静态优化——函数的极值问题
函数凹凸性与极值在优化中的应用指南
函数凹凸性与极值在优化中的应用指南函数的凹凸性和极值之间的关系在优化问题中具有广泛的应用。
这种关系不仅有助于我们理解优化问题的本质，还能指导我们设计求解策略、评估解的质量以及进行算法的选择与改进。
以下是具体的应用：1. 指导求解策略●凸优化问题：对于凸优化问题，由于局部最优解即为全局最优解，因此可以采用各种高效的算法（如梯度下降法、牛顿法等）来求解。
这些算法在凸函数上能够确保收敛到全局最优解。
●非凸优化问题：对于非凸优化问题，虽然不能直接保证局部最优解即为全局最优解，但可以利用函数的凹凸性信息来指导求解策略。
例如，通过寻找函数的拐点（凹凸性变化的点）或利用凸包络等方法来近似原问题，从而更容易地找到全局最优解或较好的局部最优解。
2. 评估解的质量●全局最优性检验：在凸优化问题中，可以通过比较解与已知的全局最优解（如果存在的话）来检验解的质量。
如果两者相等或非常接近，则可以认为找到了全局最优解。
●局部最优性评估：在非凸优化问题中，虽然无法直接判断解是否为全局最优解，但可以利用函数的凹凸性信息来评估解是否为局部最优解。
例如，如果解位于一个由凸变凹或由凹变凸的点上，并且该点处的函数值比其他邻近点都小（或大），那么这个解很可能是局部最优解。
3. 算法选择与改进●算法选择：根据函数的凹凸性选择合适的优化算法。
对于凸函数，可以选择具有全局收敛性的算法；而对于非凸函数，则可能需要采用启发式算法或元启发式算法来寻找近似解。
●算法改进：在算法运行过程中，可以根据函数的凹凸性信息来调整算法参数或改进算法策略。
例如，在梯度下降法中，可以根据函数的二阶导数（即凹凸性信息）来调整学习率的大小；在遗传算法中，可以利用函数的凹凸性信息来指导交叉和变异操作等。
4. 实际应用场景●金融领域：在投资组合优化、风险管理和资产定价等问题中，经常需要求解凸优化问题来找到最优的投资组合或风险策略。
此时，函数的凹凸性对于保证解的全局最优性和稳定性至关重要。
多元函数的极值与最优化问题
P0 ,
P
Rn
)
例1 函数 z 3x2 4 y2
(1)
在 (0,0) 处有极小值．
例2 函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例3 函数 z xy
(3)
在 (0,0) 处无极值．
2. 多元函数取得极值的条件 定理8.10 (必要条件)
设函数 且在该点取得极值，则有
具有偏导数，
f x ( x0, y0 ) 0 ,
f
y
(
x0
,
y0
)
0.
证 不妨设z f ( x, y)在点 P ( x0 , y0 ) 处有极大值,
即 f ( x, y) f ( x0 , y0 ), ( ( x, y) U(P))
f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ( ( x, y0 ) U ( P ))
P0( x0 , y0 ), y ( x0 , y0 ) 0.
z
f ( x,
(x, y) y) 0
在点(
x0
,
y0
)处取得
极
值
z f [ x, y( x)]在x x0处取得极值.
dz dx
x x0
(
fx
fy
d d
y) x x x0
0
而 dy
x ( x0 , y0 )
d x x x0 y ( x0 , y0 )
计
算
：f
(
函数( xfi xi , yi )
,在y(i该i)区1(,域i2,D1上,,2n一,);定, n取) 得最值
2 求 f ( x, y)在D的边界上的最值m0 , M0;
(这实际上是条件极值问题，边界方程即为条件
函数的极值与最值问题
函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题是数学分析中的重要内容。
在实际问题中，我们常常需要求解函数的极值或最值，来确定某一变量的最佳取值或最大最小值。
本文将介绍函数的极值与最值问题的定义、求解方法以及实际应用。
一、函数的极值与最值的定义在数学中，给定一个函数f(x)，若存在一个区间I，使得对于该区间内的任意x值，f(x)的值都比f(x)在I的其它点处的值小（大），则称f(x)在I内存在极大（小）值，同时称该点为函数的极值点。
而函数在区间I内最大（小）的极值点则称为函数的最大（小）值。
二、求解函数的极值与最值的方法1. 寻找驻点首先，我们需要寻找函数的驻点。
驻点即为函数在该点的导数为零的点，也就是函数的极值点可能位于驻点处。
2. 列出极值点及临界点的值将驻点的值以及函数的定义域内的临界点的值列出，并计算出相应的函数值。
3. 比较并确定极值点及最值比较驻点和临界点的函数值，找出函数的极大值和极小值，即为函数的极值点。
同样地，比较所有极值点的函数值，找出函数的最大值和最小值。
4. 确定函数的定义域在比较极值点和临界点的函数值时，需要注意函数定义域的边界条件。
确保所比较的点处于函数的定义域内。
三、函数极值与最值问题的应用函数的极值与最值问题在实践中具有广泛的应用。
以经济学为例，函数的极值与最值问题常用于优化问题的求解。
例如，确定成本最低的生产方案或利润最大化的销售策略等。
