苏教版数学高一数学苏教版必修4作业向量平行的坐标表示

课下能力提升(十九) 向量平行的坐标表示
一、填空题
1．若向量a ＝(－2,4)，b ＝(3，－6)，则下列说法正确的是________．(填序号)
①a 与b 共线且方向相同 ②a 与b 共线且方向相反 ③a 与b 是相反向量 ④a 与b 不共线
2．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP ＝12MN ，则P 点的坐标为________． 3．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________.
4．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b
的值等于________． 5．已知A (－2,3)，B (3，－1)，点P 在线段AB 上，且|AP |∶|PB |＝1∶2，则P 点坐标为________．
二、解答题
6．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．
(1)求3a ＋b －2c ；
(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；
(3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .
7．已知直角坐标平面上四点A (1,0)，B (4,3)，C (2,4)，D (0,2)，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．
8．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－1k a ＋1t
b ，是否存在正实数k ，t 使得x ∥y ？若存在，求出它们的取值范围；若不存在，请说明理由．
答 案
1．解析：∵a ＝(－2,4)，b ＝(3，－6)，∴a ＝－23
b . 又∵－23
<0，∴a 与b 共线且方向相反． 答案：②
2．解析：法一：设P (x ，y )，则MP ＝(x －3，y ＋2)，
12MN ＝12
(－5－3，－1＋2)＝⎝⎛⎭⎫－4，12.
∵MP ＝12MN ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－4，y ＋2＝12，∴⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－32. 法二：设P (x ，y )，∵MP ＝12MN ，∴P 是MN 的中点， 由中点坐标公式得：x ＝3＋(－5)2＝－1，y ＝－2－12＝－32
. 答案：⎝
⎛⎭⎫－1，－32 3．解析：由题意知a －c ＝(3－k ，－6)，
∵(a －c )∥b ，∴3－k 1＝－63
.∴k ＝5. 答案：5
4．解析：AB ＝(a －2，－2)，BC ＝(－a ，b )．
∵A 、B 、C 三点共线，∴2a ＝b (a －2)，即2a ＋2b ＝ab .
∴2a ＋2b ＝1，即1a ＋1b ＝12
. 答案：12
5．解析：设P (x ，y )，则AP ＝(x ＋2，y －3)，PB ＝(3－x ，－1－y )， ∵P 在线段AB 上，且|AP |∶|PB |＝1∶2，
∴AP ＝12PB ，∴(x ＋2，y －3)＝⎝⎛⎭⎫3－x 2，－1－y 2，
∴⎩⎨⎧ x ＋2＝3－
x 2，y －3＝－1－y 2
，∴⎩⎨⎧ x ＝－13，y ＝53，即P ⎝⎛⎭⎫－13，53. 答案：⎝⎛⎭
⎫－13，53 6．解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(0,6)．
(2)∵a ＝m b ＋n c ，
∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.解得m ＝59，n ＝89. (3)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，又a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，
2b －a ＝(－5,2)，∴3＋4k －5
＝2＋k 2.∴k ＝－1613. 7．证明：由已知得，AB ＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，
CD ＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．
∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴AB 与CD 共线．
∵AD ＝(0,2)－(1,0)＝(－1,2)，
∵3×2－3×(－1)≠0，∴AB 与AD 不共线．
∴AB ∥CD ，AB 与AD 不平行．
又|AB |＝32，|CD |＝22，∴|AB |≠|CD |，
即AB ≠CD .
∵BC ＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，AD ＝(－1,2)，
∴|BC |＝5＝|AD |，即BC ＝AD .
故四边形ABCD 是等腰梯形．
8．解：不存在．
依题意得，x ＝a ＋(t 2＋1)b ＝(1,2)＋(t 2＋1)(－2,1)
＝(－2t 2－1，t 2＋3)．
y ＝－1k a ＋1t b ＝－1k (1,2)＋1t
(－2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－1k －2t
，－2k ＋1t . 假设存在正实数k ，t ，使x ∥y ，
则(－2t 2－1)⎝⎛⎭⎫－2k ＋1t －(t 2＋3)·⎝⎛⎭
⎫－1k －2t ＝0， 化简得t 2＋1k ＋1t
＝0，即t 3＋t ＋k ＝0.∵k ，t 为正实数， ∴满足上式的k ，t 不存在，∴不存在这样的正实数k ，t ，使x ∥y .。