【数学】2017年四川省内江市数学中考真题(解析版)

2017年四川省内江市中考真题
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下面四个数中比﹣5小的数是（）
A．1B．0C．﹣4D．﹣6
2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（1μm=0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们还有一定量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大影响．2.3μm 用科学记数法可表示为（）
A．23×10﹣5m B．2.3×10﹣5m C．2.3×10﹣6m D．0.23×10﹣7m
3．为了解某市老人的身体健康状况，需要抽取部分老人进行调查，下列抽取老人的方法最合适的是（）
A．随机抽取100位女性老人
B．随机抽取100位男性老人
C．随机抽取公园内100位老人
D．在城市和乡镇各选10个点，每个点任选5位老人
4．如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α的余角等于（）
A．19°B．38°C．42°D．52°
5．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．下列图形：平行四边形、矩形、菱形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图形的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 7．某中学对该校九年级45名女学生进行了一次立定跳远测试，成绩如表：
这些立定跳远成绩的中位数和众数分别是（ ）
A ．9，9
B ．15，9
C ．190，200
D ．185，200 8．下列计算正确的是（ ）
A ．2
3
2
358x y xy x y += B ．2
2
2
()x y x y +=+ C ．2(2)4x x x -÷= D ．
1y x x y y x
+=-- 9．端午节前夕，某超市用1680元购进A 、B 两种商品共60件，其中A 型商品每件24元，B 型商品每件36元．设购买A 型商品件、B 型商品y 件，依题意列方程组正确的是（ ）
A ．6036241680x y x y +=⎧⎨+=⎩
B ．6024361680x y x y +=⎧⎨+=⎩
C ．1680362460x y x y +=⎧⎨
+=⎩ D ．1680
243660
x y x y +=⎧⎨+=⎩
10．不等式组372291x x +≥⎧⎨-<⎩
的非负整数解的个数是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
11．如图，在矩形AOBC 中，O 为坐标原点，OA 、OB 分别在轴、y 轴上，点B 的坐标为（0，
，∠ABO =30°，将△ABC 沿AB 所在直线对折后，点C 落在点D 处，则点D 的坐标为
（ ）
A ．（
32
，2） B ．（2，2）
C ．（
2，32） D ．（32
，3﹣2）
12．如图，过点A （2，0）作直线l ：y x =
的垂线，垂足为点A 1，过点A 1作A 1A 2⊥轴，垂足为点A 2，过点A 2作A 2A 3⊥l ，垂足为点A 3，…，这样依次下去，得到一组线段：AA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，则线段A 2016A 2107的长为（ ）
A ．2015
B ．2016
C ．2017
D ．2018 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．分解因式：231827x x -+=．
14．在函数1
3
y x =
-中，自变量的取值范围是．
15．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，⊙O CD 的长为3cm ，则图中阴影部分面积是．
16．如图，正方形ABCD 中，BC =2，点M 是边AB 的中点，连接DM ，DM 与AC 交于点P ，
点E 在DC 上，点F 在DP 上，且∠DFE =45°．若PF CE =．
三、解答题（共5小题，满分44分）
17．计算：20170201
1160()(2017)2
π---++-．
18．如图，AD 平分∠BAC ，AD ⊥BD ，垂足为点D ，DE ∥AC ． 求证：△BDE 是等腰三角形．
19．小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t （单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A ：0＜t ≤10，B ：10＜t ≤20，C ：20＜t ≤30，D ：t ＞30），根据图中信息，解答下列问题：
（1）这项被调查的总人数是多少人？
（2）试求表示A 组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；
（3）如果小明想从D 组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．
20．如图，某人为了测量小山顶上的塔ED 的高，他在山下的点A 处测得塔尖点D 的仰角为45°，再沿AC 方向前进60m 到达山脚点B ，测得塔尖点D 的仰角为60°，塔底点E 的仰角为30°，求塔ED 的高度．（结果保留根号）
21．已知A （﹣4，2）、B （n ，﹣4）两点是一次函数y =+b 和反比例函数m
y x
=图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB 的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式0m
kx b x
+-
>的解集．
四、填空题（共4小题，每小题6分，满分24分）
22．若实数满足2210x x --=，则322742017x x x -+-=．
23．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CM 是∠BCD 的平分线，且CM ⊥AB ，M 为垂足，AM =
13AB ．若四边形ABCD 的面积为15
7
，则四边形AMCD 的面积是．
24．设α、β是方程(1)(4)5x x +-=-的两实数根，则33
βααβ
+=． 25．如图，已知直线l 1∥l 2，l 1、l 2之间的距离为8，点P 到直线l 1的距离为6，点Q 到直线
