世界数学难题、趣味数学、幻方

世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题
18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)，那里的普莱格尔河上有七座桥。

将河中的两个岛和河岸连结，城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题………… 这就是哥尼斯堡七桥问题，一个著名的图论问题。

1727年在欧拉20岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡（原列宁格勒）的科学院做研究。

他的德国朋友告诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。

欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。

他把这个难题化成了这样的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七桥问题”就等价于下图中所画图形的一笔画问题了，这个图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。

经过研究，欧拉发现了一笔画的规律。

他认为，能一笔画的图形必须是连通图。

连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的图就是连通图。

但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。

能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。

那么什么叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。

如下图中的①、④为奇点，②、
③为偶点。

1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。

画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

例如下图都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤→⑦→②→④→⑥→⑦→①
2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。

画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

例如下图的线路是：
①→②→③→①→④
3．其他情况的图都不能一笔画出。

聪明的博友们，想必你们已经知道哥尼斯堡七桥问题的答案了吧！
留一道作业：下面的五环标志可否一笔画成？如何画？
数学长联
前几天在网上发现一个数学长联，写的非常好，可以说是对数学的一个简单概括，并且还加了注释，对了解古今数学的发展很有帮助，现转载如下：
宏著传中外，但以立言，心灵独得。

探三勾四股定理、九章名术、宫格算方、四元奇术、解几微分、集合线规、向量概率、分图
四色，何其博大超凡。

茫茫数海莫惊疑，形山隐隐观，求根本、觅秘踪，掩卷扪心任思行，休理会，帘外五更风雨冷！
先贤彰古今，惟因求治，道脉谁承？仰八卦两仪伏羲、五体志宏、七桥欧勒、九解杨辉、几何黎曼，割圆刘徽、流数牛顿、堆垒罗庚，更极精深入圣。

赫赫功勋须礼赞，伟业煌煌展，索真经、寻至理，启扉俯首专微巨，可听闻？案头三尺地天宽!
探三勾四股定理：战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着西周商高同周公的一段对话。

商高说："…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。

人们就简单地把这个事实说成"勾三股四弦五"。

人们就把它叫作为“勾股定理”，最早用于测量和求面积。

九章名术：《九章算术》是中国古代数学专著，是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。

宫格算方：由洛书演化而来的宫格是一个横竖斜的数字相加都相等的方格，西方称为幻方，九宫格就是3×3幻方，也叫三阶幻方，有关宫格的数学著作有《九宫图说》。

四元奇术：元代数学家朱世杰在其著作《四元玉鉴》中，提出了“四元术”，即多元高次联立方程组的列法和解法。

它比西方的多元高次方程组解法要领先近五百年之久，在世界数学史上有着极其重要的地位和价值。

分图四色：四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。

它的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

”美国伊利诺大学哈肯，1976年6月与阿佩尔合作编制一个程序，在两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了历时100多年的难题四色定理的证明，轰动了世界。

“四色问题”的被证明，丰富了图论的数学理论内容，而且在有效地设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。

仰八卦两仪伏羲：伏羲(约前1万年),上古圣人。

伏羲为人类文明进步做出的具大贡献是始画八卦。

早在十七世纪,德国大数学家莱布尼兹创立“中国学院”,研究八卦,并根据八卦的“两仪,四象,八卦,十六,三十二,六十四卦”,发明了二进位记数和当地欧洲先进的计算机。

八卦中的许多奥妙神奇之处,至今还正在研究和探讨之中。

五体志宏：夏志宏1982年毕业于中国南京大学天文学系，1988年他美国西北大学获得博士学位。

1992年在美国数学年刊上发表的论文，彻底解决了庞勒维猜想，即找到了一个五体问题的解，这个解会在有限时间内产生一个非碰撞的奇点。

夏志宏已经成为国际动力系统和天体力学领域的领袖人物之一。

1999年夏志宏受聘为北京大学数学学院第一批长江计划特聘教授。

七桥欧勒：欧勒是18世纪数学界最杰出的人物之一，他的的最大功绩是扩展了微积分的领域，为分析学的一些重要分支(如无窮级数、微分方程)与微分几
何的产生和发展奠定了基础。

