L-3.5 离子晶体中的长光学波-29

q u E
*
式中， u u u
2.黄昆方程
下面考虑离子的运动方程。
（1）振动方程和极化方程
由于离子等间距分布，所以相邻原子间的恢复力 系数都相等。只考虑近邻离子的作用， 则对第2n个的离子，其运动方程为
β u u β u u q E有效 Mu
P
1
1 1
引入位移参量
3
0
q*u E
2 βu q* E有 效 μu
W
μ u Ω
q* 2 q* 3ε0 Ω E 2β u α α 1 1 3ε0 Ω 3ε0 Ω
b21 EL WL 0 b22
即：极化所引起的无旋场是个纵向场，它趋于减小 纵向位移，从而增加了纵向振动的恢复力，提高了 光学波的纵向频率（纵光学波的频率）。
由黄昆方程第一式，可得
b12b21 WL WT b11(WL WT ) WL b21 ET 0 b22
1 2
由此可见，长声学波角频率与波矢存在线性关系， 波速是一个常数，其特性与晶体中的弹性波完全一 致。
实际上，由于长声学波波长比原胞线度大的多，在 半个波长内就已包括了许多原胞，因此，这些原胞都 整体的沿同一方向运动。
固体弹性理论中所述的宏观质点运动正是由这些原 子整体运动所构成的，这些原子偏离平衡位置的位移 就是宏观上的质点位移 u.
（2）横波方程和纵波方程
在位移参量中，位移与波矢相垂直的部分称为横 波，用WT 表示；而位移与波矢平行的部分称为纵波， 用WL 表示。
根据弹性理论，横波不引起晶体体积的压缩或膨 胀，其横向位移的散度为零。而纵波是无旋波，其 纵向位移的旋度为零。即存在以下关系
W WL WT WL 0 W 0 T
光学 原子的相对运动
长光学波又称为极化波。 对于长光学波，正、负离子的相对位移会引起宏观电 场。此时，作用在离子上除准弹性恢复力之外，还有电 场力。 设作用在某一离子上的有效场强为 E有效, 则根据洛伦 兹有效场近似，有
E 有效
1 E P 3 0
式中，E代表宏观场，P代表极化强度
离子晶体的极化由两部分贡献构成：
• 它是离子晶体中的一种元激发。由于ω=ωT 时，对应的光学声子波长与 Brilouin 区的尺寸相比为小量，因此极化激元是长波横向光学声子与电 磁场的耦合量子。 • 这里描述的模式既不是纯光子，也不是纯声子，而是光子－声子混合物
频率禁区
式中s 代表晶体的静电介电系数。
（2）光频电场
由于离子的惯性，在这种情况下不可能与如此高 频同步，此时位移为零
W 0
由黄昆方程得
2 b12 E 0( 1)E P b 22 2 T0
式中 代表晶体的光频介电系数。
由上述各式可得
(a ) (b )
振动方程
黄昆方程的物理意义很明显：
பைடு நூலகம்
极化方程
方程（a）代表振动方程，它的右方第一项为准弹性 恢复力，第二项表示电场附加了恢复力。 方程（b）代表极化方程，它的右方第一项为离子位 移引起了极化，第二项表示电场附加的极化。 显然，黄昆方程是描述长光学波与电磁波相互偶的 基本方程。该方程将格波与宏观极化电场相互耦合在 一起，这种耦合的结果会产生一些独特的性质。
(a ) (b ) (c )
在晶体中，若没有自由电荷，则电位移的散度为 零，即
D (0 E P) 0
将电场分成有旋场（横场）和无旋场（纵场），则 有
E ET EL
由黄昆方程第二式，得
b21WL 0 b22 EL 0
上式成立的一个条件是
*
2β u u q E有效
*
对于第2n+1个离子，有运动方程
2β u u q E有效 mu
*
由上两式，可得
u ) 2 β(u u ) q* E有 效 μ(u q* 2 * q 3 ε Ω 0 u E 2 β α α 1 1 3ε0 Ω 3ε0 Ω
则得黄昆方程
b W b E W 11 12 P b21W b22E
(a ) (b )
其中
b11
q *2 2 3 0 b22 1 3 0 3 0
b12 b21
1 3 0

