逻辑斯蒂回归模型与预测

●逻辑斯谛回归模型的解析
在实践中，如果概率---随某变量---连续增长或连续下降， 其直观地曲线形态是S型，其数学表现：
ln p x
1 p
e x
或
p 1 e x
称之为Logit函数。也叫逻辑斯谛变换。
●逻辑斯谛回归模型的解析
Logistic逻辑斯谛回归模型也可写成：
了解市场---让市场说话----市场的反馈信息---营销策略。 在市场调查中，厂家和商家---发放问卷调查----设定一些
属性变量。
当我们对该经济活动做出“是”与”否“的判断或决策时， 逻辑斯谛(Logistic)回归模型 发挥着重要的作用。
Logit回归模型有别于一般的逻辑斯蒂方程。 Logit回归模型：以概率的形式——把属性变量联系起 来——（概率的取值在0与1之间）。
经济生活与数学
第二讲
第二单元 S型曲线与营销策略
经济生活与数学
第二讲
第二单元 S型曲线与营销策略 第三讲 逻辑斯谛回归模型与预测
湖南大学 杨湘豫 教授
第二单元第三讲 §2.3逻辑斯谛回归模型与预测
要点
●基于定性因素的逻辑斯谛回归模型 ●逻辑斯谛回归模型的解析 ●逻辑斯谛回归曲线与经济预测
●基于定性因素的逻辑斯谛回归模型
Logit回归表明：当x 变化一个单位，机会比率（也称优
势）（ pˆ 1
pˆ
）将增加 eˆ
倍。
或当x 变化一个单位，对数机会比率（
ln
1
pˆ
pˆ
）将增加ˆ
倍。
——由此可见，Logit回归模型——可用于经济预测与决策。
●逻辑斯谛回归曲线与经济预测
例子：住户的收入水平与购买商品房情况调查。
设购买商品房的决定因素主要依赖于其收入水平。
dpi dX i
ˆ

pi (1

pi )
。
●逻辑斯谛回归曲线与经济预测
当变量 x 确定一个值时，此时定性因素的变量 Y——对应
的事件发生的概率（设 P(Yi 1) pi），对Logit回归模型，进
行进参而数pˆ估 1计e，ˆeˆ得ˆxˆx到估，计即值得事ˆ 和件发ˆ 生后的，概那率么的ln估1p计ˆ pˆ值。ˆ ˆ x
Xi ——住户收入
Y
——住户购买商品房的情况，即 Y=
1，已购买商品住房 0，未购买商品住房
购买商品住房的可能性大小（概率）—— P(Yi 1) pi
实证表明：收入水平每变化一个单位（Xi 1 ），
拥有商品住房的概率关于收入水平的变化率与（拥有
商品住房的概率和未拥有商品住房的概率之积）成正 比， dp p (1 p) ------Logit回归模型。
dX i
●逻辑斯谛回归曲线与经济预测
假如在年收入4万元收入水平时，据上述加权最小二乘估计法步
骤得到： 0.0787
pˆi 0.514286
dpi 0.2 dX i
由此可知：收入每变化一个单位时（即年收入从4万变为5 万），则对数机会比率增加0.0787倍，拥有商品住房的概率 约为0.514286。
dp p (1 p)
dx
Logit回归模型与前面的逻辑斯蒂 方程比较，不同的是： Logit回归模型：以概率的形式——把 属性变量联系起来，且饱和水平线是概
率为1的一条水平线 p 1。
●逻辑斯蒂回归模型的解析
Logit回归模型中的参数估计的方法很多，比如： 1）可用极大似然估计； 2）可用加权最小二乘法估计； 3）可利用统计软件估计。
●逻辑斯蒂回归模型的解析
加权最小二乘估计法
记不同收入（ Xi）分组中的户数（Ni )与已购买住户的户
数（ M i ）。
具体步骤如下：

1）对不同收入住户，拥有商品住房的概率估计值 pi
数定律：在大样本的情况下，用频率近似概率

pi
）；
M（i 大 Ni

2）对不同收入住户，机会比率
pi

；
1 pi
ln p x
1 p
即
p

e x 1 e
x
p —— 机会比率（也称优势）， 1 p
是指事件发生与否的概率之比。
Logit回归表明：x 每增加一个单位，机会比率变为原来的 e 倍。
●逻辑斯蒂回归模型的解析
将Logit回归模型：ln
p 1 p




x
两边对 x 求导数，得：

3）对数机会比率

Li

ln(
pi

)
，取权数wi

1 pi
1


Ni pi (1 pi )
，
●逻辑斯蒂回归模型的解析
加权最小二乘估计法
4）Logit回归模型即转化成为一元线性回归模型后：
L*i

wi*


X
* i

ui*
再用最小二乘法估计出ˆ 、ˆ ；
5）得到 pˆi ，
6）进而得
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●逻辑斯谛回归曲线与经济预测
可见，Logit回归模型对收入水平不同的住户的购买商 品房的可能性大小进行预测-------不同收入阶层的消费 者的消费心理和行为都是不同的，则购买商品房的可 能性大小也不同。
Logit回归模型在预测与决策上也有着独特的表现和广 泛的应用。