欧勒解决哥尼斯堡七桥问题，并把该问题抽象成为“一笔画”的数学原理更是令人惊叹。

九解杨辉：杨辉，中国南宋末年数学家。

他编撰的《详解九章算法》对《九章算术》原题目进行了全面解释，记载了贾宪的“增乘开方法”和“开方作法本源”图，即是二项式展开的各项系数排列图式，我国后人称这图为“杨辉三角”，这是杨辉的一大贡献。

比欧洲的帕斯卡要早四百多年。

几何黎曼：黎曼，19世纪富有创造性的德国数学家、物理学家。

在复变函数与黎曼曲面的研究中建立了非常曲率的黎曼空间概念。

它的还把欧氏几何、非欧几何包进了他的体系之中，从而创立了高维抽象几何---黎曼几何。

割圆刘徽：刘徽是中国古代数学家,魏晋时期山东人。

割圆圓术──刘徽所创造之运用极限思想证明圆面积公式及计算圆周率的方法。

用无限分割的极限方法解決锥体体积时，刘徽还提出了一条重要原理。

流数牛顿：牛顿是微积分的创始人之一，同莱布尼兹一道名垂千古。

1665年，牛顿在23岁时便发现了“二项式定理”和“流数法”，“流数法”就是现代所说的微分法。

同时他还发现了流数法反演，即积分法。

微积分的创立，是近代数学史上的一次重大变革，是真正的变量数学，为近代科学发展提供了最有效的工具，开辟了数学上的一个新纪元。

堆垒罗庚：华罗庚是世界著名数学家，中国的爱因斯坦。

其专著《堆垒素论》系统地总结、发展与改进了哈代与李特尔伍德圆法、维诺格拉多夫三角和估计方法及他本人的方法，发表40余年来其主要结果仍居世界领先地位，先后被译为俄、匈、日、德、英文出版，成为20世纪经典数论著作之一。

数字构成的“宝塔”
数字似乎很单调，但能显示优美的节奏；数字似乎很乏味，但能奏出奇妙的旋律；数字似乎很抽象，但能勾勒神迷的画卷；数字似乎很渺小，但能构建巍峨的宝塔。

看了下面的式子你会体会的更深刻。

分牛的传说
故事发生在很久很久以前的印度，究竟何年何月就很难说了。

话说古印度有一个老头，他临死之前把三个儿子叫到跟前。

“听着，”老头说，“我就要见真主去了，没有其他东西留给你们，只有十九头牛，你们分了吧，老大分总数
的1/2，老二分总数的1/4，老三分总数的1/5。

”说完不久他就咽气了，到“真主”那里去报道了。

既要遵守不准宰牛的教规，又要执行老头的遗嘱，应该怎样分才好呢？三个儿子都想不出恰当的办法，他们也曾请教了当时很多有学问的人，也没有解决。

有一天，一位老农民牵了一头牛从门前经过，看到这弟兄三人在唉声叹气，问明原因后，他思索了片刻后就说：“这个问题很容易解决，我把自己这头牛借给你们，凑成二十头，老大分1/2应得10头，老二分1/4应得5头，老三分1/5应得4头，余下一头刚好还给我。

”
聪明的办法，绝妙的主意，事情就这样完满的解决了。

但细想一下，这位老农提出的分法在数学上是否成立？为什么？
事实上，我们应注意一个事实，即：1/2+1/4+1/5=19/20<1。

按老人的遗嘱是把19头牛全部按要求分给三个儿子。

那么按要求第一轮分完后，还余下19/20头牛，还要按比例继续分下去。

照此办理，任何有限次分配总不能把19头牛全部分完。

而无穷无尽地分下去，三个兄弟所分得的牛各是一个无穷级数的和，或者说各是一个无穷递缩等比数列各项的和。

这三个无穷递缩等比数列的首项分别是19/2, 19/4,19/5，公比都是1/20,按照无穷递缩等比数列的各项和公式可以算出，三兄弟每人分得的牛分别为：10头，5头，4头。

