下，从中所取出的单元体表面上一般既有正应为又有剪应力，如图7-2所示。
当图7-2所示的单元体各面上的,0,0,0,0,0,0======zy zx yx yz xz xy ττττττ 即六个面上均没有剪应力作用时，这种面叫做特殊平面，并定义为主平面．．．。
该主(a)(b)图7-1各点的应力情况平面上作用的正应力称为主应力．．．，用,,,321σσσ表示（,321σσσ≥≥），如图7-3所示。
各面均为主平面的单元体，称为主单元体．．．．。
三个主应力中若有两个等于零一个不等于零，该单元体称为单向应力状态．．．．．．，如图7-4（a ）；三个主应力中有一个等于零，两个不等于零，该单元体称为二向应．．．力状态．．．，如图7-4（b ）；三个主应力均不等于零，该单元体称为三向应力状态．．．．．．，如7-3。
单向应力状态和二向应力状态属平面应力状态，三向应力状态属空间应力状．．．．．态．。
第7章应力状态分析
40
30MPa
68.3MPa
x y x y 2 2 ( ) xy 2 2
60MPa
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
例题
主平面的方位：
40
30MPa
tg 2q p
2 xy
x y
解析法
x y
即单元体两个相互 垂直面上的正应力 之和是一个常数!
x
切应力的互等定理!
yx
xy
y
τxy中第一个角标表示切应力作用平面的法线方向； 第二个表示切应力的方向!
解析法
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 d 0 将正应力对α取导数，并令 d
第七章 应力状态
1、应力状态的概念及其描述 2、平面应力状态分析 3、三向应力状态 4、广义胡克定律 5、变形比能
应力状态的概念
平面
F F
1
1
1
F A
应力状态的概念
平面 F 1
n
F
1
90
同一点的应力状态可以有各种பைடு நூலகம்样的描述方式
应力状态的概念
轴向拉压
1 3
2
第七章 应力状态
1、应力状态的概念及其描述 2、平面应力状态分析
3、三向应力状态
4、广义胡克定律
5、变形比能
广义胡克定律
各向同性材料的广义胡克定律
1、横向变形与泊松比（各向同性材料）
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
2
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
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7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
第7章(应力和应变状态分析)
一、应力状态的概念1.点的应力状态过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。
过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。
单元体三对面的应力已知，单元体平衡单元体三对面的应力已知，单元体平衡单元体任意部分平衡单元体任意部分平衡截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。
截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。
2.一点应力状态的描述以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。
以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。
y x zατασxy τx σz σy σxz τyxτyz τzx τzy τ二、应力状态的分类三个主应力不等于零。
三个主应力不等于零。
两个主应力不等于零。
两个主应力不等于零。
一个主应力不等于零。
一个主应力不等于零。
三向应力状态二向应力状态单向应力状态任何点的应力状态总可找到三对互相垂直的主平面构成的六面体，作用三对主应力σ1≥σ2≥σ3 。
任何点的应力状态总可找到三对互相垂直的主平面构成的六面体，作用三对主应力σ1≥σ2≥σ3 。
αταστxy x σy τyx yx αταστxy x σyστyx y x 一、任意斜截面上的正应力和切应力y x z αταστxyy στyx xστxy y στyx x σn t αn 0:F =∑d (d cos )sin (d cos )cos xy x A A A ασταασαα+−(d sin )cos (d sin )sin 0yx y A A ταασαα+−=0:F τ=∑d (d cos )cos (d cos )sin xy x A A A ατταασαα−−(d sin )cos (d sin )sin 0y yx A A σααταα++=y x αταστxy y στyx x στxy y στyx x σsin 2cos 22ασστατα−=+x yxy σx 、τxy 是法线与x 轴垂直的面上的正应力与切应力，即x 面上的正应力与切应力；σy 、τyx 是法线与y 轴垂直的面上的正应力与切应力，即y 面上的正应力与切应力。
材料力学第七章 应力状态
主平面的方位：
tan
2a0
2 xy x
y
主应力与主平面的对应关系： max 与切应力的交点同象限
例题：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, a 30。
试求（1）a 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
x y cos 2a
2
x sin 2a
x
a
x y sin 2a
2
x cos 2a
300
10 30 2
10 30 cos 60020sin 600
2
2.32 MPa
300
10 30 sin 600 2
20cos 600
1.33 MPa
a
20 MPa
c
30 MPa
b
n1
y xy
a x
解：（1）a 斜面上的应力
y xy
a
x
2
y
x
2
y
cos 2a
xy
sin 2a
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
a x 9.02MPa
a
x
y
2
sin
2a
xy
cos
2a
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
58.3MPa
2
1.33 MPa
300 600 x y 40 MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ 的和为
一常数。
证明： a
x y
材料力学-7-应力状态分析
