差分方程初步

求得特解 yt = bt
方程的通解为
b t , a -1 A( - a ) + yt = y A ( t ) + yt = 1+ a a = -1 A + bt, 其 中A为 任 意 常 数 .
例 解
求差分方程 yt +1 - 2 yt = 5的通解 .
a = -2 -1, b = 5
定理1(齐次线性差分方程解的叠加原理) 若y1(t),y2(t),…,ym(t)是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的m个特解(m≥2),则其线性组
合y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Amym(t)也是方程 的解,其中A1，
称为n阶差分方程的通解.在通解中给任意常数 C1,C2,…,Cn 以确定的值所得的解 , 称为 n 阶差分方程的 特解.
例如,函数yt=at+C(a为已知常数,C为任意常数)是差
分方程 yt+1-yt=a 的通解 . 而函数 yt=at,yt=at-1,…均是这个
差分方程的特解. 由差分方程的通解来确定它的特解,需要给出确定 特解的定解条件 .n 阶差分方程 F(t,yt,yt+1,… ， yt+n)=0 常 见的定解条件为初始条件. y0=a0, y1=a1，…,yn-1=an-1， 这里a0,a1,a2,…，an-1均为已知常数．
程中出现．
定义3′ 含有两个或两个以上函数值yt,yt+1,…的函数方 程,称为(常)差分方程,出现在差分方程中未知函数下 标的最大差,称为差分方程的阶．
n阶差分方程的一般形式为
F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0,
其中F为t,yt,yt+1,…，yt+n的已知函数,且yt和yt+n一定 要在差分方程中出现.
i =0 t -1
为方程的特解 .
yA(t)=(-a)ty0为 对应的齐次方程 的通解.
例
解
1 求差分方程 yt +1 - yt = 2 t 的 通 解 . 2 1 a = , f (t ) = 2t 2
t -1 1 i t - i -1 1 i -i t -1 yt = ( ) 2 = 2 ( ) 2 i =0 2 i =0 2 1 t 1- ( ) t -1 1 1 1 t -1 2 t t -1 i t -1 4 = 2 ( ) = 2 = ( ) ( 2 - 1) 1 3 2 i =0 4 14 t -1
当a=-1时,改设特解 yt =(a+bt)t=at+bt2 将其代入方程可求得特解
1 1 2 y = (b0 - b1 )t + b1t 2 2
方程的通解为
b0 b1 b1 t A( - a ) + + t , a 1, 2 1 + a (1 + a ) 1 + a yt = A + (b0 - 1 b1 )t + 1 b1 t 2 , a = 1 . 2 2
差分方程初步
第一节 差分方程的基本概念
一、 差分的概念 定义1 设函数yt=f(t)在t=…,-2,-1,0,1,2,…处有定义,对 应的函数值为 …,y-2,y-1,y0,y1,y2,…, 则函数 yt=f(t) 在时 间t的一阶差分定义为 Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)．
依此定义类推,有 Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1), Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2), ………………
的差分方程,称为n阶非齐次线性差分方程.其中 a1(t),a2(t),…,an-1(t),an(t) 和 f(t) 都 是 t 的 已 知 函 数 , 且 an(t)≠0,f(t)≠0.而形如
yt+n+a1(t)yt+n-1+…＋an-1(t)yt+1+an(t)yt=0 的差分方程,称为n阶齐次线性差分方程.其中 ai(t)(i=1,2,…，n)为t的已知函数,且an(t)≠0.
方程的通解
1 t 1 1 t -1 2 t 1 t 1 t +1 yt = A( ) + ( ) ( 2 - 1) = A ( ) + 2 2 3 2 2 3 2 A = A- 为任意常数 . 3
2.待定系数法求特解
情形Ⅰ f(t)为常数． 方程变为yt+1+ayt=b, a,b均为非零常数． 试以 yt = (为待定常数)形式的特解代入方程得 +a =(1+a) =b． b 当a≠-1时,可求得特解 y t = 1+ a 当a=-1时,改设特解 yt = t (为待定系数),将其代 入方程得 (t+1)+a t=(1+a) t+ =b
依此定义类推,有 D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1, D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2, ………………
类推,计算两个相继的二阶差分之差,便得到三阶差分 D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt, D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1, ………………
例
求差分方程 yt +1 - yt = 3 + 2t的通解 . a = -1, b0 = 3, b1 = 2
解
yt = A + 2t + t 2 , A为任意常数 .