同样可求：
可见，老农的办法也不光是一个智力游戏，在数学上也是完全合理的。

其实不借用老农的一匹马也可以执行老人的遗嘱。

因为把1/2∶1/4∶1/5化简可得10∶5∶4，恰好有10+5+4=19。

可见，分给老大10头、老二5头、老三4头是完全合乎老人的遗嘱要求的。

世界最迷人的数学难题
记得一位数学家对数学做过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，但数学却能提供以上的一切，给人快乐”。

数学依靠的是两样东西：逻辑与创造。

而人们对数学的追求则有两个目的：各种实用的目的以及数学的内在趣味。

对于一些人，这不仅仅指职业数学家，数
学的精髓在于它的美妙和它对于智力的挑战。

“数学是最聪明人之间的较量，因此非常具有挑战性，同时，数学的美丽使研究数学成为一种乐趣。

所以有人曾经组织对世界上的数学难题进行了投票，选出以下“世界最迷人的数学难题”。

第一名：“哥德巴赫猜想”
获奖理由：公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想:
(a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

(b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。

200年过去了，没有人证明它。

哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。

目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理(Chen…s Theorem) “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。

” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为“1 + 2 ”的形式。

我们说“哥德巴赫猜想”无愧于“世界最迷人的数学难题”第一的称号。

她用貌似平凡的外表，吸引无数数学家为她神魂颠倒、寝食难安。

不知道有多少数学家为她浪费了宝贵的青春，却不能娶她回家。

第二名：“四色猜想”
获奖理由：1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。

”
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。

世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。

1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。

四色猜想的计算机证明，轰动了世界。

第三名：“费马最後定理”
获奖理由：在三百六十多年前的某一天，费马突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式x2 + y2=z2的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的勾股弦定理（西方又称毕氏定理）。

费马声称当n>2时，就找不到满足x n+y n= z n的整数解，例如：方程式x3 +y3=z3就无法找到整数解。

始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。

这个号称世纪难题的费马最後定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而後快。

不过这个三百多年的数学悬案终於解决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决。

其实威利斯是利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明。

第四名：“孪生素数猜想”
获奖理由：1849年，波林那克提出孪生素生猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生素数。

孪生素数即相差2的一对素数。

例如3和5 ，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孪生素数。

1966年，中
国数学家陈景润在这方面得到最好的结果：存在无穷多个素数p，使p+2是不超过两个素数之积。

孪生素数猜想至今仍未解决，但一般人都认为是正确的。

第五名：“蜂窝猜想”
获奖理由：四世纪古希腊数学家佩波斯提出,蜂窝的优美形状,是自然界最有效劳动的代表。

他猜想,人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝,是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。

他的这一猜想称为"蜂窝猜想",但这一猜想一直没有人能证明。

1943年,匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所有首尾相连的正多边形中,正多边形的周长是最小的。

1943年,匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所有首尾相连的正多边形中,正多边形的周长是最小的。

但如果多边形的边是曲线时,会发生什么情况呢?陶斯认为,正六边形与其他任何形状的图形相比,它的周长最小,但他不能证明这一点。

而黑尔在考虑了周边是曲线时,无论是曲线向外突,还是向内凹,都证明了由许多正六边形组成的图形周长最校他已将19页的证明过程放在因特网上,许多专家都已看到了这一证明,认为黑尔的证明是正确的。

第六名：“几何尺规做图问题”
获奖理由：这里所说的“几何尺规做图问题”是指做图限制只能用直尺、圆规，而这里的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。

“几何尺规做图问题”包括以下四个问题
1.化圆为方－求作一正方形使其面积等於一已知圆；
2.三等分任意角；
3.倍立方－求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。

4.做正十七边形。

以上四个问题一直困扰数学家二千多年都不得其解，而实际上这前三大问题都已证明不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。

第四个问题是高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但後来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。

最简单的幻方就是平面幻方，还有立体幻方、高次幻方等。

对于立体幻方、高次幻方目前世界上很多数学家仍在研究，现在只讨论平面幻方。

对平面幻方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其它偶数(4n+2的形式) ⑴ N 为奇数时，最简单(1) 将1放在第一行中间一列; (2) 从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：按45°方向行走，如向右上每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1 (3) 如果行列范围超越矩阵范围，则回绕。

