连续型随机变量及其概率分布

x x
lim
f (t )dt 0
x0 x
由此可以得到如下结论：
由P(A)=0, 不能推出
由P(B)=1, 不能推出 B=S
二、分布函数与概率密度函数
4、连续型随机变量任意区间内的概率求法 由于连续型随机变量X ,x R, P( X x) 0 a, b R, a b P(a X b) P(a X b) P(a X b)
b
P(a X b) F (b) F (a) a f ( x)dx
总之：连续型随机变量X
P( X D) f ( x)dx D
二、分布函数与概率密度函数
5、连续型随机变量分布函数与密度函数关系.
连续型随机变量X
由于F ( x) P( X x)
x
f (t)dt
x
F ( x) ( f (t )dt ) f ( x)
lim
x 0
x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是X 落
在区间 (x, x x] 上的概率与区间长度 x 之比的
极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x) 相当于
线密度.
二、分布函数与概率密度函数
6、连续型随机变量密度函数的意义.
f ( x) F ( x) lim P( x X x x)
F(a) lim F( x) , xa
即
A
Fra Baidu bibliotek
B arcsin
a a
A
2
B
0,
A
B arcsin
a a
A
2
B
1,
二、分布函数与概率密度函数
f(x)
0a
x b
离散型随机变量X , P(a X b) pk a xk b
n
连续型随机变量X , P(a
X
b)= lim x 0
i 1
f ( xi )xi
b
f ( x)dx
a
(即区间内诸多小面积微元s f ( x)x之和)
二、分布函数与概率密度函数
f (x)
oa
x
要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a的高度
(
x)
x
2
1
x0 0 x1
1 x
求：概率密度函数f ( x)以及P(0.3 X 0.7)
解：由题可知，f
(
x)
F
(
x)
2 0
x
0 x1 其它
P(0.3 X 0.7) F (0.7) F (0.3) 0.72 0.32 0.4
二、分布函数与概率密度函数
练习1 设连续型随机变量 X 的分布函数为
2、概率密度函数的性质
1 o f (x) 0
2 o f ( x)dx 1 f(x)
【注】这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某连续型X 概率密度的充要条件
面积为1
x
0
二、分布函数与概率密度函数
1、分布函数是研究随机变量概率分布的统一工具
离散型随机变量：
F( x) P( X x) P( X xk ) pk
0,
x a,
F
(
x)
A
B
arcsin
x a
,
a
x a,
1,
x a.
求 : (1) 系数 A, B 的值;
(2) P{a X a}; 2
(3) 随机变量 X 的概率密度.
二、分布函数与概率密度函数
解 (1) 因为 X 是连续型随机变量, 所以F ( x)连续,
故有 F(a) lim F( x), xa
(取值)，并不反映X取值的概率. 但是，这个高度越
大，则X取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在
某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的
程度.
二、分布函数与概率密度函数
kx
例1
设连续型随机变量X :
f
(x)
2
x
2
0
0 x3 3 x4
其它
求：(1)常数k (2)F ( x) (3)P(1 X 7 2)
随机变量及其分布
第四节 连续型随机变量 及其概率分布
一、连续型随机变量及其密度函数
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那 样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分 布,而是通过给出所谓“概率密度函数”,研究随机 变量落入某个区间内的概率.
一、连续型随机变量及其密度函数
x x
lim
f (t)dt 0
x0 x
正是由于分布函数的为连续函数，随机变量才称 为连续型，这也是连续型随机变量的另一定义。
二、分布函数与概率密度函数
3、连续型随机变量取单点值概率为0.
连续型随机变量X ,x R, P( X x) 0
P( X x) lim P( x X x x) x 0
由此可知：分布函数求导等于概率密度函数； 密度函数求积分等于分布函数。
二、分布函数与概率密度函数
6、连续型随机变量密度函数的意义.
对 f(x)的进一步理解: 若 x 是 f(x) 的连续点，则
f ( x) F ( x) lim F ( x x) F ( x)
x 0
x
P( x X x x)
xk x
xk x
连续型随机变量：
x
F ( x) P( X x) f (t)dt
f(x)
x
0
x
二、分布函数与概率密度函数
2、连续型随机变量的分布函数处处连续 证明：x R,设自变量改变量x
lim F lim F ( x x) F ( x)
x 0
x 0
lim P( x X x x) x0
x 0
x
P( x X x x) f ( x) (无穷小量)
x
P( x X x x)=f ( x)x x
若不计高阶无穷小，有 P{x X x x} f ( x)x
f ( x)x在连续型变量理论中所起的作用与 P( X xk ) pk在离散型变量理论中所起的作用
相类似.
二、分布函数与概率密度函数
1、连续型随机变量与密度函数的概念
对于随机变量X，若存在非负可积函数f ( x)( x R)
使得随机变量X 取值任意区间 a, b的概率为
b
P(a X b) a f ( x)dx
则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度 函数，简称概率密度.
f(x) 几何定义
0a
x b
一、连续型随机变量及其密度函数
解：由归一性可知
0
3
4
x
f ( x)dx 0dx kxdx (2 )dx 0dx
0
3
2
4
0 1 kx2 3 (2x 1 x2 ) 4 0 1
20
43
k1 6
二、分布函数与概率密度函数
二、分布函数与概率密度函数
二、分布函数与概率密度函数
0
例2
设连续型随机变量X
:
F