在工程学中，函数的极值与最值问题可应用于优化设计。
比如求解最节能的物流路径、最优化的结构参数以及最大功率输出的电子电路布局等。
此外，函数的极值与最值问题还可用于求解几何问题中的最优解。
在数学建模、各类优化理论以及应用数学的研究中都有广泛的应用。
结论函数的极值与最值问题是数学分析中一个重要且常见的问题。
通过寻找函数的极值点和最值点，可以确定变量的最佳取值或者确定函数在某个区间内的最大最小值。
本文介绍了函数极值与最值问题的定义、求解方法以及应用，并指出了其在实际问题中的重要性。
《最优控制》教学大纲-hyq
第四章极小值原理及其应用(6学时)
4.1连续系统的极小值原理(2学时)
4.2最短时间控制问题(1学时)
4.3最少燃料控制问题(1学时)
4.4离散系统的极小值原理(2学时)
第五章线性系统二次型指标的最优控制——线性二次型问题(6学时)
5.1引言
最优控制教学大纲
(Optimal Control
课程代码
17004120
编写时间
2012．9
课程名称
最优控制
英文名称
Optimal Control
学分数
2
周学时
4
任课教师
黄毅卿
开课院系
自动化学院
预修课程
高数、泛函分析、控制理论基础
课程性质：
本科程是自动化方向的选修课程之一。
基本要求和教学目的：
介绍最优控制理论的基本知识和研究方法。学生通过本课程的学习，应该对最优控制理论的三个重要基础：Pontryagin最大值原理、LQ理论和动态规划方法有一个初步的了解。并能够利用它们解决一些最优控制问题。
Applied Optimal Control(应用最优控制——最优化·估计·控制)
Blaisdell P ublishing Company
1975(1982)
L.D.Berkovitz著，贺建勋等译
最优控制理论
上海科学技术出版社
1985
Dorald E. Kirk
Optimal ControlTheory - An Introduction
5.2终端时间有限时连续系统的状态调节器问题(2学时)
5.3稳态时连续系统的状态调节器问题(2学时)
数学中的函数极值与最优化问题
数学中的函数极值与最优化问题在数学中，函数的极值和最优化问题是重要的概念和方法。
通过对函数的极值的研究，我们可以找到函数的最大值和最小值，并应用于各种优化问题中。
一、函数的极值函数的极值是函数在某个特定区间内取得的最大值或最小值。
数学上，函数的极大值和极小值统称为极值。
1. 局部极值局部极值是指函数在某一个区间内取得的最大值或最小值。
局部极大值也称为极大值点，局部极小值也称为极小值点。
要判断一个函数在某点是否为局部极值，可以使用导数的方法。
对于一元函数，函数在该点的导数为0，且导数的符号在该点的左右两侧发生变化时，该点就是一个局部极值点。
2. 全局极值全局极值是指函数在整个定义域内取得的最大值或最小值。
全局极大值也称为最大值，全局极小值也称为最小值。
要判断一个函数是否有全局极值，可以通过两种方法：一种是查看函数在定义域两个端点上的取值，另一种是对函数求导并找到导数为零的点。
二、最优化问题最优化问题是指在约束条件下，寻找函数的极值的问题。
最优化问题可以是线性的、非线性的，也可以是单目标的、多目标的。
最常见的最优化问题是线性规划问题。
线性规划问题的目标是在一组线性约束条件下，找到使目标函数取得最大值或最小值的变量值。
除了线性规划问题，还有一些非线性规划问题，如二次规划、整数规划等。
这些问题通常涉及到非线性目标函数和约束条件，需要使用更复杂的数学方法来求解。
三、函数极值与最优化问题的应用函数极值和最优化问题广泛应用于经济学、物理学、工程学等领域。
例如，在经济学中，最大化利润和最小化成本是最常见的优化目标；在物理学中，最小化能量和最大化效率是典型的优化问题。
此外，函数极值和最优化问题还被应用于机器学习、人工智能等领域。
在这些领域中，通过优化模型的参数，可以使模型对数据的拟合更好，从而提高预测或决策的准确性。
总结：函数的极值和最优化问题是数学中重要的概念和方法。
通过研究函数的极值，我们可以找到函数的最大值和最小值，应用于各种优化问题中。
4.5(1)最优化问题极值与最值
解： C x 3x2 4x 12, 元 C10 272 元
每天多生产一件产品的成本为272元。
R x 3x2 6x 10 元 R10 250 元
每天多销售一件产品而获得的收入为250元。
例4 设某产品的需求函数为：x=1000 – 100P, 求需求量x=300时的总收入，平均收入和边际收入。 解：销售 x 件价格为 P 的产品收入为 R (x)= P x,
求最低平均成本和相应产量的边际成本。
解：平均成本 C(x) C(x) 1 x 8 4900
C(x) 4
x
令
C(x)
1 4
4900 x2
0
唯一驻点x=140
C(
x)
9800 x3
,
C(140)
9800 1403
0
C(x) 1 x2 8x 4900 4
C(x) C(x) 1 x 8 4900
所以当日产量为Q0 =200单位时可获最大利润. L(200) =3000(元)
例4 设某产品的总成本函数为 C(Q)=54+1Q82Q+6 ，
试求平均成本最小时的产量水平.
