高三数学一轮复习 5.2等差数列及其前n项和

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5.在等差数列{an}中,Sn表示其前n项和,若Sn= n
m
则Sm+n-4的符号是( )
,Sm=
m n
(m≠n),
A.正
B.负
C.非负
D.非正
【解析】选A.因为Sn=na1+ n n 1 d= n (1),
2
m
Sm=ma1+ m m 1 d= m (2),
2
n
所以由(1)(2)得d= 2
Sn=____2___
nn1
Sn=__n_a_1_____2___d__
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5.等差数列的性质
(1)等差数列的常用性质:
①通项公式的推广:an=am+_(_n_-_m_)_d_(n,m∈N*);
②若{an}是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 _a_k+_a_l_=_a_m_+_a_n ;k+l=2m⇔_a_k+_a_l_=_2_a_m_(k,l,m∈N*);
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⑤错误.根据等差数列的前n项和公式,Sn=
nn1
na1 2 d
dn2 2
(a1
d)n，显然只有公差d≠0时才是关于n的常数项为0的
2
二次函数,否则不是(甚至也不是n的一次函数,即a1=d=0时).
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2.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则公差d等于 ()
A.1
第二节 等差数列及其前n项和
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【知识梳理】
1.等差数列的概念
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于
_同__一__个__常__数__,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等
差数列的_公__差__,一般用字母d表示;定义的表达式为: _a_n_+1_-_a_n_=_d_(_n_∈__N_*)_._
mn
,a1= 1
mn
.
故Sm+n-4=(m+n)a1+ mnmn1 d-4
= m n 2 >0(m≠n).
2
mn
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6.(2013·上海高考)在等差数列{an}中,若a1+a2+a3+a4=30,则
a2+a3=
.
【解析】a1+a2+a3+a4=2(a2+a3)=30⇒a2+a3=15.
④两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为
a n S 2n 1 ; b n T2n 1
⑤数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0)是{an}成等差数列的 _充__分__条件;
⑥等差数列的增减性:d>0时为_递__增__数列,且当a1<0时前n项和 Sn有最小值.d<0时为_递__减_精_数品课列件,且当a1>0时前n项和Sn有最大值.
所 以 tana6tan2 33.
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4.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,且a4=9,a9=-6,则Sn取最大 值时n的值为( )
A.6或7
B.7或8
C.5或6
D.8或9
【解析】选A.由 aa94 9， 6ad1138， ，所以an=-3n+21,故a1>a2> a3>…>a6>a7=0>a8>…,所以S6=S7最大.
【考点自测】
1.(思考)给出下列命题:
①若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则
这个数列是等差数列;
②数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有 2an+1=an+an+2; ③等差数列{an}的单调性是由公差d决定的; ④数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数; ⑤等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.
③若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为_2_d_; ④若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}(n∈N*)是等差数列;
⑤若{an}是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为
_m_d_的等差数列.
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(2)等差数列与等差数列各项的和有关的性质:
S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1),S偶-S奇=nd, S 奇 a n ,
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S 偶 a n1
(ii)若等差数列{an}的项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan, S奇-S偶=an, S 奇 n (其中S奇,S偶分别表示数列{an}中所有奇数项
S偶 n 1
偶数项的和);
①若{an}是等差数列,则 { S n } 也成等差数列,其首项与{an}的首
n
项相同,公差是{an}的公差的 1 ;
2
②Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm, S2m-Sm,_S_3m_-_S_2_m 成等差数列;
③关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
(i)若等差数列{an}的项数为2n,则
其中正确的命题是( )
A.①②
B.②③ 精品课件C.③④
D.④⑤
【解析】选B.①错误.若这些常数都相等,则这个数列是等差数 列;若这些常数不全相等,这个数列就不是等差数列. ②正确.如果数列{an}为等差数列,根据定义an+2-an+1=an+1-an,即 2an+1=an+an+2;反之,若对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2,则an+2an+1=an+1-an=an-an-1=…=a2-a1,根据定义数列{an}为等差数列. ③正确.当d>0时为递增数列;d=0时为常数列;d<0时为递减数列. ④错误.根据等差数列的通项公式,an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),只 有当d≠0时,等差数列的通项公式才是n的一次函数,否则不是.
2.等差中项
如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a,b的等差中项,且A=
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ab
2.
3.等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为 an=_a_1+_(_n_-_1_)_d_. 4.等差数列的前n项和公式
已知条件 a1,an,n a1,d,n
前n项和公式
n a1 a来自百度文库
B. 5 C.2
D.3
3
【解析】选C.因为S3=
a1 a3 3
2
=6,而a3=4.所以a1=0,所以
d= a 3 a 1 =2.
2
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3.若{an}为等差数列，Sn是其前n项的和，且
S11
22 3
，则
tan a6=( )
A .3 B .3 C . 3 D .3
【解析】选C. S 1 1 1 1 a 1 2 a 1 1 1 1 a 6 2 3 2 ， 所 3 以 a 6 3 2 ，