l 2的距离为4，PQ =l 1上有一动点A ，直线l 2上有一动点B ，满足AB ⊥l 2，且P A +AB +BQ 最小，此时P A +BQ =．
五、解答题（共3小题，满分36分）
26．观察下列等式： 第一个等式：122
211
132222121
a ==-+⨯+⨯++； 第二个等式：222223211
1322(2)2121a =
=-+⨯+⨯++；
第三个等式：333234
211
1322(2)2121a =
=-+⨯+⨯++； 第四个等式：444245211
1322(2)2121
a =
=-+⨯+⨯++；
按上述规律，回答下列问题： （1）请写出第六个等式：a 6==；
（2）用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ==； （3）a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=（得出最简结果）； （4）计算：a 1+a 2+…+a n ．
27．如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于不过圆心O 的弦AB ，垂足为点N ，连接AC ，点E 在AB 上，且AE =CE ． （1）求证：AC 2=AE •AB ；
（2）过点B 作⊙O 的切线交EC 的延长线于点P ，试判断PB 与PE 是否相等，并说明理由； （3）设⊙O 半径为4，点N 为OC 中点，点Q 在⊙O 上，求线段PQ 的最小值．
28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2
y ax bx c =++（a ≠0）与y 轴交与点C （0，3），与轴交于A 、B 两点，点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为=1． （1）求抛物线的解析式；
（2）点M 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点N 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点
时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．
【答案】D．
【解析】
考点：有理数大小比较．
2．
【答案】C．
【解析】
试题分析：2.3μm=2.3×0.000001m=2.3×10﹣6m，故选C．
考点：科学记数法—表示较小的数．
3．
【答案】D．
【解析】
试题分析：为了解某市老人的身体健康状况，需要抽取部分老人进行调查，在城市和乡镇各选10个点，每个点任选5位老人，这种抽取老人的方法最合适．故选D．
考点：抽样调查的可靠性．
4．
【答案】D．
【解析】
考点：平行线的性质；余角和补角．
5．
【答案】A．
【解析】
试题分析：如图所示：
故选A．
考点：由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．
6．
【答案】A．
【解析】
考点：轴对称图形．
7．
【答案】C．
【解析】
试题分析：45名女学生的立定跳远测试成绩的中位数是最中间第23个数据190，众数是出现次数最多的数据200；故选C．
考点：众数；中位数．
8．
【答案】C．
【解析】
故选C．
考点：分式的加减法；整式的混合运算． 9．
【答案】B ． 【解析】
试题分析：设购买A 型商品件、B 型商品y 件，依题意列方程组：
60
24361680
x y x y +=⎧⎨
+=⎩．故选B ． 考点：由实际问题抽象出二元一次方程组． 10． 【答案】B ． 【解析】 试题分析：372291x x +≥⎧⎨
-<⎩①②
∵解不等式①得：≥53-
，解不等式②得：＜5，∴不等式组的解集为5
3
-≤＜5，∴不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，共5个，故选B ． 考点：一元一次不等式组的整数解． 11． 【答案】A ． 【解析】
考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质；矩形的性质；综合题． 12． 【答案】B ． 【解析】
×20163(
)2，A 2016A 2107的长1
2
×2×20163()2=20163()2，故选B ． 考点：一次函数图象上点的坐标特征；规律型；综合题． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．【答案】2
3(3)x -． 【解析】
试题分析：231827x x -+=2
3(69)x x -+=2
3(3)x -．故答案为：2
3(3)x -． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 14．【答案】≥2且≠3． 【解析】
试题分析：根据题意得：﹣2≥0且﹣3≠0，解得：≥2且≠3．故答案为：≥2且≠3． 考点：函数自变量的取值范围． 15．
【答案】π． 【解析】
考点：扇形面积的计算；垂径定理；圆周角定理．16．
【答案】7
6
．
【解析】
试题分析：如图，连接EF．
∴DE=5
6
，∴CE=CD﹣DE=2﹣
5
6
=
7
6
．故答案为：
7
6
．
考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质；综合题．
三、解答题（共5小题，满分44分）
17．【答案】8．
【解析】
试题分析：直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简求出答案．
试题解析：原式=11241
---+⨯+=﹣1﹣0+8+1=8．
考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
18．
【答案】证明见解析．
【解析】
考点：等腰三角形的判定；平行线的性质．19．
【答案】（1）50；（2）108°；（3）1
2
．
【解析】
试题分析：（1）根据B组的人数和所占的百分比，即可求出这次被调查的总人数，从而补全统计图；
（2）用360乘以A组所占的百分比，求出A组的扇形圆心角的度数，再用总人数减去A、B、D组的人数，求出C组的人数；
（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．
考点：列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
20．
【答案】60+
【解析】
试题分析：先求出∠DBE=30°，∠BDE=30°，得出BE=DE，然后设EC=，则BE=2，DE=2，