解 因C′(Q)=18+12Q
C (Q )
＝54
Q
+18+6Q，
令C′(Q)= C(Q)
得Q=3 (Q＝－３已舍)，所以当产量Q=3时可使平均 成本最小.
上的最大值与最小值.
解
f ( x ) 6( x 2 )( x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23;
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
高等数学中的极值问题
高等数学中的极值问题导语：在高等数学中，极值问题是一个重要的概念和技巧。
通过寻找函数的最大值和最小值，我们可以解决各种实际问题，如优化、最优化、经济学等。
本文将介绍高等数学中的极值问题，包括定义、求解方法和应用。
一、极值问题的定义与分类极值问题是指在一定条件下，寻找函数的最大值和最小值。
根据函数的定义域和取值范围，极值问题可以分为两类：一类是在有限区间内求解极值，另一类是在无限区间内求解极值。
1. 有限区间内求解极值当函数的定义域为有限区间时，我们可以通过求导和边界条件来求解极值。
首先，我们需要求出函数的导数，然后找出导数为零或不存在的点，这些点即为函数的驻点。
接下来，我们需要判断这些驻点是否是极值点，可以通过二阶导数的符号判断。
最后，我们还需要考虑边界条件，即函数在定义域的两个端点处是否存在极值。
2. 无限区间内求解极值当函数的定义域为无限区间时，我们可以通过极限的概念来求解极值。
首先，我们需要求出函数的导数，然后找出导数为零或不存在的点，这些点即为函数的驻点。
接下来，我们需要判断这些驻点是否是极值点，可以通过二阶导数的符号判断。
最后，我们还需要考虑函数在无穷远处的极限，以确定整个函数的极值。
二、求解极值的方法与技巧在高等数学中，求解极值问题有多种方法和技巧。
下面将介绍常用的方法和技巧。
1. 寻找驻点驻点是函数导数为零或不存在的点，是寻找极值的关键。
我们可以通过求导的方法来寻找驻点，然后通过二阶导数的符号判断这些驻点是否是极值点。
2. 利用边界条件在有限区间内求解极值时，我们需要考虑函数在定义域的两个端点处是否存在极值。
通过分析边界条件，我们可以得到更准确的极值结果。
3. 利用二阶导数二阶导数可以帮助我们判断驻点是否是极值点。
当二阶导数大于零时，驻点是函数的极小值点；当二阶导数小于零时，驻点是函数的极大值点；当二阶导数等于零时，驻点可能是函数的极值点，但也可能是拐点。
4. 利用极限在无限区间内求解极值时，我们需要考虑函数在无穷远处的极限。
函数优化问题
函数优化问题函数优化问题问题列表•局部极值问题：通过求解函数的导数，找到函数在某个区间内的极大值或极小值。
•全局极值问题：通过求解函数的导数，找到函数在整个定义域内的极大值或极小值，包括极大值和极小值点。
•约束条件问题：在函数优化问题中，引入一个或多个约束条件，如等式约束或不等式约束，并找到满足约束条件下的最优解。
•多目标优化问题：考虑多个目标函数，通过权衡各目标的重要性，找到在多个目标之间的最优权衡解。
•离散优化问题：将函数的自变量限制为离散的取值，通过搜索或动态规划等方法，找到最优解。
解释说明函数优化问题涉及找到函数的最优解或最优值的过程。
这些问题在实际中具有广泛的应用，例如在工程、经济学和运筹学等领域。
局部极值问题局部极值问题是函数优化问题中最基本的问题之一。
通过求解函数的导数，可以找到函数在某个区间内的极大值或极小值。
这种方法的限制在于只能找到局部的最优解，无法保证这个解是全局最优解。
全局极值问题全局极值问题是比局部极值问题更困难的问题。
通过求解函数的导数，找到函数在整个定义域内的极大值或极小值。
这需要对函数进行全局搜索或采用其他优化算法来找到全局最优解，因此计算成本相对较高。
约束条件问题在函数优化问题中，有时会引入一个或多个约束条件。
这些约束条件可以是等式约束或不等式约束。
优化问题的目标是在满足约束条件下找到最优解。
约束条件问题常常需要使用拉格朗日乘子法或其他约束优化算法来求解。
多目标优化问题多目标优化问题涉及考虑多个目标函数的最优化。
这些目标函数可能是相互矛盾的，因此需要权衡各目标的重要性。
解决多目标优化问题的方法包括加权法、Pareto最优解和理想点法等。
离散优化问题离散优化问题将函数的自变量限制为离散的取值。
通过搜索或动态规划等方法，找到最优解。
离散优化问题常出现在组合优化和网络优化等领域，例如旅行商问题和背包问题等。
以上列举的问题只是函数优化问题中的一部分，每个问题都有自己特定的解决方法和应用领域。
极值点偏移四种题型的解法及例题
极值点偏移是高中数学中的一个重要概念，也是学生们比较头疼的一个知识点。
在解决数学问题时，我们经常会遇到一些与极值点有关的题型，比如函数的极值问题、优化问题等。
而在解决这些问题时，极值点偏移方法是一种非常实用的解题技巧。
本文将从四种题型出发，对极值点偏移方法进行详细解析，并结合具体例题进行说明。
1. 函数的极值问题函数的极值问题是高中数学中的一个重要内容。
在解决这类问题时，我们常常会用到导数的概念，来求函数的极值点。