7.1 应力状态的基本概念
y
y
1 1 4
z
4
Mz
x
x
l
S FP
2
3
Mx
z
3
a
第7章 应力状态分析
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
一、方向角与应力分量的正负号约定
x
正应力
x
x
拉为正
压为负
x
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
？
第7章 应力状态分析 7.1 应力状态的基本概念
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法 7.3 主应力、主平面与面内最大切应力 ——解析法 7.4 应力圆及其应用——图解法
7.5 三向应力状态的特例分析
7.6 广义胡克定律
7.7 应变能密度
第7章 应力状态分析
tan 2q p＝－ 2 τ
xy
x y
主平面（principal plane）：切应力q＝0的方向面，用 qp表示。 主应力（principal stress）：主平面上的正应力。 主方向（principal directions）：主平面法线方向，用方 向角qp表示。
7.3 主应力、主平面与面内最大切应力 ——解析法
第7章 应力状态分析
第7章 应力状态分析
1
3
2
max
max
拉压、弯曲正应力 扭转、弯曲切应力
这些强度问题的共同特点是：
1、危险截面上的危险点只承受正应力 或切应力； 2、都是通过实验直接确定失效时的极限应力，并以此为依据建立强度 设计准则。 复杂受力：危险截面上危险点同时承受正 应力和切应力，或者危险点的其他面上同 时承受正应力或切应力。 → 强度条件
材料力学《第七章》应力状态分析
上海交通大学
受力： sadA、 tadA 受力： sxdAcosa、 txydAcosa
受力： sydAsina、 tyxdAsina
n
sx
txy
a
sa a
a
x
ta
tyx
e
切线方向上： Σ Fτ 0
σx σy σx σy σα cos2α τ xy sin2α 2 2
b
sy
τα d A ( σ x d A cos α )sin α ( τ xy d A cos α )cos α ( σ y d A sin α )cos α ( τ yx d A sin α )sin α 0
s1
一个主应力为零，其他二个主应力不为零。
3. 三向应力状态(空间应力状态)： 三个主应力均不为零。
上海交通大学
一般要找出主应力后才能确定应力状态。
四、应力状态分析步骤
s2
1. 确定构件危险截面危险点；
2. 取危险点单元体；
s3
3. 计算单元体各面应力；
4. 截面法取部分单元体； 5. 由平衡条件确定单元体斜截面上的应力。 应力状态分析方法： 解析法、图解法。
上海交通大学
三、应力状态的分类 定义：单元体 上应力为零的面称为零应力面； 单元体上只有 s 而无 t 的面称为主平面。 主平面上的正应力 s 称为主应力。
s2
s3
单元体在某一特殊方向上，三个互相垂直的截面上只有 s，而 无 t ，即为单元体的三个主平面。 用 s1 ≥ s2 ≥ s3 表示三个主应力，此单元体称为主单元体。 1. 单向应力状态： 一个主应力不为零，其他二个主应力为零。如：轴向拉伸。 2. 二向应力状态(平面应力状态)：
第七章 应力状态、应变分析和强度理论
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
二、 正应力极值
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 d ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 d
设α＝α0 时，上式值为零，即
2
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
3、三向（空间）应力状态 三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2 1
3 1
3 2
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态
1
1
1
1
3
3
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念 2、二向（平面）应力状态 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3 2 3 2
3
2
1
3
1
1
1
1 0, 2 0, 3 0
Ft 0
dA ( x dAcos )cos ( x dAcos )sin ( y dAsin )sin ( y dAsin )cos 0
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
一、任意斜截面上的应力公式 已知： x , y , x , y , dA 求： ，
sin 2 xy cos 2
2 xy 2 ( 50) tan 2 0 1 x y 40 60 2 0 45 135
y =60 MPa xy = -50MPa =-30°
材料力学第07章应力状态与应变状态分析
以上由单元体公式
应力圆（原变换）
下面寻求： 由应力圆
单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价
换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
为什么说有这种对应关系？
DE R sin[180o ( 2 20 )] R sin( 2 20 )
( R cos 20 ) sin 2 ( R cos 20 )cos 2
2
cos2
xy
sin 2
同理：
x
y
2
sin 2
xy
cos2
n
Ox
图2
二、极值应力
令:d
d
0
x
y
sin202 xycos200
由此得两个驻点：
01、（
01
2
）和两个极值：
tg20
2 xy x
y
y
mm
ax in
x
y ±（x
2
y
2
）2
2 xy
0 0极值正应力就是主应力 ！
y
O
x
七、主单元体、主平面、主应力：
y
y
主单元体(Principal bidy)：
x
各侧面上剪应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
A
第7章 应力状态
y
应力的正负号规定：
xy
xy yx —— 切应力顺时针转向为正，逆时针转向为负；
y x —— 正应力以拉为正，压为负；
x
x
yx xy
x
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2. 任意斜截面上的应力
—— 使微元体顺时针
复杂应力状态下，如何建立强度条件 ？ 分别满足 ? 做实验 ?