q
* 1 2
b W b E W 11 12 P b21W b22E
3.5 离子晶体中的长光学波
部分选自其他课件
§3.4 长波近似
在下面讨论中，把波长很长的光学波和波长很长 的声学波分别简称为长光学波和长声学波。(q0)
一、长声学波
如前所述，长声学波的波速为（一维双原子链）
A 12 vp a q m M 1 2
q=0
LA
LO
二、长光学波
1. 极化波 考虑由正、负离子所组成的一维复式格子。 对于光学波，原胞内相邻的不同类离子振动方向相反。 而当波长比原胞的线度大得多时，相邻的同一种离 子位移将趋于相同； 在半波长范围内，正离子组成的一些布喇菲原胞 同向位移，而负离子组成的另一些布喇菲原胞则反 向位移，从而使电荷不再均匀分布，晶体在宏观上 呈现出极化现象。
b W W T 11 T b12b21 WL b11 b WL 0 22
(a ) (b )
3.利戴恩-萨克斯-特勒关系
光学波的两个分量方程均为简谐振动方程，其中 横波频率和纵波频率满足下面关系：
T20 b11 2 b12b21 b12b21 2 L 0 (b11 b ) T 0 b 0 22 0 22
将上式中的有旋场和无旋场分开，从而有
b W b E W T 11 T 12 T b12b21 WL b11 b WL 0 22
(a ) (b )
方程（a）代表横向振动方程，方程（b）代表纵 向振动方程。
由电磁波理论可知，横波电场是电磁波，一般它 比无旋电场小的多，可以忽略。 于是，上式又可以写成
(1) 离子位移极化
由正、负离子的相对位移产生的电偶极矩，称为 离子位移极化。
典型离子晶体的正负离子交替等距分布，如图所 示。
一维离子晶格的离子位移
若第2n-1个离子到第 2n+1个离子取为一个原胞， 则第2n-1个离子和第 2n+1个离子对该原胞的贡献都 是1/2。
从偶极矩的角度考虑，第2n个离子为两个电偶极 子所共有，于是该原胞内两个电偶极子的偶极矩为
从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的 分离坐标可视为连续坐标。 可以证明，质点的位移与其坐标满足下面关系
2 2 2 d 2u 12a u 2 u vA 2 2 2 m M 1 2 x dt x
上式即为宏观弹性波的波动方程，其中
12a 2 vA a m M 1 2
P2n 1,2n
1 * q (ai u2n u2n 1 ) 2
P2n 1,2n
1 * q (ai u2n u2n 1 ) 2
式中，q*是离子的有效电量。
一个原胞内的离子位移偶极矩为
1 * P q (2u2n u2n 1 u2n 1 ) 2
对于长光学波，在相当大的范围内，同种原子的 位移相同，则上式可以写成
下面考虑两种极端情况：
(a ) (b )
（1）静电场
当正、负离子发生稳定位移，离子到达一新的平 衡位移，从而形成了稳定的极化电场。此时有
0 W
由黄昆方程得 b12 b12 W b E 2 E 11 T0 2 b P b 12 E 0(s 1)E 22 2 T0
P α E有效 α E有效
电子位移极化强度为
α Pe E有 效 Ω
式中， 为电子位移极化率。
考虑两种极化，则有
q* u u E有效 P Pa Pe
利用洛伦兹有效场近似，得总极化强度为
1 P
1
1 3 0
是用微观参数表示的弹性波的波速。 固体中的长声学波就是弹性波。对于长声学波，晶 格可以看作是连续介质。
波长λ比晶格常数a大得多。
• 在离子晶体中，长光学模代表元胞内正负 离子的反向运动，它将伴随着晶体的极化 并产生内场。 • 类似与长光学波可以看作连续介质中的弹 性波，在宏观弹性理论中求解运动方程， 对于长光学波，可以在宏观理论的基础上 进行讨论。
b11 T20 b22 0( 1) 1 2 b12 b21 s 0 T 0
又是得著名的LST（Lyddane-Sachs-Teller）关系。

2 T0 2 L0
s
极化激元
• 由于光子是横向电磁场量子， 光照射离子晶体时将激发横向 电磁场，从而对离子晶体中光 学支横波振动产生影响，特别 是当光子频率ω= cq和横波光学 支声子的频率ωT相近时，两者 的耦合很强（共振），其结果 将使光子与TO声子的色散曲线 都发生很大的变化，形成光子 －横光声子的耦合模式，其量 子称作极化激元。
P q (u u )
*
于是，离子位移极化强度为
1 * Pa q (u u )
式中， u和u 表示正、负离子的位移；Ω是原胞体积。
（2）电子位移极化
离子本身的电子云在有效场作用下，其中心偏离 原子核而形成了电偶极子，这种极化称为电子位移 极化。
一个原胞内的正、负离子受到有效电场作用所产 生的电子位移偶极矩为