但有些情况下，我们可以通过极值点偏移方法更快地得到函数的极值点。
比如对于一些简单的函数，通过极值点的平移和对称性，可以用更简洁的方法求得函数的极值点。
举例说明：已知函数 $f(x)=x^3-3x^2+2$，求 $f(x)$ 的极值点。
解：求导得 $f'(x)=3x^2-6x$。
令导数为零，得到 $x=0$ 或 $x=2$。
根据导数的符号，可知 $x=0$ 是极小值点，$x=2$ 是极大值点。
但通过极值点偏移方法，我们可以发现，当 $x=0$ 时，$f(x)=2$；而当$x=2$ 时，$f(x)=2$。
也就是说，极小值点 $x=0$ 对应的函数值和极大值点 $x=2$ 对应的函数值相等。
这就是极值点偏移的思想。
2. 优化问题优化问题是数学建模中常见的类型之一，也是考察学生综合运用数学知识解决实际问题的一种形式。
当我们遇到优化问题时，常常需要求解函数的极值点。
而极值点偏移方法可以帮助我们更快地找到函数的极值点，从而解决优化问题。
举例说明：一块长为20厘米的铁皮，可以做成一个底面积为 $x cm^2$ 的正方形盒子和一个底面积为 $y cm^2$ 的开口放平盒子，求怎样分割这块铁皮才能使总体积最大。
解：设正方形盒子的边长为 $a$，开口朝下的放平矩形盒子的底边长为 $b$，高为 $h$。
则根据题意可知，$b=a+2h$，且 $x=a^2$，$y=bh$。
问题转化为求 $x+y$ 的最大值。
最优控制 第三章 静态最优化问题的最优控制
(3-5)
∂f ∇fu = ∂u1
第三章 静态最优化问题的最优控制
∂f ∂u2
∂f ⋯ =0 ∂un
T
(3-6)
7
至于取极小值的充要条件， 至于取极小值的充要条件，尚需满足
∂ f =0 2 ∂u
2
(3-7)
即下列海赛矩阵为正定矩阵。 即下列海赛矩阵为正定矩阵。
∂2 f 2 ∂u1 2 ∂2 f ∂ f ∇2 fu = 2 = ∂u ∂u ∂u 2 1 ⋯ ∂2 f ∂un∂u1
这门课的重点在后边， 这门课的重点在后边，但考虑到变分法与微分 法在求极值问题上有相似之处， 法在求极值问题上有相似之处，为收到触类旁通的 功效，这节对较熟悉的普通函数求极值问题作一回 功效， 顾。
第三章 静态最优化问题的最优控制
2
一、一元函数的极值
为定义在闭区间[a,b]上的单值连续可 设J=f(u)为定义在闭区间 为定义在闭区间 上的单值连续可 微函数，则存在极值点u 微函数，则存在极值点 *的必要条件是
第三章 静态最优化问题的最优控制 4
由式(3-1)求得的极值点 *为驻点，其性质是： 求得的极值点u 为驻点，其性质是： 由式 求得的极值点 极大值点； 当f '' (u*)<0，u*为极大值点； ， 拐点； 当f '' (u*)=0，u*为拐点； ， 当f '' (u*)>0，u*为极小值点。 极小值点。 ， 而且，这些极值 只是相对于u 而且，这些极值f (u*)只是相对于 *左右邻近 只是相对于 而言的， 相对极值。 的f(u)而言的，故具有局部性质，称为相对极值。 而言的 故具有局部性质，称为相对极值
函数的极值知识点总结
函数的极值知识点总结函数的极值是数学中的重要概念，它可以帮助我们确定函数的最大值和最小值，以及在哪些点上达到这些值。
在实际问题中，函数的极值可以用来优化问题，找到最佳解决方案。
下面我将从定义、求解方法和应用三个方面来总结函数的极值知识点。
一、定义函数的极值是函数在定义域上的最大值和最小值。
最大值又称为最大极值，最小值又称为最小极值。
二、求解方法1. 寻找函数的极值点要求函数的极值，首先需要找到函数的极值点。
极值点是函数在定义域内使函数取得极值的点。
可以通过求函数的导数或者二阶导数来找到极值点。
2. 判断极值找到极值点后，需要判断这些点是函数的极大值还是极小值。
可以通过求导数的符号来判断，如果导数在极值点的左侧为正，右侧为负，则该点为极大值；如果导数在极值点的左侧为负，右侧为正，则该点为极小值。
3. 检验极值找到极值点并判断后，还需要进行检验。
可以通过求二阶导数来检验，如果二阶导数在极值点处的值大于0，则该点为极小值；如果二阶导数在极值点处的值小于0，则该点为极大值。
4. 边界点的考虑在求解函数的极值时，还需要考虑边界点。
边界点是函数定义域的端点，需要将边界点和极值点进行比较，找出最大值和最小值。
三、应用函数的极值在实际问题中有广泛的应用，例如：1. 最优化问题：在约束条件下，找到使目标函数取得最大值或最小值的变量值，如生产成本最小化、利润最大化等。
2. 经济学：用函数的极值来分析供求关系、市场均衡等问题。
3. 物理学：用函数的极值来分析力学系统中的平衡点、最小能量状态等。
4. 生态学：用函数的极值来分析物种种群的最大增长率、生物多样性等。
函数的极值是数学中的重要概念，可以帮助我们确定函数的最大值和最小值。
通过求解极值点、判断极值和检验极值，可以找到函数的极大值和极小值。
函数的极值在实际问题中有广泛的应用，可以用来解决最优化问题、分析经济学和物理学等领域的现象。
