什么是数学模型课件
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Logistic模型 n 模型假设：增长率ｒ是人口x(t)的线性函数
n
r(x)=r-sx ，（s、r>0 ）
n 设最大人口容量（自然资源和环境条件所能容纳的最大
人口数量）为 xm
r(xm)=0
n有
x
r ( t ) r (1
)
xm
n 模型为
x ' ( t ) r ( 1 x ) x
模型 求解 n 设：h (θ) = f(θ) - g(θ)
n 则： θ=0时
B
A’
n h (0) = f(0) >0
n
θ= π/2时？
θ
A
C
n h (π/2) = -g (π/2) <0
n 由介值定理，存在θ0 使得
D
n
h (θ0 ) = 0即f (θ0) =g (θ0)
n 又 f(θ) 与g(θ)应至少有一个为0
x'(t) rx(t)
Baidu Nhomakorabea
x(0) x0
n 解为 x(t)=x0er t n 离散化 er ≈1+r (r<<1) 则有 x(t) ≈ x0 (1 +r)t
什么是数学模型
指数增长模型
n 模型
x'(t) rx(t)
x(0) x0
n 解为 x(t)=x0er t
什么是数学模型
模型二：阻滞增长模型
第一讲 什么是数学模型
什么是数学模型
课程介绍
n 名称：数学模型、数学实验 n 性质：全校选修课 n 参考教材：
Ø 姜启源，数学模型，高等教育出版社 Ø 叶其孝主编，大学生数学建模竞赛辅导教材（一、二
、三、四），湖南教育出版社 Ø Matlab教程
什么是数学模型
数学
n 数学的实质：服务性学科
Ø 强有力的工具 Ø 与现实的紧密联系
S1(3,3) 商人
实例三：人口模型
n 问题提出：人口预测 n 例如：
Ø 1998年末：12.5亿，自然增长率：9.53% Ø 预测2000年末：
12.5×（1+0.00953)2 ≈ 12.7 Ø 当时人口钟为：1271322005
n 设 基年人口数为 x0，k 年后为 xk，年增长率为r 则 人口增长模型为 xk=x0 (1 +r)k
n 他们中的大多数人的大学本科专业都是数学、物理等理科 背景，有些干脆就是数学家转而研究经济学的。
n 数学被广泛应用于经济学研究，这也许是经济学被视为科 学并设有经济学诺贝尔奖的原因之一吧。
--—邹恒甫（武汉大学高级研究中心主任、北京大学光华 管理学院一级教授、北京大学董辅经济学讲座教授）
诺贝尔经济学奖屡颁数学家
sk=(xk ， yk)
Ø 容许状态集合 S={(x,y)|x=0,y=0,1,2,3;
x=3,y=0,1,2,3;
x=1,y=1;x=2,y=2}
Ø 决策（每次过河方案） d k =(uk ,vk )
Ø 容许决策集
D={(u,v)|u+v=1,2}
Ø 状态变化律
s k+1 =sk +(-1)k dk
n g(θ)表示B D两脚与地面 C 距离之和
θ
A
D
什么是数学模型
n 由假设得：
Ø 1 f(θ) 与g(θ)为连续函数 Ø 2 f(θ) 与g(θ)应至少有一个为0
n 当θ=0时，不妨设g(θ)=0， 于是问题变为： B
Ø 存在θ0点，使 f (θ0) =g (θ0)=0
C
A’
θ
A
D
什么是数学模型
什么是数学模型
模型一：指数增长模型
Malthus （ 1766-1834）人口模型
n 基本假设：人口的自然增长率是一个常数，或说单位时 间内人口增长量与当时人口数成正比。
n 设 t 时刻人口数为x(t) ， t=0时 人口增长率为r，则
x(t) r x (t )t
n 取△t→0， 有 x’ (t)=r x(t), 即
n 则：
即：
n f (θ0) =g (θ0)=0
椅子一定能够放平
什么是数学模型
实例二:商人过河
n 三商三从 一起过河 n 河中一船 一船容二 n 商人掌权 从多杀人 n 过河方案?