例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样加1; (4) 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，则把下一个数放在上一个数的下面。

⑵ N为4的倍数时采用对称元素交换法。

首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵，然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对称交换，即a(i,j)与a(n-1-i,n-1-j)交换，所有其它位置上的数不变。

(或者将对角线不变，其它位置对称交换也可) ⑶ N 为其它偶数时当n为非4倍数的偶数(即4n+2形)时：首先把大方阵分解为4个奇数(2m+1阶)子方阵。

按上述奇数阶幻方给分解的4个子方阵对应赋值上左子阵最小(i)，下右子阵次小(i+v)，下左子阵最大(i+3v)，上右子阵次大(i+2v) 即4个子方阵对应元素相差v，其中v=n*n/4 四个子矩阵由小到大排列方式为①③④②然后作相应的元素交换：a(i,j)与a(i+u,j)在同一列做对应交换(j<t或j>n-t+2), a(t-1,0)与a(t+u-1,0)；a(t-1,t-1)与a(t+u-1,t-1)两对元素交换其中
u=n/2，t=(n+2)/4 上述交换使每行每列与两对角线上元素之和相等。

奇阶幻方当n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。

可以用Merzirac法与loubere 法实现，根据我的研究，发现用国际象棋之马步也可构造出更为神奇的奇幻方，故命名为horse法。

偶阶幻方当n为偶数时，我们称幻方为偶阶幻方。

当n
可以被4整除时，我们称该偶阶幻方为双偶幻方；当n不可被4整除时，我们称该偶阶幻方为单偶幻方。

可用了Hire法、Strachey以及YinMagic将其实现，Strachey为单偶模型，我对双偶（4m阶）进行了重新修改，制作了另一个可行的数学模型，称之为Spring。

YinMagic是我于2002年设计的模型，他可以生成任意的偶阶幻方。

在填幻方前我们做如下约定：如填定数字超出幻方格范围，则把幻方看成是可以无限伸展的图形，如下图：Merzirac法生成奇阶幻方在第一行居中的方格内放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向下移一格继续填写。

如下图用Merziral法生成的5阶幻方：
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
loubere法生成奇阶幻方在居中的方格向上一格内放1，依次向右上方填
入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向上移二格继续填写。

如下图用Louberel 法生成的7阶幻方：30 39 48 1 10 19 28 38 47 7 9 18 27 29 46 6 8 17 26 35 37 5 14 16 25 34 36 45 13 15 24 33 42 44 4 21 23 32 41 43 3 12 22 31 40 49 2 11 20
先在任意一格内放入1。

向左走1步，并下走2步放入2(称为马步)，向左走1步，并下走2步放入3，依次类推放到n。

在n的下方放入n+1（称为跳步），再按上述方法放置到2n，在2n的下边放入2n+1。

如下图用Horse法生成的9阶幻方：77 58 39 20 1 72 53 34 15 6 68 49 30 11 73 63 44 25 16 78 59 40 21 2 64 54 35 26 7 69 50 31 12 74 55 45 36 17 79 60 41 22 3 65 46 37 27 8 70 51 32 13 75 56 47 28 18 80 61 42 23 4 66 57 38 19 9 71 52 33 14 76 67 48 29 10 81 62 43 24 5 一般的，令矩阵[1,1]为向右走一步，向上走一步，[-1,0]为向左走一步。

则马步可以表示为2X+Y，{X∈{[1,0], [-1,0]},Y∈{[0,1], [0,-1]}}∪{Y∈{[1,0], [-1,0]},X∈{[0,1], [0,-1]}}。

对于2X+Y相应的跳步可以为2Y,-Y,X,-Y,X,3X,3X+3Y。

上面的的是X型跳步。

Horse法生成的幻方为魔鬼幻方。

Hire法生成偶阶幻方将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j
列方格内的数字记为a(i,j)。

在A内两对角线上填写1、2、3、……、n，各行再填写1、2、3、……、n，使各行各列数字之和为n*(n+1)/2。

填写方法为:第1行从n到1填写，从第2行到第n/2行按从1到进行填写(第2行第1列填n，第2行第n列填1)，从第n/2+1到第n行按n到1进行填写，对角线的方格内数字不变。

