高考数学：不等式(高考真题+模拟新题)(文科)

高考数学：不等式（高考真题+模拟新题）（文科）

E1 不等式的概念与性质

10．B11、B12、E1[浙江卷] 设a >0,b >0,e 是自然对数的底数( ) A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ,则a >b B ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ,则a b D ．若e a －2a ＝e b －3b ,则a

10．A [解析] 本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否,考查观察、构想、推理的能力．由e a ＋2a ＝e b ＋3b ,有e a ＋3a >e b ＋3b ,令函数f (x )＝e x ＋3x ,则f (x )在(0,＋∞)上单调递增,∵f (a )>f (b ),∴a >b ,A 正确,B 错误；

由e a －2a ＝e b －3b ,有e a －2a b ,当a ,b ∈(ln2,＋∞)时,由f (a )

7．E1、B6、B7[湖南卷] 设a ＞b ＞1,c ＜0,给出下列三个结论： ①c a ＞c

b ；②a

c ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③

7．D [解析] 本题考查不等式性质、指数式和对数式的大小比较,意在考查考生对不等式性质、幂函数和对数函数的性质的运用能力；解题思路：转化为幂函数比较大小,利用换底公式比较对数式的大小．由不等式的基本性质可知①对；幂函数y ＝x c (c <0)在(0,＋∞)上单调递减,又a ＞b ＞1,所以②对；由对数函数的单调性可得log b (a －c )＞log b (b －c ),又由对数的换底公式可知log b (b －c ) ＞log a (b －c ),所以log b (a －c )＞log a (b －c ),故选项D 正确．

[易错点] 本题易错一：不等式基本性质不了解,以为①错；易错二：指数式大小比较,利用指数函数的性质比较,容易出错；易错三：对换底公式不了解,无法比较,错以为③错．

1．E1、E3[北京卷] 已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0},B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0},则A ∩B ＝( )

A ．(－∞,－1) B.⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－1，－23

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫

－23，3 D ．(3,＋∞)

1．D [解析] 本题考查集合的表示、集合交集运算和一元一次、一元二次不等式求解． 因为

A ＝{x |3x ＋2>0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪

⎪⎪

x >－2

3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23

，＋∞,

B ＝{x |x <－1或x >3}＝(－∞,－1)∪(3,＋∞), 所以A ∩B ＝(3,＋∞),答案为D.

6．D3、E1[北京卷] 已知{a n }为等比数列,下面结论中正确的是( ) A ．a 1＋a 3≥2a 2

B ．a 21＋a 23≥2a 2

2

C ．若a 1＝a 3,则a 1＝a 2

D ．若a 3>a 1,则a 4>a 2

6．B [解析] 本题考查等比数列通项、简单不等式性质与均值不等式．

对于A 选项,当数列{a n }首项为负值,公比为负值时明显不成立,比如a n ＝(－1)n ,a 1＋a 3＝－

2<2a 2＝2,故A 错误；对于B 选项,a 21 ＋ a 23 ≥2|a 1 a 3 | ＝ 2a 22 ,明显成立,故B 正确；

对于C 选项,由a 1＝a 3＝a 1q 2只能得出等比数列公比q 2＝1,q ＝±1,当q ＝－1时,a 1≠a 2,故C 错误；对于选项D,由a 3>a 1可得a 1(q 2－1)>0,而a 4－a 2＝a 2(q 2－1)＝a 1q (q 2－1)的符号还受到q 符号的影响,不一定为正,也就得不出a 4>a 2,故D 错误．

E2 绝对值不等式的解法

9．E2[天津卷] 集合A ＝{ x ∈R ||x －2|≤5}中的最小整数为________．

9．－3 [解析] 将|x －2|≤5去绝对值得－5≤x －2≤5,解之得－3≤x ≤7,∴x 的最小整数为－3.

E3 一元二次不等式的解法

13．E3[江苏卷] 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ,b ∈R )的值域为[0,＋∞),若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ,m ＋6),则实数c 的值为________．

13．9 [解析] 本题考查二次函数的解析式以及性质和一元二次不等式的解法．解题突破口为二次函数的性质及三个“二次”之间的关系．

由条件得a 2－4b ＝0,从而f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋a 22,

不等式f (x )

2＋c , 故⎩⎪⎨⎪⎧

－a 2－c ＝m ，－a

2＋

c ＝m ＋6，

两式相减得c ＝3,c ＝9.

12．E3[湖南卷] 不等式x 2－5x ＋6≤0的解集为________．

12．{x |2≤x ≤3} [解析] 本题考查解一元二次不等式,意在考查考生解一元二次不等式． 解不等式得 (x －2)(x －3)≤0,即2≤x ≤3,所以不等式的解集是{x |2≤x ≤3}．

[易错点] 本题易错一：把不等式解集的界点忘记,没包括2或者3,错解为{x |2

14．A2、A3、B3、E3[北京卷] 已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3),g (x )＝2x －2,若∀x ∈R ,f (x )<0或g (x )<0,则m 的取值范围是________．

14．(－4,0) [解析] 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能,考查分类讨论的数学思想、分析问题和解决问题以及综合运用知识的能力．

由已知g (x )＝2x －2<0,可得x <1,要使∀x ∈R ,f (x )<0或g (x )<0,必须使x ≥1时,f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0恒成立,

当m ＝0时,f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)＝0不满足条件,所以二次函数f (x )必须开口向下,也就是m <0,要满足条件,必须使方程f (x )＝0的两根2m ,－m －3都小于1,即⎩⎨⎧

2m <1，

－m －3<1， 可得m

∈(－4,0)．

1．E1、E3[北京卷] 已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0},B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0},则A ∩B ＝( )