掌握函数的极值知识，可以帮助我们更好地理解和应用数学。
最优控制
最优控制学院专业班级姓名学号1948年维纳发表了题为《控制论—关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。
钱学森1954年所着的《工程控制论》直接促进了最优控制理论的发展和形成。
最优控制理论所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。
这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。
从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（称为泛函）求取极值（极大值或极小值）。
解决最优控制问题的主要方法有古典变分法（对泛函求极值的一种数学方法）、极大值原理和动态规划。
最优控制已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。
例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少，选择一个温度的调节规律和相应的原料配比使化工反应过程的产量最多，制定一项最合理的人口政策使人口发展过程中老化指数、抚养指数和劳动力指数等为最优等，都是一些典型的最优控制问题。
最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的。
苏联学者Л.С.庞特里亚金1958年提出的极大值原理和美国学者R.贝尔曼1956年提出的动态规划，对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。
线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题则是R.E.卡尔曼在60年代初提出和解决的。
最优控制理论-主要方法解决最优控制问题的主要方法解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程为了解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程，给出控制变量的允许取值范围，指定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定一个评价运动过程品质优劣的性能指标。
最优控制应用基础-绪论
6
绪
1. 2. 3. 4. 5.
论
三个著名的古典问题
最优控制问题的提出
最优控制问题举例 最优控制问题的一般描述 最优控制发展简史
7
最优控制问题的提出
经典控制理论 采用试凑法设计控制系统，系统性能 不是最优的。所用性能指标如上升时间、最大超调量、调 节时间、稳态误差等。 维纳对控制系统的设计思想：使系统过渡过程期间误差 平方的时间积分为最小。即
性能指标值的大小依赖于控制作用的整体u(· )的选择， 而不是取决于控制u(t)在t时刻的值；因此J[u(· )]是控制函 数u(· )的函数（称为u(· )的泛函）。
17
一般描述
最优控制问题可表述为：寻找一个容许控制u(t) ，使受控 系统从某个给定的初始状态 x(t0 ) x0 出发，在末端时刻 t f 达 到目标集，并且使性能指标J[u(· 达到极小值或极大值。 )] 如果问题有解，则称求得的容许控制为最优控制，记为 u*(t) ；在u*(t)作用下系统状态方程的解称为最优轨线，记为 x*(t) ；相应的性能指标值J [u*(· ，称为最优指标值。在数学 )] 上，最优控制问题的实质，是对受约束的泛函J[u(· )]求极值的 问题，其中的约束条件为系统的状态方程、目标集方程和容许 控制域。 开环控制与闭环控制：最优控制的一类形式是表示为时间 变量t的函数，称为程序控制或开环控制。它的缺点是不能抑 制扰动。最优控制的另一类形式是状态反馈，称为综合控制或 闭环控制。其优点是对抑制扰动有利。
2 2
2
最小的x。
解: f ' ( x) 2( x a1 ) 2( x a2 ) 2( x an ) 0
③ 目标集S 目标集可以表示为 S x{x(t f ) : x(t f ) R n , N1[ x(t f ), t f ] 0, N 2 [ x(t f ), t f ] 0}
上机教学四函数的极值与优化
在Matlab中，函数是采用M文件的方式存储的。 具体步骤如下：
1、新建一个M文件：通过点击主窗口左上的新建按钮。 2、输入函数内容：
例：函数 f(x1,x2)=exp(X1^2+X2)
应在M文件中输入如下：
2021/4/21
3
注意：
（1）、函数标识关键字：function
《高等数学》
—上机教学（四） 函数的极值与优化
Байду номын сангаас
2021/4/21
1
上机目的 上机内容
1、会使用Matlab求函数的极值； 2、会使用Matlab解决无约束最优化问题.
1、 Matlab中函数的输入与调用； 2、函数极值的求法； 3、无约束最优化问题.