什么是数学模型
建立模型
此岸
彼岸
n 引进数学工具：向量
n 记 第 k 次渡河前此岸， 商人数 xk，随从数 yk
Ø 状态
➢刚刚公布的2003年诺贝尔经济学奖，就是表彰美国经济学 家罗伯特·恩格尔和英国经济学家克莱夫·格兰杰分别用“随 着时间变化易变性”和“共同趋势”两种新方法分析经济 时间数列给经济学研究和经济发展带来巨大影响。
什么是数学模型
数学模型
n 据统计：近几年全世界所发表的科技论文中，使用频
率最高的关键词即为——数学模型
n 运用数学方法去解决实际问题，即要用数学的语言、 方法去近似地刻划实际问题的过程就是数学建模。而 这种数学表述就是一个数学模型。
Mathematic Modeling
什么是数学模型
数学建模的流程
实际问题 分析
建立 数学模型
No
提出报告
在实际中
或结论 Yes 印证
求解 数学模型
解释 数学解
什么是数学模型
n h.g.grassmann曾说过：“数学除了锻炼敏锐的理解力 、发现真理以外，还有另一个训练全面考虑科学系统的 头脑的开发功能。”
Education
什么是数学模型
诺贝尔经济学奖的启示
n 自1969年诺贝尔经济学奖设立以来，获奖者大多数具有深 厚的数学功底。娴熟的数学技巧加上出众的思想，是他们 摘获诺奖桂冠的超凡之道
实例一：椅子放稳模型
什么是数学模型
假设：
n 1 四条腿一样长、连线呈正方形、与地面接触在 一点上
n 2 地面高度连续变化 n 3 至少三条腿同时着地
什么是数学模型
中心问题：
用数学语言将椅腿着地的条件 与结论表示出来：
距离
什么是数学模型
模型求解
n 令：
B
A’
n f(θ)表示A C两脚与地面 距离之和
n David: 被人如此称颂的高技术本质上 就是数学——数学技术
Mathematic
什么是数学模型
数学教育
n 一方面：数学以及数学的应用在世界的科学、技术、商 业和日常生活中所起的作用越来越大
n 另一方面：一般公众甚至科学界（特别是我国）对数学 科学的作用未被认识到，数学科学作为技术变化以及工 业竞争的推动力的及其重要性也未被认识到。
Ø 求决策
d1, d2, ……,dn,
Ø使
s 1 (3,3) sn+1 (0,0)
什么是数学模型
随从 Sn(0,0)
S1(3,3) 渡
回 商人
什么是数学模型
答案
随从
S1(3,3)
d9 d8
d10
d7
d11
Sn(0,0)
d6 d5
d1
d2 d3
d4
商人
随从 Sn(0,0)
文字叙述：略
什么是数学模型
n
r(x)=r-sx ，（s、r>0 ）
n 设最大人口容量（自然资源和环境条件所能容纳的最大
人口数量）为 xm
r(xm)=0
n有
x
r ( t ) r (1
)
xm
n 模型为
x ' ( t ) r ( 1 x ) x
模型 求解 n 设：h (θ) = f(θ) - g(θ)
n 则： θ=0时
B
A’
n h (0) = f(0) >0
n
θ= π/2时？
θ
A
C
n h (π/2) = -g (π/2) <0
n 由介值定理，存在θ0 使得
D
n
h (θ0 ) = 0即f (θ0) =g (θ0)
n 又 f(θ) 与g(θ)应至少有一个为0
x'(t) rx(t)
Baidu Nhomakorabea
x(0) x0
n 解为 x(t)=x0er t n 离散化 er ≈1+r (r<<1) 则有 x(t) ≈ x0 (1 +r)t
什么是数学模型
指数增长模型
n 模型
x'(t) rx(t)
x(0) x0
n 解为 x(t)=x0er t
什么是数学模型
模型二：阻滞增长模型
第一讲 什么是数学模型
什么是数学模型
课程介绍
n 名称：数学模型、数学实验 n 性质：全校选修课 n 参考教材：
Ø 姜启源，数学模型，高等教育出版社 Ø 叶其孝主编，大学生数学建模竞赛辅导教材（一、二
、三、四），湖南教育出版社 Ø Matlab教程
什么是数学模型
数学
n 数学的实质：服务性学科
Ø 强有力的工具 Ø 与现实的紧密联系
S1(3,3) 商人
实例三：人口模型
n 问题提出：人口预测 n 例如：
Ø 1998年末：12.5亿，自然增长率：9.53% Ø 预测2000年末：
12.5×（1+0.00953)2 ≈ 12.7 Ø 当时人口钟为：1271322005