DC=3，BC，然后根据∠DAC=45°，可得AC=CD，列出方程求出的值，然后即可求出塔DE的高度．
答：塔高约为60+．
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
21．
【答案】（1）y=﹣﹣2，
8
y
x
=-；（2）6；（3）＜﹣4或0＜＜2．
【解析】
试题分析：（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）先求出直线y=﹣﹣2与轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；（3）观察函数图象得到当＜﹣4或0＜＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．
试题解析：（1）把A （﹣4，2）代入m
y x
=，得m =2×（﹣4）=﹣8，所以反比例函数解析式为8y x =-，把B （n ，﹣4）代入8
y x
=-，得﹣4n =﹣8，解得n =2，把A （﹣4，2）和B
（2，﹣4）代入y =+b ，得：42
24k b k b -+=⎧⎨
+=-⎩
，
（3）由图可得，不等式0m
kx b x
+-
>的解集为：＜﹣4或0＜＜2．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式． 四、填空题（共4小题，每小题6分，满分24分） 22．【答案】﹣2020． 【解析】
试题分析：∵2210x x --=，∴221x x =+，322742017x x x -+-=
2(21)7(21)42017x x x x +-++-=24214742017x x x x +--+- =2482024x x --=4(21)82024x x +--=4﹣2024=﹣2020，故答案为：﹣2020．
考点：因式分解的应用；降次法；整体思想． 23． 【答案】1． 【解析】
考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质． 24．【答案】47． 【解析】
试题分析：方程(1)(4)5x x +-=-可化为2310x x -+=，∵α、β是方程(1)(4)5
x x +-=-的两实数根，∴α+β=3，αβ=1，∴222=(+)2αβαβαβ+-=7，4422222
=()2αβαβαβ++-=47，∴33βααβ+ =44
αβαβ
+=47，故答案为：47． 考点：根与系数的关系；条件求值． 25． 【答案】16． 【解析】
P A +BQ =CB +BQ =QC =22
DQ CD + =156100+=16．故答案为：16．
考点：轴对称﹣最短路线问题；平行线的性质；动点型；最值问题；综合题． 五、解答题（共3小题，满分36分） 26．
【答案】（1）666221322(2)+⨯+⨯，6711
2121
-
++； （2）221322(2)n n n +⨯+⨯，1112121n n +-++；（3）14
43
；（4）11
223(21)n n ++-+． 【解析】
（4）原式=
2231111111...212121212121n n +-+-++-++++++=111
2121
n +-++= 11223(21)
n n ++-+．
考点：规律型：数字的变化类；综合题． 27．
【答案】（1）证明见解析；（2）PB =PE ；（3）12
3
． 【解析】
∠PBN ，∴PB =PE ；
（3）如图3，∵N 为OC 的中点，∴ON =
12OC =1
2
OB ，Rt △OBN 中，∠OBN =30°，∴∠COB =60°，∵OC =OB ，∴△OCB 为等边三角形，∵Q 为⊙O 任意一点，连接PQ 、OQ ，因为OQ 为半径，是定值4，则PQ +OQ 的值最小时，PQ 最小，当P 、Q 、O 三点共线时，PQ 最小，∴Q 为OP 与⊙O 的交点时，PQ 最小，∠A =
1
2
∠COB =30°，∴∠PEB =2∠A =60°，∠ABP =90°
﹣30°=60°，∴△PBE 是等边三角形，Rt △OBN 中，BN ∴AB =2BN =
设AE =，则CE =，EN =Rt △CNE 中，222
2)x x =+，=
3
，∴BE =PB =
Rt △OPB 中，OP ，∴PQ =
3﹣4=123．则线段PQ 的最小值是123
．
考点：圆的综合题；最值问题；探究型；压轴题．
28．
【答案】（1）233384y x x =-
++；（2）S =299105
t t -+，运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910；（3）t =2417或t =3019． 【解析】
试题分析：（1）把点A 、B 、C 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 、c 的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △MBN 与t 的函数关系式．利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）根据余弦函数，可得关于t 的方程，解方程，可得答案．
试题解析：（1）∵点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为=1，∴A （﹣2，0），把点A （﹣2，0）、B （4，0）、点C （0，3），分别代入2y ax bx c =++（a ≠0），得：423016430
a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：38343a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以该抛物线的解析式为：233384y x x =-++；
（3）如图2，在Rt△OBC中，cos∠B=
4
5 OB
BC
=．
设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，∴MB=6﹣3t．
①当∠MNB=90°时，cos∠B=
4
5
BN
MB
=，即
4
635
t
t
=
-
，化简，得17t=24，解得t=
24
17
；
②当∠BMN=90°时，cos∠B=634
5
t
t
-
=，化简，得19t=30，解得t=
30
19
．
综上所述：t=24
17
或t=
30
19
时，△MBN为直角三角形．
考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；动点型；存在型；分类讨论；压轴题．。