2021/4/21
上机软件 MATLAB
2
第一节 Matlab中函数的输入与调用
LargeScale=’on’(默认值),使用大型算法 LargeScale=’off’(默认值),使用中型算法
[2] fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了4种算法，由 options中的参 数HessUpdate控制：
HessUpdate=’bfgs’（默认值），拟牛顿法的BFGS公式； HessUpdate=’dfp’，拟牛顿法的DFP公式； HessUpdate=’steepdesc’，最速下降法
[3] fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法，由options中参 数LineSearchType控制：
LineSearchType=’quadcubic’(缺省值)，混合的二次和三次多项式插值； LineSearchType=’cubicpoly’，三次多项式插
最优化方法与最优控制1
第一章 最优化方法的一般概念人们在处理日常生活、生产过程、经营管理、社会发展等实际问题时，都希望获得最佳的处理结果。
在有多种方案及各种具体措施可供选择时，处理结果与所选取方案和具体措施密切相关。
获取最佳处理结果的问题称为最优化问题。
针对最优化问题，如何选取满足要求的方案和具体措施，使所得结果最佳的方法称为最优化方法。
1-1 目标函数、约束条件和求解方法目标函数就是用数学方法描述处理问题所能够达到结果的函数，该函数的自变量是表示可供选择的方案及具体措施的一些参数或函数，最佳结果表现为目标函数取极值。
在处理实际问题时，通常会受到经济效率、物理条件、政策界限等许多方面的限制，这些限制的数学描述称为最优化问题的约束条件。
求解方法是获得最佳结果的必要手段，该方法使目标函数取极值，所得结果称为最优解。
针对各种类型的最优化问题，找出可靠、快捷的处理方法是最优化方法(理论)的研究范畴。
目标函数、约束条件和求解方法是最优化问题的三个基本要素。
无约束条件的最优化问题称为理想最优化问题，所得结果称为理想最优解。
下面用三个简单的例子，说明最优化问题的目标函数和约束条件。
例1-1 有一块薄的塑料板，宽为a ，对称地把两边折起，做成槽(如图1-1)。
欲使槽的横截面积S 最大，1x 、2x 和θ的最优值是多少？该问题要找出最优参数1x 、2x 和θ，使槽的横截面积S 最大，所以，目标函数为θθsin )cos (max 221x x x S ⋅+=； (1-1)由于底边与两个斜边的总长度应等于塑料板宽度a ，即约束条件为a x x =+212。
(1-2)有许多最优化问题可以方便地将等式约束条件代入目标函数中，使原问题转换为无约束条件的最优化问题，便于求解。
例1-1为无约束条件的最优化问题时，目标函数如下θθsin )cos 2(max 222x x x a S ⋅+-=。
(1-3)例1-2 仓库里存有20米长的钢管，现场施工需要100根6米长和80根8米长的钢管，问最少需要领取多少根20米长的钢管？用一根20米长的钢管，截出8米管或6米长管的方法只有三种，设：1x —1根长管截 成2根8米管的根数；2x —1根长管截成1根8米管和2根6米管的根数；3x —1根长管 截成3根6米管的根数。
函数的极值与最大(小)值(解析版)
函数的极值与最大(小)值(解析版)函数的极值与最大(小)值（解析版）函数的极值与最大(小)值是数学分析中一个重要的概念和研究内容，它在很多领域具有广泛的应用，如经济学、物理学、工程学等。
本文将介绍函数的极值与最大(小)值的定义、求解方法以及一些实际问题中的应用。
一、函数的极值与最大(小)值的概念函数的极值是指在一个特定的区间内，函数取得的最大值或最小值。
定义域中的极值点可以是局部极大值或局部极小值，也可是全局的最大值或最小值。
二、求解函数的极值与最大(小)值求解函数的极值与最大(小)值通常有以下方法：1. 导数法：根据函数的导数（或导函数），可以找到函数的驻点和拐点，并通过一阶和二阶导数的符号来判断极值点的类型，即极大值或极小值。
其中，一阶导数为零的点即为函数的驻点，二阶导数为零的点即为函数的拐点。
2. 边界法：在给定的区间内，如果函数在区间的端点处取得最大或最小值，则该值也是函数的极值。
通过比较函数在边界点和内部点的取值，可以确定函数的最大(小)值。
3. 高阶导数法：对于一些特殊的函数，可以通过多阶导数的方法求解极值。
通过计算函数的高阶导数，可以得到函数的极值点。
4. 参数方程法：对于参数方程给出的函数，可以通过求解参数方程中的参数值，得到函数的极值。
这种方法在实际问题中应用较多。
三、实际问题中的应用函数的极值与最大(小)值在各个领域中都有广泛的应用，例如：1. 经济学中，通过对供需函数的极值分析，可以确定市场的均衡价格和数量，从而指导市场调节和政策制定。
2. 物理学中，通过对物体运动轨迹方程的极值分析，可以确定物体在运动过程中最大(小)值速度、加速度等相关参数。
3. 工程学中，通过对成本、效益、材料使用等函数的极值分析，可以优化设计方案，提高工程效率和经济性。
4. 生物学中，通过对生态系统中的种群数量变化函数的极值分析，可以研究种群的稳定性和生态系统的平衡状态。
总之，函数的极值与最大(小)值是数学分析中的重要内容，它不仅具有理论意义，还在实际应用中发挥着重要的作用。
函数的极值问题
函数的极值问题函数的极值问题是微积分中的重要概念，它涉及到函数的最大值和最小值，并在数学和实际应用中发挥着重要作用。
