高考数学热点难点突破技巧第07讲导数中的双变量存在性和任意性问题(含答案)
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第07讲：导数中的双变量存在性和任意性问题的处理
【知识要点】
在平时的数学学习和高考中，我们经常会遇到不等式的双变量的存在性和任意性问题，学生由于对于这类问题理解不清，
很容易和不等式的恒成立问题混淆，
面对这类问题总是感到
很棘手，或在解题中出现知识性错误.
1、双存在性问题“存在
),(1
b a x ，存在),(2
d c x ，使得)()(21x g x f 成立”称为不等式的双存在性问题，存在
),(1
b a x ，存在),(2
d c x ，使得)()
(21x g x f 成立，即)(x f 在区间),(b a 内
至少有一个值)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的一个函数值小
.，即
max min )()(x g x f .
（见下图1）“存在
),(1
b a x ，存在),(2
d c x ，使得)()(21x g x f 成立”，即在区间),(b a 内至少有
一个值)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的一个函数值大，即min max
)()(x g x f .（见下图
2）
2、双任意性问题“任意
),(1
b a x ，对任意的),(2
d c x ，使得)()(21x g x f 成立”称为不等式的双任意
性问题. 任意
),(1
b a x ，对任意的),(2
d c x ，使得)()
(21x g x f 成立，即)(x f 在区间
),(b a 任意一个值)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的任意一个函数值都要小，即
max
min ()()f x g x . “任意
),(1
b a x ，对任意的),(2
d c x ，使得)()
(21x g x f 成立”，即)(x f 在区间
),(b a 内任意一
个值)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的任意一个函数值都要大,即
min max ()()f x g x .
3、存在任意性问题“存在
),(1
b a x ，对任意的),(2
d c x ，使得)()(21x g x f 成立”称为不等式的存在任
意性问题. 存在
),(1
b a x ，对任意的),(2
d c x ，使得)()
(21x g x f 成立，即)(x f 在区
间),(b a 内至少有一个值)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的任意一个函数值都要小，即
min min
)()(x g x f . （见下图3）“存在
),(1
b a x ，对任意的),(2
d c x ，使得)()
(21x g x f 成立”，即)(x f 在区间)
,(b a 内至少有一个值)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的任意一个函数值都要大，即
max max )()(x g x f .（见下图4）
【方法讲评】题型一双存在性问题
使用情景
不等式中的两个自变量属性都是存在性的.
解题理论
存在
),(1
b a x ，存在),(2
d c x ，使得)()(21x g x f 成立”称为不等式的
双存在性问题，存在
),(1
b a x ，存在),(2
d c x ，使得)()
(21x g x f 成立，
即)(x f 在区间),(b a 内至少有一个值)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的一
个函数值小，即max min )()(x g x f .
“存在
),(1
b a x ，存在),(2
d c x ，使得)()
(21x g x f 成立”，即在区间
),(b a 内至少有一个值)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的一个函数值大，即
min max
)()(x g x f .
【例1】已知函数34ln 0a f x
x
ax
a
x .
（Ⅰ）讨论f x 的单调性；
（Ⅱ）当1a
时，设242x
g x
e
x
a ，若存在1x ，2
122
x ，，使12f x g x ，求
实数a 的取值范围.（e 为自然对数的底数，
271828
e
）
当0
1a
时，0，1
2
40x x a ，12
3
a x x a
1
2
14
0a a x a
,2
2
14
a a x a
当10x x ，时，0h x ，f x 单调递减，当12x x x ，时，0h x ，f x 单调递增，当2x
x ，
时，0h x
，f x 单调递减，
所以当0a 时，f x 的减区间为
304
，
，增区间
34，
.
当1a
时，f x 的减区间为0，
. 当01a 时，f x 的减区间为2
14
0a a a
，
，
2
14
a a a
，
增区间为
214
2
14
a a a a
a
a
，. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知
f x 在
122
，上的最大值为
134ln 262
2
f
a
，