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
2 一点的应力状态概念
F F
dz dx
dy
F
F A
m
应力单元体
F
m
F
p
n
p
t
cos 2
sin 2 2
5 、 二向应力状态实例
锅炉或其它圆筒形压力容器：壁厚为δ，内径为D，承受 内压p作用。
pD 1 2
pD 2 4
3 0
圆球形薄壁容器，壁厚为δ，内径为D，承受内压p作用。
pD 1 2 4
3 0
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6、三向应力状态实例
F
2
1
3 3 2
1
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7、任意斜截面上应力计算公式
x y
x y
2
2
x y
2
cos 2 xy sin 2 （7-3）
腐蚀学原理--第七章-应力作用下的腐蚀分析
(2) 金属和合金腐蚀量很微小，腐蚀局限于微小的局部。同时产生应力腐蚀断裂的合金表面往往存在钝化膜或保护膜。 (3) 裂纹方向宏观上和主拉伸应力的方向垂直，微观上略有偏移。 (4) 宏观上属于脆性断裂，即使塑性很高的材料也是如此。微观上，在断裂面上仍有塑性流变痕迹。 (5) 有裂纹分叉现象。断口形貌呈海滩条纹、羽毛状、撕裂岭、扇子形和冰糖块状图像。 (6) 应力腐蚀裂纹形态有沿晶型、穿晶型和混合型，视具体合金—环境体系而定。例如，铝合金、高强度钢多半是沿晶型的，奥氏体不锈钢多半是穿晶型的，而钛合金为混合型的。即使是同种合金，随着环境、应力大小的改变，裂纹形态也会随之改变。
实例：中国版本的“黑Байду номын сангаас坠落”
7.1.3 防止应力腐蚀断裂的措施
1．降低或消除应力 (1) 改进结构设计，避免或减少局部应力集中。对应力腐蚀事故分析表明，由残余应力引起的比例最大，因此在加工、制造、装配中应尽量避免产生较大的残余应力。结构设计应尽量避免缝隙和可能造成腐蚀液残留的死角，防止有害物质(如Cl-、OH-)的浓缩。 (2) 消除应力处理：减少残余应力可采取热处理退火、过变形法、喷丸处理等方法。其中消除应力退火是减少残余应力的最重要手段，特别是对焊接件，退火处理尤为重要。 (3) 按照断裂力学进行结构设计：由于构件中不可避免地存在着宏观或微观裂纹和缺陷，因此用断裂力学进行设计比用传统力学方法具有更高的可靠性。在腐蚀环境下，预先确定材料的KISCC、da／dt等参数，根据使用条件确定构件允许的临界裂纹尺寸ac，具有重要的实际意义。
氢的存在形式
氢可以H-、H、H+、H2、金属氢化物、固溶体、碳氢化合物等形式存在于金属中，也可与位错结合形成气团(⊥H)而存在。当氢与碱金属(如Li、Na、K)或碱土金属作用时，可形成氢化物(如NaH)。在这类化合物中Na+和H-以离子键方式结合在一起，氢以H-形式存在。另一种观点认为，过渡族金属的d带没有填满，当氢原子进入金属后，分解为质子和电子，即H → H++e。氢的1s电子进入金属的d带，氢以质子状态存在于金属中。当金属d带填满后，多余的氢将以原子状态存在。也有观点认为，氢原子具有很小的原子半径(0.053nm)，能处于点阵的间隙位置，如α—Fe的四面体间隙和γ—Fe的八面体间隙。最近，有的研究者又提出电子屏蔽概念。认为氢以原子态“H+e”存在于金属中，或者说氢以“屏蔽的离子”即穿有“电子外衣”的离子状态存在于金属中。 氢溶解在金属中可形成固溶体，氢在金属中的溶解度与温度和压力有关。氢在金属中如果超过固溶度，可形成分子氢(H2)、金属氢化物、氢原子气团三类化合物。
实例：中国版本的“黑Байду номын сангаас坠落”
7.1.3 防止应力腐蚀断裂的措施
1．降低或消除应力 (1) 改进结构设计，避免或减少局部应力集中。对应力腐蚀事故分析表明，由残余应力引起的比例最大，因此在加工、制造、装配中应尽量避免产生较大的残余应力。结构设计应尽量避免缝隙和可能造成腐蚀液残留的死角，防止有害物质(如Cl-、OH-)的浓缩。 (2) 消除应力处理：减少残余应力可采取热处理退火、过变形法、喷丸处理等方法。其中消除应力退火是减少残余应力的最重要手段，特别是对焊接件，退火处理尤为重要。 (3) 按照断裂力学进行结构设计：由于构件中不可避免地存在着宏观或微观裂纹和缺陷，因此用断裂力学进行设计比用传统力学方法具有更高的可靠性。在腐蚀环境下，预先确定材料的KISCC、da／dt等参数，根据使用条件确定构件允许的临界裂纹尺寸ac，具有重要的实际意义。
氢的存在形式