本文将介绍函数的极值问题的定义、求解方法以及一些实际应用。
一、定义函数的极小值和极大值统称为极值。
极大值是函数在某个定义域内取得的最大值，而极小值是函数在定义域内取得的最小值。
二、求解方法要求解函数的极值，一般需要进行以下步骤：1. 找出函数的定义域首先确定函数的定义域，即函数有效的取值范围。
定义域一般由函数的自变量的取值范围决定。
2. 求出函数的导数求出函数的导数是求解极值问题的关键步骤。
通过求导，我们可以得到函数在不同点的斜率。
3. 导数为零的点将函数的导数设为零，求解得到导数为零的点。
这些点就是可能的极值点。
4. 极值点的判定通过二阶导数判定法来判断导数为零的点是极大值点还是极小值点。
如果二阶导数大于零，则为极小值点；如果二阶导数小于零，则为极大值点。
5. 检验极值将极值点代入原函数中，检验是否为极值。
如果函数在该点处取得的值确实是最大值或最小值，则该点为函数的极值点。
三、实际应用函数的极值问题在实际应用中有广泛的应用，以下是一些常见的例子：1. 经济学中的最优化问题在经济学中，我们需要通过最大化或最小化某种指标来解决一些问题。
例如，生产者想要最大化利润，而消费者则试图最大化效用。
通过将问题建模成数学函数，并求解函数的极值，可以找到最优解。
2. 工程中的最优设计问题在工程领域中，比如建筑设计和物流规划，我们常常需要找到最优的设计方案。
通过建立数学模型，并求解函数的极值，可以得到最优设计方案。
3. 自然科学中的优化问题在自然科学中，函数的极值问题也有重要的应用。
例如，在物理学中，我们需要找到某个物理量达到最大或最小值时的条件。
通过求解函数的极值，可以得到这些条件。
结论函数的极值问题是微积分中的重要概念，通过求解函数的极值，我们可以解决一些优化问题。
本文介绍了函数极值问题的定义、求解方法以及应用领域。
函数的极值与最优化问题求解
函数的极值与最优化问题求解在数学中，函数的极值与最优化问题求解是一个重要的研究领域。
函数的极值是指函数在一个特定区间或整个定义域内取得的最大值或最小值，而最优化问题则是在给定约束条件下寻找使目标函数取得最大值或最小值的解。
本文将介绍函数的极值的计算方法和最优化问题的求解策略。
一、函数的极值1. 极大值与极小值对于一个函数，极大值和极小值分别代表了该函数在某个区间内取得的最大值和最小值。
函数的极值点是函数增减性发生变化的点，也即函数的导数为零或不存在的点。
根据极值点的定义，可以通过以下步骤计算函数的极值：（1）求导：计算函数的导数；（2）解方程：将导数等于零的方程进行求解，求出极值点；（3）求二阶导数并判别：对导数等于零的点求二阶导数，并根据二阶导数的正负来判断该点是极大值还是极小值。
2. 实例分析以函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 为例，来计算它在定义域内的极值。
（1）求导：f'(x) = 3x^2 - 6x + 2；（2）解方程：解方程 3x^2 - 6x + 2 = 0，得到极值点；（3）求二阶导数并判别：对极值点进行二阶导数计算，f''(x) = 6x - 6。
当 x = 1 时，f''(1) = 0，且 f''(x) > 0，因此 x = 1 是极小值点。
二、最优化问题求解最优化问题是通过约束条件寻找目标函数的最大值或最小值。
最优化问题常见的解决方法有暴力搜索、梯度下降法和拉格朗日乘子法等。
下面将介绍其中两种常用的求解策略。
1. 暴力搜索暴力搜索是一种简单直接的求解方法，通过穷举法遍历所有可能的解，然后比较目标函数的取值，找到最大值或最小值。
虽然暴力搜索可以保证找到最优解，但当问题规模较大时，其计算量会非常大。
2. 梯度下降法梯度下降法是一种基于导数信息进行搜索的优化算法。
其基本思想是从初始点开始，以当前点的负梯度方向为搜索方向，通过迭代更新当前点，直至找到最优解。
函数的极值问题及其实际应用
函数的极值问题及其实际应用随着科技和社会发展的进步，如何将数学知识应用至实际生活中成为一项重要的任务。
其中函数的极值问题便是一个常见而又实用的数学问题。
一、极值的定义首先，我们需要明确极值的定义。
极值是指函数在某一特定区间内的最大值或最小值。
函数的极值可以被用来确定实际问题中的最优解或最劣解。
举个例子，我们可以使用函数的极值来确定某种产品最佳的生产量。
二、求解极值的方法为了确定函数的极值，我们需要求出函数的导数并找到导数为零的点。
这些点称为函数的临界点。
当然，临界点并不一定是函数的极值。
接着，我们需要利用二阶导数来判断这些临界点是否为极值点。
如果二阶导数是正数，那么该点为函数的最小值点。
如果二阶导数是负数，那么该点为函数的最大值点。
三、极值问题的实际应用在实际生活中，函数的极值往往可用于我们解决一些重大的问题。
下面将以两个具体例子来说明函数的极值问题的实际应用。
1、最优化问题最优化问题是指在一定的限制条件下来寻找函数的最大值或最小值。
其中的限制条件例如品质要求、成本限制、时间限制、资源限制等等。
这些限制条件反映在求解过程中，往往被成为约束条件。
在各种工程、科学和经济决策问题中，最优化问题都是比较普遍和重要的。
例如，在生产过程中，如何使总生产成本最小，如何使总过程时间最短，在维护成本、抵御风险等问题中，都是需要考虑最优化问题的。
2、田地划分问题田地划分问题是一个古老而又实用的数学问题。
假设一个农民手中有一块矩形形状的田地，他想利用这个田地来种不同的作物。