n 设 基年人口数为 x0，k 年后为 xk，年增长率为r 则 人口增长模型为 xk=x0 (1 +r)k
n 他们中的大多数人的大学本科专业都是数学、物理等理科 背景，有些干脆就是数学家转而研究经济学的。
n 数学被广泛应用于经济学研究，这也许是经济学被视为科 学并设有经济学诺贝尔奖的原因之一吧。
--—邹恒甫（武汉大学高级研究中心主任、北京大学光华 管理学院一级教授、北京大学董辅经济学讲座教授）
诺贝尔经济学奖屡颁数学家
sk=(xk ， yk)
Ø 容许状态集合 S={(x,y)|x=0,y=0,1,2,3;
x=3,y=0,1,2,3;
x=1,y=1;x=2,y=2}
Ø 决策（每次过河方案） d k =(uk ,vk )
Ø 容许决策集
D={(u,v)|u+v=1,2}
Ø 状态变化律
s k+1 =sk +(-1)k dk
n g(θ)表示B D两脚与地面 C 距离之和
θ
A
D
什么是数学模型
n 由假设得：
Ø 1 f(θ) 与g(θ)为连续函数 Ø 2 f(θ) 与g(θ)应至少有一个为0
n 当θ=0时，不妨设g(θ)=0， 于是问题变为： B
Ø 存在θ0点，使 f (θ0) =g (θ0)=0
C
A’
θ
A
D
什么是数学模型
什么是数学模型
模型一：指数增长模型
Malthus （ 1766-1834）人口模型
n 基本假设：人口的自然增长率是一个常数，或说单位时 间内人口增长量与当时人口数成正比。
n 设 t 时刻人口数为x(t) ， t=0时 人口增长率为r，则
x(t) r x (t )t
n 取△t→0， 有 x’ (t)=r x(t), 即
n 则：
即：
n f (θ0) =g (θ0)=0
椅子一定能够放平
什么是数学模型
实例二:商人过河
n 三商三从 一起过河 n 河中一船 一船容二 n 商人掌权 从多杀人 n 过河方案?
什么是数学模型
建立模型
此岸
彼岸
n 引进数学工具：向量
n 记 第 k 次渡河前此岸， 商人数 xk，随从数 yk
Ø 状态
➢刚刚公布的2003年诺贝尔经济学奖，就是表彰美国经济学 家罗伯特·恩格尔和英国经济学家克莱夫·格兰杰分别用“随 着时间变化易变性”和“共同趋势”两种新方法分析经济 时间数列给经济学研究和经济发展带来巨大影响。
什么是数学模型
数学模型
n 据统计：近几年全世界所发表的科技论文中，使用频
率最高的关键词即为——数学模型
n 运用数学方法去解决实际问题，即要用数学的语言、 方法去近似地刻划实际问题的过程就是数学建模。而 这种数学表述就是一个数学模型。
Mathematic Modeling
什么是数学模型
数学建模的流程
实际问题 分析
建立 数学模型
No
提出报告
在实际中
或结论 Yes 印证
求解 数学模型
解释 数学解
什么是数学模型
n h.g.grassmann曾说过：“数学除了锻炼敏锐的理解力 、发现真理以外，还有另一个训练全面考虑科学系统的 头脑的开发功能。”
Education
什么是数学模型
诺贝尔经济学奖的启示
n 自1969年诺贝尔经济学奖设立以来，获奖者大多数具有深 厚的数学功底。娴熟的数学技巧加上出众的思想，是他们 摘获诺奖桂冠的超凡之道
实例一：椅子放稳模型
什么是数学模型
假设：
n 1 四条腿一样长、连线呈正方形、与地面接触在 一点上
n 2 地面高度连续变化 n 3 至少三条腿同时着地
什么是数学模型
中心问题：
用数学语言将椅腿着地的条件 与结论表示出来：
距离
什么是数学模型
模型求解
n 令：
B
A’
n f(θ)表示A C两脚与地面 距离之和
n David: 被人如此称颂的高技术本质上 就是数学——数学技术
Mathematic
什么是数学模型
数学教育
n 一方面：数学以及数学的应用在世界的科学、技术、商 业和日常生活中所起的作用越来越大
n 另一方面：一般公众甚至科学界（特别是我国）对数学 科学的作用未被认识到，数学科学作为技术变化以及工 业竞争的推动力的及其重要性也未被认识到。
Ø 求决策
d1, d2, ……,dn,
Ø使
s 1 (3,3) sn+1 (0,0)
什么是数学模型
随从 Sn(0,0)
S1(3,3) 渡
回 商人
什么是数学模型
答案
随从
S1(3,3)
d9 d8
d10
d7
d11
Sn(0,0)
d6 d5
d1
d2 d3
d4
商人
随从 Sn(0,0)
文字叙述：略
什么是数学模型