氢可以H-、H、H+、H2、金属氢化物、固溶体、碳氢化合物等形式存在于金属中，也可与位错结合形成气团(⊥H)而存在。当氢与碱金属(如Li、Na、K)或碱土金属作用时，可形成氢化物(如NaH)。在这类化合物中Na+和H-以离子键方式结合在一起，氢以H-形式存在。另一种观点认为，过渡族金属的d带没有填满，当氢原子进入金属后，分解为质子和电子，即H → H++e。氢的1s电子进入金属的d带，氢以质子状态存在于金属中。当金属d带填满后，多余的氢将以原子状态存在。也有观点认为，氢原子具有很小的原子半径(0.053nm)，能处于点阵的间隙位置，如α—Fe的四面体间隙和γ—Fe的八面体间隙。最近，有的研究者又提出电子屏蔽概念。认为氢以原子态“H+e”存在于金属中，或者说氢以“屏蔽的离子”即穿有“电子外衣”的离子状态存在于金属中。 氢溶解在金属中可形成固溶体，氢在金属中的溶解度与温度和压力有关。氢在金属中如果超过固溶度，可形成分子氢(H2)、金属氢化物、氢原子气团三类化合物。
材料力学课件第7章 应力状态分析
α+
2
（2）主应力值计算 ） 方法一： 方法一： σ x +σ y σ x −σ y + cos 2α 0 − τ xy sin 2α 0 σ α =
2 2 0 σ x +σ y σ x −σ y π π σ = + cos 2 α 0 + − τ xy sin 2 α 0 + α0 + π 2 2 2 2 2
2τ xy
σ x −σ y
2τ xy 1 可取： 可取： α 0 = arctan − σ −σ 2 x y
1 2τ xy , arctan − σ −σ x y 2
π + 2来自3、主应力： 、主应力： （1）性质： ）性质： ①主应力为各截面上正应力的极值。 主应力为各截面上正应力的极值。
∗ FS Sz τ= bIz
五、主平面、主应力 主平面、 1、主平面 、 •τ= 0的截面 的截面; 的截面 •过一点有三个相 过一点有三个相 互垂直的主平面. 互垂直的主平面 2、主应力 、 •主平面上的正应力 主平面上的正应力; 主平面上的正应力 •表示符号 1 、σ2、σ3（ σ1 ≥σ2≥σ3 ） 。 表示符号σ 表示符号 应力状态分类： 六、应力状态分类： 1、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 2、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 3、三向应力状态 ：三个主应力都不为零。 三个主应力都不为零。 、 4、简单应力状态：单向应力状态。 、简单应力状态：单向应力状态。 5、复杂应力状态：二向和三向应力状态。 、复杂应力状态：二向和三向应力状态。
2
（2）主应力值计算 ） 方法一： 方法一： σ x +σ y σ x −σ y + cos 2α 0 − τ xy sin 2α 0 σ α =
2 2 0 σ x +σ y σ x −σ y π π σ = + cos 2 α 0 + − τ xy sin 2 α 0 + α0 + π 2 2 2 2 2
2τ xy
σ x −σ y
2τ xy 1 可取： 可取： α 0 = arctan − σ −σ 2 x y
1 2τ xy , arctan − σ −σ x y 2
π + 2来自3、主应力： 、主应力： （1）性质： ）性质： ①主应力为各截面上正应力的极值。 主应力为各截面上正应力的极值。
∗ FS Sz τ= bIz
五、主平面、主应力 主平面、 1、主平面 、 •τ= 0的截面 的截面; 的截面 •过一点有三个相 过一点有三个相 互垂直的主平面. 互垂直的主平面 2、主应力 、 •主平面上的正应力 主平面上的正应力; 主平面上的正应力 •表示符号 1 、σ2、σ3（ σ1 ≥σ2≥σ3 ） 。 表示符号σ 表示符号 应力状态分类： 六、应力状态分类： 1、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 2、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 3、三向应力状态 ：三个主应力都不为零。 三个主应力都不为零。 、 4、简单应力状态：单向应力状态。 、简单应力状态：单向应力状态。 5、复杂应力状态：二向和三向应力状态。 、复杂应力状态：二向和三向应力状态。
第七章——应力状态分析
8
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin 2
平面应力状 态下斜截面
x
2
y
sin
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xcos2
应力的一般 公式
各变量的方向：正应力以拉应力为正；切应力以企图 使微体沿顺时针方向转动为正；方位角则规定以x轴 为始边、指向逆时针方向者为正。
9
第七章 应力状态分析
7.3 应力圆
10
x y
2
2
0 2
26
第七章 应力状态分析
7.6 各向同性材料的应力、应变关系
27
广义胡克定律
1