为了最大化收益，这位农民需要将这块田地划分成若干个相等的小块，并在每个小块中种植最优作物。
利用函数的极值，我们可以确定最优的划分方式，从而达到最大化收益的目的。
四、总结函数的极值问题及其实际应用是数学学科中的一个重要部分。
通过求解极值问题，我们可以找到最优解或最劣解，从而在实际问题中取得最佳效果。
应用函数的极值问题，在工程、科学和经济等领域都有着广泛的应用。
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为简单起见，今后我们将只讨论极小，式 （2-1）和（2-2）一起构成 f ( x ) 为极小值的充分 条件。当 f '' (x*) 0时，也可能有极小值，不过要 检验高阶导数。
上述情况可用图2-1来表示。R点是局部极小点， 又是总体极小点，U只是局部极小点， T 是局部极 大点， S是拐点，不是极值点。
* x x 1 1 * x x 2 2
2 f (x 1 ,x 2) '' * fx2x2 (X ) * 2 x x 1 1 * x x x 2 2 2
2 f (x 1 ,x 2) '' * fx (X ) x 1 2 x x 1 2
* x x 1 1 * x x 2 2
*
f f x x x x x 1 1 1 1 2 1 2 2 [ x x ] o ( x ) , ( x ) 1 1 2 2 f f x 2 ! x x x x 2 * 1 2 2 2 X X
2 2 o [ ( x ) ,( x ) 1 2 ]表示高阶无穷小。将（2-4）式用
向量矩阵形式表示
f x 1 f ( X ) f ( x , x ) f ( X ) x x 1 2 1 2 f x * 2 X X
(2-7) （2-8）
T '' X fx X 0
则这个极值为极小值。由于 X是任意的不为零 的向量，要使（2-8）式成立，由矩阵理论可知， '' f 二阶导数矩阵（又称为Hessian阵） X 必须是正 定的。正定阵形式上可表示为
" fX 0
（2-7）和（2-9）一起构成了 f ( X ) 在 X x ,x 1 2
a a a 1 2 n x n
* f "(x )2 n0
故解使达到极小。本例是著名的最小二乘问题。
二元函数极值问题
下面考虑二元函数 f (x1, x2) 的极值问题。设
* * T f (x , x ) f( x ,x ) f( X ) 处取得极小值，记 ， 1 2 在 X* x , x 1 2 1 2
件为一阶导数向量等于零向量，即
f f, f, , f
' X ' ' x 1 x 2
' T * x nX X
1T ' ' 2 2 (2-5) f () X X f X f X ox ( ) , ( x ) * 1 2 X 2 !
* T ' * X
式中，
x1 X x2
x1 X x 2
f f f * x x 1 2X X
' * X T
f
'' * X
fx x 1 1 f x 1x2
*
fx x 1 2 fx x 2 2 XX*
* *
(2-6)
f( X ) f( x ,x )取极值的必要条 由（2-5）式可知， 1 2 件为
进一步，若
* 0 fX
T f (X ) [x , x ] 这里 X （ T表示转置，X是列向量）。 在 1 2
XX*处取得极小值的必要条件和充分条件可如
下求得。将 f ( X ) 在 XX*周围展开为泰勒级数
* * f ( X ) f ( x , x ) f ( x x , x x ) 1 2 1 1 2 2
df (x ) f (x ) 0 dx xx*
' *
（2-1）
当
2 d f (x ) '' f (x ) 0 2 dx xx*
（2-2）
f ( x ) 为极小。
当
2 d f (x ) '' f (x ) 0 2 dx xx*
（2-3）
f ( x ) 为极大。
第二章 静态优化——函数的极值问题
本章主要内容:
2.1 2.2 2.3 2.4
无约束条件的函数极值问题 有约束条件的函数极值问题 小结 习题
2.1 无约束条件的函数极值问题
一元函数极值问题 二元函数极值问题
多元函数极值问题
一元函数的极值问题
一元函数 f ( x)在 x x*处取极值的必要条件为
（2-9）
T
处取极小值的充分条件。
多元函数极值问题
设n个变量的多元函数为
f ( X ) f ( x , x , , x ) 1 2 n
式中
x1 x 2 X xn
T * ** * f ( X ) 则 在 X 处有极小值的必要条 X x , x , x 1 2 n
图2-1 函数的极值点和拐点
例 2-1 求使
2 2 2 f ( x ) ( x a ) ( x a ) ( x a ) 1 2 n
最小的x。
' 解: f ( x ) 2 ( x a ) 2 ( x a ) 2 ( x a ) 0 1 2 n
式中
f (X )
' x 1 *
f (x 1 ,x 2) x 1
f (x 1 ,x 2) x2
* x x 1 1 * x x2 2
* x 1x 1 * x2x2
f (X )
' x2 *
'' * fx ( X ) x 1 1
2 f (x 1 ,x 2) x
2 1
1 * ' * ' * ' ' * 2 f () X fX () x f () X x [ f () X ( x ) x 1 x 2 x x 1 1 2 1 1 2 !
' ' * ' ' * 2 2 2 （2-4） 2 fX ( ) x x f ( X ) ( x ) ] 0 [ ( xx ) , ( ) ] x x 1 2x x 2 1 2 1 2 2 2