情形Ⅲ f(t)为指数函数 不妨设f(t)=b· dt, b,d均为非零常数,方程变为 yt+1+ayt=b· dt, t=0,1,2,…． 当a+d≠0时,设方程有特解 = ytdt, 为待定系数.将其代 入方程得 dt+1+adt=b· dt, 求得特解
一般地,k阶差分(k为正整数)定义为
D yt = D ( D
k
k -1
yt )
k -1
=D
k -1
yt +1 - D
yt ( k = 1,2,3,)
i = ( -1) i C k yt + k - i i =0
k
这里
k! C = i! ( k - i )!
i k
二、 差分方程
定义3 含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt, D2yt,…的函 数方程,称为常差分方程(简称差分方程);出现在差分方 程中的差分的最高阶数,称为差分方程的阶. n阶差分方程的一般形式为 F(t,yt, Dyt,…, Dnyt)=0, 其中F是t,yt, Dyt,…, Dnyt的已知函数,且Dnyt一定要在方
b yt = dt a+d
当a+d=0时 ,改设方程的特解 yt =tdt,为待定系数 ,将 其代入方程可求得特解
yt =btdt
方程的通解为
b t A( - a ) + d t , a + d 0, yt = y A + yt = a+d t t A ( a ) + btd , a + d = 0.
只要保持差分方程中的时间滞后结构不变 ,无论对 t提前或推后一个相同的等间隔值,所得新方程与原方程 是等价的,即二者有相同的解.例如,方程 ayt+1-byt=0
与方程
ayt+2-byt+1=0
都是相互等价的．
四、 线性差分方程及其基本定理 形如 yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+…+an-1(t)yt＋1+an(t)yt=f(t)
一阶差分的性质
(1) 若yt=C(C为常数),则Dyt=0; (2) 对于任意常数k,D(kyt)=kDyt; (3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt．
定义2 函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的 差分,即 D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt =(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt．
A2，…，Am为任意常数． 定理2 n阶齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2
+…+an-1yt+1+anyt=0一定存在n个线性无关的特解．
定理3(齐次线性差分方程通解结构定理) 如 果 y1(t),y2(t),…,yn(t) 是 齐 次 线 性 差 分 方 程 yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0 的 n 个线性无关 的特解,则方程 的通解为： yA(t)＝A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)，
y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)+y (t)， 这里A1，A2,…,An为n个任意(独立)常数．
第二节 一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为 yt+1+ayt=f(t) 和 yt+1+ayt=0, 其中f(t)为 t的已知函数 ,a≠0为常数.分别称为一阶常 系数非齐次线性差分方程和其对应的齐次差分方程.
二Байду номын сангаас 非齐次方程的通解与特解
1. 迭代法求通解 将方程改写为 yt+1=(-a)yt+f(t), t=0,1,2,…． 逐步迭代,则有
y1=(-a)y0+f(0),
y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1),
y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2),
………………
由数学归纳法,可得
一、 齐次差分方程的通解
将方程yt+1+ayt=0改写为:yt+1=-ayt, t=0,1,2,…． 假定在初始时刻(即t=0)时,函数yt取任意值A,那么由 上式逐次迭代,算得 y1=-ay0=-aA, y2=-ay1=(-a)2A, ……………… 方程的通解为yt =A(-a)t, t=0,1,2,…． 如果给定初始条件t=0时yt=y0,则A=y0,此时特解为： yt =y0(-a)t．
三、 差分方程的解
定义4 如果将已知函数yt=j(t)代入方程 F(t,yt,yt+1,…， yt+n)=0, 使 其 对 t=…,-2,-1,0,1,2,… 成 为 恒 等 式 , 则 称 yt=j(t) 为方程的解 .含有 n 个任意 ( 独立 ) 常数 C1,C2,…,Cn 的解
yt=j(t,C1,C2,…,Cn)
yt = A 2t - 5, A为任意常数 .
情形Ⅱ f(t)为t的多项式．
不妨设f(t)=b0+b1t(t的一次多项式),即
yt+1+ayt=b0+b1t, t=1,2,…， 其中a,b0,b1均为常数,且a≠0,b1≠0． 试以特解 yt =a+bt,(a,b为待定系数)代入方程得
a+b (t+1)+a(a+bt)=b0+b1t，
如果ai(t)=ai(i=1,2,…,n)均为常数(an≠0),则有
yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=f(t)，
yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0．
分别称为n阶常系数非齐次线性差分方程和n阶常系 数齐次线性差分方程.
例
求差分方程 yt +1 - yt = 2t 的通解 .
其中A1，A2，…，An为n个任意(独立)常数．
定理4(非齐次线性差分方程通解结构定理)
如果 y (t)是非齐次线性方程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2
+…+an-1(t)yt ＋ 1+an(t)yt=f(t) 的一个特解 ,yA(t) 是其对应的
齐次线性方程 yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0 的 通解,那么,非齐次线性差分方程的通解为： y(t)=yA(t)+ y (t) 即
上式对一切t值均成立,其充分必要条件是： (1 + a )a + b = b0 (1 + a )b = b1
当1+a≠0时,即a≠-1时，
b0 b1 a= 1 + a (1 + a )2 b1 b= 1+ a
方程的特解为
b0 b1 b1 y= + t 2 1 + a (1 + a ) 1 + a
yt=(-a)ty0+(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+…+f(t-1)
=(-a)ty0+ yt , (t=0,1,2,…)，
其 中 yt = ( - a )t -1 f (0) + ( - a )t - 2 f (1) + f ( t - 1) = ( - a )i f ( t - i - 1)