1 E
[
1
2
3 ]
2
1 E
[
2
3
1 ]
3
1 E
[
3
1
2 ]
主应力平面对应的应变称为主应变。
28
广义胡克定律
同理可得：
x
1 E
[
x
y
z
]
y
1 E
[
y
z
x
]
z
1 E
[
z
x
y
]
29
例7-4：如图所示应力状态，应力x＝80MPa， x＝ 35MPa， y ＝20MPa， z ＝－40MPa，弹性模量E＝ 200GPa，泊松比＝0.24。试求主应力和主应变的大小，以 及沿着x轴、y轴、Z轴方向的应变。
第七章 应力状态分析
7.1 引言
1
轴向拉伸和压缩 扭转 平面弯曲
2
应力状态的概念
以上研究的都是单向受力或纯剪切时的应力，但是 实际构件中，应力一般会更复杂。
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin 2
平面应力状 态下斜截面
x
2
y
sin
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xcos2
应力的一般 公式
各变量的方向：正应力以拉应力为正；切应力以企图 使微体沿顺时针方向转动为正；方位角则规定以x轴 为始边、指向逆时针方向者为正。
9
第七章 应力状态分析
7.3 应力圆
10
x y
2
2
0 2
26
第七章 应力状态分析
7.6 各向同性材料的应力、应变关系
27
广义胡克定律
1
1 E
[
1
2
3 ]
2
1 E
[
2
3
1 ]
3
1 E
[
3
1
2 ]
主应力平面对应的应变称为主应变。
28
广义胡克定律
同理可得：
x
1 E
[
x
y
z
]
y
1 E
[
y
z
x
]
z
1 E
[
z
x
y
]
29
例7-4：如图所示应力状态，应力x＝80MPa， x＝ 35MPa， y ＝20MPa， z ＝－40MPa，弹性模量E＝ 200GPa，泊松比＝0.24。试求主应力和主应变的大小，以 及沿着x轴、y轴、Z轴方向的应变。
第七章 应力状态分析
7.1 引言
1
轴向拉伸和压缩 扭转 平面弯曲
2
应力状态的概念
以上研究的都是单向受力或纯剪切时的应力，但是 实际构件中，应力一般会更复杂。
材料力学第七章应力状态分析
(*)τα = Nhomakorabea2
sin 2α + τ xy cos 2α
(**)
(*) 2 + (**) 2
(σ α −
σ x +σ y
2
) + (τ α ) = (
2 2
σ x −σ y
2
2 ) 2 + τ xy
(7 - 6)
In a given problem, σx, σy, τxy are the three constants, σα,, τα are the variables. This equation is an expression for a circle of radius
σ x −α y
2
cos 2α − τ xy sin 2α
(7-1)
τα =
sin 2α + τ xy cos 2α
3. Principle Stresses in Two-dimensional Problems To find the plane for a maximum or a minimum normal stress, let σ x −α y dσ α = −2[ sin 2α + τ xy cos 2α ] = 0 = −2τ α 2 dα 2τ xy tg 2α1 = − σ x −σ y
σ'=
σ x +σ y
(7 - 5)
∴τ max = ±
min
σ1 − σ 2
2
Example 7-1 For the state of stress shown in the figure, (a) find the stresses acting on the inclined plane with θ=-22.5°; (b) find the principle stresses and shown their sense on a properly oriented element; and (c) find the maximum shear stresses with the associated normal stresses and show the results on a properly oriented element. Solution: For original state of stress σx=3 Mpa σy=1 MPa τxy= -2 Mpa (a) From Eq.(7-1)
sin 2α + τ xy cos 2α
(**)
(*) 2 + (**) 2
(σ α −
σ x +σ y
2
) + (τ α ) = (
2 2
σ x −σ y
2
2 ) 2 + τ xy
(7 - 6)
In a given problem, σx, σy, τxy are the three constants, σα,, τα are the variables. This equation is an expression for a circle of radius
σ x −α y
2
cos 2α − τ xy sin 2α
(7-1)
τα =
sin 2α + τ xy cos 2α
3. Principle Stresses in Two-dimensional Problems To find the plane for a maximum or a minimum normal stress, let σ x −α y dσ α = −2[ sin 2α + τ xy cos 2α ] = 0 = −2τ α 2 dα 2τ xy tg 2α1 = − σ x −σ y
σ'=
σ x +σ y
(7 - 5)
∴τ max = ±
min
σ1 − σ 2
2
Example 7-1 For the state of stress shown in the figure, (a) find the stresses acting on the inclined plane with θ=-22.5°; (b) find the principle stresses and shown their sense on a properly oriented element; and (c) find the maximum shear stresses with the associated normal stresses and show the results on a properly oriented element. Solution: For original state of stress σx=3 Mpa σy=1 MPa τxy= -2 Mpa (a) From Eq.(7-1)
材料力学——应力分析
,则α1
405(τx0) 405(τx0)
7-2 二向应力状态分析--解析法
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MP，a txy 30MPa, y 40MP,a 30。
试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
y t xy
x
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
t
ty(xdsAin)co sy(dsAin)sin0
y
Ft 0
td Atx(ydc Ao )sco sx(dc Ao )ssin ty(xdsAin)siny(dsAin)co s0
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
{ 利用三角函数公式
co2 s 1(1co2s)
2
sin 21(1co2s)
d d (x y)si2 n2 txc y o 2 s
设α＝α0 时，上式值为零，即
t (xy )s2 i0 n 2xc y 2 o 0 s 0
2 (x σ 2 σ y) si0n τ x 2 c yα o0s 2 2α α 0 τ 0
即α＝α0 时，切应力为零 目录
2
2 s ic n o s si2 n
并注意到 t yx t xy 化简得
t 1
1
2 (xy) 2 (xy)c2 o s xs y 2 in
t1 2(xy)si2 ntxy co 2s
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
3. 正应力极值和方向
确定正应力极值
t 1 2 (xy ) 1 2 (xy )c2 o s xs y 2 in
（2）主平面的位置
tg2α0
2τ xy σx σy
工程力学(材料力学部分第七章)
4 主应力及应力状态的分类
主应力和主平面
切应力全为零时的正应力称为主应力；
主应力所在的平面称为主平面；
主平面的外法线方向称为主方向。
主应力用1 , 2 , 3 表示 (1 2 3 ) 。
应力状态分类
单向应力状态
11
应力状态分类
单向应力状态 二向应力状态(平面应力状态)
三向应力状态(空间应力状态)
D点
由 y 40, yx 60
D'点
画出应力圆
52
圆心坐标
OC x y 80 (40)
2
2
20
半径
R
x
2
y
2
2 xy
80 (40) 2
(60)2
84.85 85
2
53
圆心坐标 OC 20
半径
R 85
1 OA1 OC R
E
105 MPa
3 OC R
65 MPa
D (x ,xy)
x y
2
R 1 2
x y
2
4
2 xy
38
3 应力圆上的点与单元体面上的应力的对应关系 (1) 点面对应
应力圆上某一点 的坐标值对应着 单元体某一方向面上的正应力和切应力。
39
(1) 点面对应
应力圆上某一点的坐 标 值对应着单元体某 一方向面上的正应力 和切应力。
D点对应的面与E点 对应的面的关系
主应力。
从半径CD转到CA1 的角度即为从x轴转
到主平面的角度的
两倍。
44
主应力 即为A1, B1处的正应力。
max min
x
y
2
x
2
材料力学课件第七章 应力状态分析1-2
G2 "
3.应力圆的应用
①应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力；
②应力圆上半径转过2a，单元体上坐标轴转过a,且转向相同;
③圆心为平均正应力，为不变量。 ④ 半径对应极值切应力。
y yx
xy x
n
a
a x a xy
yx y
(a,a)E
B1 B O "
D' (y, yx)
G1'
D(x, xy) 2a
x
2
y
2
2 xy
②取x面，定出D( x ,xy )点；取y面，定出D'( y ,yx )点；
③连DD'交轴于C点，以C为圆心，DD1为直径作圆；
y y yx
xy x
n
a
a x x a xy
yx y
(a,a)E
B1 B O "
G1'
D(x, xy) 2a
2a0 A A1
C
'
D' (y, yx)
1. ①主平面：单元体上切应力为零的面；
②主应力：主平面上的正应力，用1、2、3 表示， 有1≥2≥3。
y
z
yx
yz
xy
zy
x x
z zx xz z
x' 1
旋转
z' 3
2 y'
2.应力状态按主应力分类：
①只有一个主应力不为零称单向应力状态；
②只有一个主应力为零称两向应力状态(平面应力状态)； ③三个主应力均不为零称三向应力状态(空间应力状态)；
③主应力大小：
max min
x
y
2
x
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受扭圆轴 受弯梁中性层
梁截面上非中性层、 非上下边缘点
4. 主单元体
主平面：剪应力为零的平面 主单元：由主平面构成的单元体 过一点一定存在三对相互正交的主平面 形成主单元体
2015-3-31 6
《 材 料 力 学 》—— 李章政
5. 主应力和主方向
（1）主应力 主平面上的正应力称为主应力。过一点存在 三对相互正交的主平面，由此构成主单元。 受力物体上任意一点均有三个主应力。
2
3
1
2015-3-31
（2）主方向 主应力的方向称为主方向 它也是主平面的法线方向
按代数量的大小排序： 1——第一主应力 2——第二主应力 3——第三主应力
7
《 材 料 力 学 》—— 李章政
二、应力状态分类
1. 分类依据
根据不为零的主应力个数分类。
2 1 3
2. 分类结果
• 单向应力状态（单轴应力状态） 仅一个主应力不为零者，可能的情况有： 1、0、0 — 单向拉伸； 0、0、3 — 单向压缩。
y
根据原始单元上的已 知应力分量，就可以 计算任意斜截面上的 应力分量。
yx x
y O z x
xy z
2015-3-31
单元体及各面上的应力就 代表了该点处的应力状态
5
《 材 料 力 学 》—— 李章政
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3. 基本变形应力单元
(a) (b)
(c)
拉伸压缩杆 受弯梁上下边缘点
2
设i 是与i对应的主方向 i 0 或 i 0 90 则 x>y 时，|i|<45； < 时，| |>45；
x=y 且xy>0时，i=-45 ;xy<0时，i=45。
还有一个主应力为零，共三个主应力，依据代数 量的大小进行排序可得第一、第二、第三主应力。 不难得到
xy
y
设特征值为，则有 展开行列式
x xy 0 参见《线 xy y 性代数》
2 2 ( x y ) ( x y xy ) 0 方程的两个根
2015-3-31
可以证明，应力矩阵的特征矢量就是主方向
20
《 材 料 力 学 》—— 李章政 x y sin 2 xy cos2 2. 极值剪应力 2
tan2 0
2 xy
x y
解得：
2015-3-31
0 0 90 或 0 90
正交二主平面，对 应于二个主应力。
18
《 材 料 力 学 》—— 李章政 • 主应力大小为
i x y x y 2 xy j 2 2
cos2 xy sin 2
80
x y
2 20 sin 2 100 cos 2
sin 2 xy cos2
60 3.4
-45 200
-32.7
-20
16
2015-3-31
二、极值应力
《 材 料 力 学 》—— 李章政 x y x y cos 2 xy sin 2
x y
2
x y
2
cos 2 xy sin 2
x y
2
sin 2 xy cos 2
• 容易得到
90 x y
2
x y
2
cos 2 xy sin 2
90 x y
1. 应力状态
• 通过受力物体上一点的任意截面上 • 的应力情况 = 一点的应力状态
纵截面
2. 单元体
• 围绕一点取出正六面体：三对面 • 每对面上3个应力分量：共9 个
2015-3-31
正面
横截面
应力单元
4
《 材 料 力 学 》—— 李章政 • 考虑到剪应力互等定理，9个应力分量中6 个独立 • 应力分量已知的单元体称为原始单元 对材料力学所研究的杆件，原始单元必然 包含一对横截面，因为横截面上的应力已 经有公式可计算
x
y
i
i j x y 应力的第一不变量
2015-3-31 19
《 材 料 力 学 》—— 李章政
i x y x y 2 xy 2 j 2
2
其实，平面应力问题的主应力和主方向，就是如 下22应力矩阵 x xy 的特征值和特征矢量
2
sin 2
=0的横截面 =45斜截面
max , 45 ,
2
0 0
max
2
剪应力在该斜截面上最大。
2015-3-31
铸铁的受压破坏与此有关。
14
《 材 料 力 学 》—— 李章政 x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2
2
最大剪应力
2015-3-31
max 13
1 3
2
22
《 材 料 力 学 》—— 李章政
例题7.2
• 求纯剪应力状态的主应力。
解：
x y 0,
xy
2
i x y x y 2 xy 2 j 2
2015-3-31 15
《 材 料 力 学 》—— 李章政
例题7.1
图示单元体，试计算=60及=-45斜面上 的应力分量。
解：已知
x y
x 120, y 80, xy 100
120 MPa
100
x y
2 2 100 20 cos 2 100 sin 2
1
2015-3-31
1
3
3
8
《 材 料 力 学 》—— 李章政 • 二向应力状态（双轴应力状态，平面应力 状态） 有二个主应力不为零者，可能的情况有 1、 2 、0；双向受拉
2 1 3
1、0、 3 ；一拉一压
0、 2 、 3；双向受压
• 三向应力状态（三轴应力状态） 三个主应力均不为零者
2015-3-31
应力的第一不变量
13
《 材 料 力 学 》—— 李章政
x y
2 x y 2
x y
2
cos 2 xy sin 2
sin 2 xy cos 2
• 特殊情况一：单向拉伸或压缩
2
2
cos 2 ,
2
《 材 料 力 学 》—— 李章政
释迦牟尼佛
文殊菩萨 普贤菩萨
阿弥陀佛
大势至菩萨 观世音菩萨
药师佛
日光菩萨 山西五台山 四川峨眉山 安徽九华山 浙江普陀山 月光菩萨
中国四大菩萨道场
2015-3-31
3
《 材 料 力 学 》—— 李章政
第7章 应力状态分析
7.1 应力状态的概念
一、应力状态和单元体
主应力
i x y x y 2 xy j 2 2
2
1 1 2 4 2 2 2
2 2 2
2
2 0 1 3 2 4 2
2015-3-31 21
《 材 料 力 学 》—— 李章政 • 极值剪应力
极大 极小
x y 2 xy 2
2
极大和极小绝对值相等，仅相差一个正负符号 2 极大值和主应力的 x y i x y 2 关系 xy 2 j i j 2 ij 2 2 2 3 1 三种情况 12 23 2 2 1 3 13
F F
2015-3-31
x
0 : ( dA) cos ( dA) sin ( xdA cos )
( xydAsin ) 0
y
0 : ( dA) sin ( dA) cos ( y dAsin ) ( xydA cos ) 0
单向应力状态称为简单应力状态，二向、 三向应力状态称为复杂应力状态。
2015-3-31 9
《 材 料 力 学 》—— 李章政
7.2 平面应力状态分析
一、斜截面上的应力分量
已知条件
• 一个主应力为零：设为前后面 • 正应力和剪应力 x ——拉为正 y ——拉为正 xy ——绕单元体顺时针转者为正 图示应力均为正值 凡与图示指向不一致 者为负
材料力学
《 材 料 力 学 》—— 李章政
惠 能
菩 提 本 无 树 ， 明 镜 亦 非 台 。
本 来 无 一 物 ， 何 处 惹 尘 埃 。 菩萨:正等正觉
时 时 勤 拂 拭 ， 勿 使 惹 尘 埃 。
身 是 菩 提 树 ， 心 如 明 镜 台 。
神 秀
佛:无上正等正觉
2015-3-31
罗汉:正觉
2 0 2
0
2015-3-31
说明：剪应力等于零的斜 截面上正应力取极值 极值正应力就是主应力
17
《 材 料 力 学 》—— 李章政 • 主平面方位 剪应力（切应力）为零的平面为主平面， 该面与铅垂面的夹角0，称为主方向。
0
x y
2
sin 2 0 xy cos 2 0 0
( x y ) sin cos xy (cos2 sin 2 )