如下所示为6阶填写方法： 1 5 4 3 2 6 6 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 6 6 5 3 4 2 1 6 2 4 3 5 1 1 5 4 3 2 6 如下所示为8阶填写方法（转置以后）：
1 8 1 1 8 8 8 1 7
2 2 2 7 7 2 7 6
3 3 3 6 3 6 6 5
4 4 4 4
5 5 5 4 5 5 5 5 4 4 4 3
6 6 6 3 6 3 3 2
7 7 7 2 2 7 2
8 1 8 8 1 1 1 8 将A上所有数字分别按如下算法计算，得到B，其中b(i,j)=n×（a(i,j)－1）。

则AT+B为目标幻方（AT 为A的转置矩阵）。

如下图用Hire法生成的8阶幻方：1 63 6 5 60 5
9 58 8 56 10 11 12 53 54 15 49 41 18 19 20 45 22 47 48 33 26 27 28 29 38 39 40 32 39 38 36 37 27 26 25 24 47 43 45 20 46 18 17 16 50 54 53 12 11 55 9 57 7 62 61 4 3 2 64 （1）.Strachey法生成单偶幻方将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。

将其等分为四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方。

A C D B A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方；B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；在A中间一行取m个小格，其中1格为该行居中1小格,另外m-1个小格任意,其他行左侧边缘取m列，将其与D相应方格内交换；B与C接近右侧m-1列相互交换。

如下图用Strachey法生成的6阶幻方：35 1 6 26 19 24 3 32 7 21 23 2531 9 2 22 27 20 8 28 33 17 10 15 30 5 34 12 14 16 4 36 29 13 18 11 （2）N 为其它偶数时当n为非4倍数的偶数(即4n+2形)时：首先把大方阵分解为4个奇数(2m+1阶)子方阵。

按上述奇数阶幻方给分解的4个子方阵对应赋值上左子阵最小(i)，下右子阵次小(i+v)，下左子阵最大(i+3v)，上右子阵次大(i+2v) 即4个子方阵对应元素相差v，其中v=n*n/4 四个子矩阵由小到大排列方式为①③④②然后作相应的元素交换：a(i,j)与a(i+u,j)在同一列做对应交换(j<t或j>n-t+2), a(t-1,0)与a(t+u-1,0)；a(t-1,t-1)与a(t+u-1,t-1)两对元素交换其中u=n/2，t=(n+2)/4 上述交换使每行每列与两对角线上元素之和相等。

----------------------- Spring法生成以偶幻方将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方。

将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j)。

先令a(i,j)=(i-1)*n+j，即第一行从左到可分别填写1、2、3、……、n；即第二行从左到可分别填写n+1、n+2、n+3、……、2n；…………之后进行对角交换。

对角交换有两种方法：
方法一；将左上区域i+j为偶数的与幻方内以中心点为对称点的右下角对角数字进行交换；将右上区域i+j为奇数的与幻方内以中心点为对称点的左下角对角数字进行交换。

（保证不同时为奇或偶即可。

）
方法二；将幻方等分成m*m个4阶幻方，将各4阶幻方中对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换。

如下图用Spring法生成的4阶幻方：16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 YinMagic构造偶阶幻方先构造n-2幻方，之后将其中的数字全部加上2n-2，放于n阶幻方中间，再用本方法将边缘数字填写完毕。

本方法适用于n>4的所有幻方，我于2002年12月31日构造的数学模型。

YinMagic法可生成6阶以上的偶幻方。

如下图用YinMagic法生成的6阶幻方：10 1 34 33 5 28 29 23 22 11 18 8 30 12 17 24 21 7 2 26 19 14 15 35 31 13 16 25 20 6 9 36 3 4 32 27
魔鬼幻方如将幻方看成是无限伸展的图形，则任何一个相邻的n*n方格内的数字都可以组成一个幻方。

则称该幻方为魔鬼幻方。

用我研究的Horse法构造的幻方是魔鬼幻方。

如下的幻方更是魔鬼幻方，因为对于任意四个在两行两列上的数字，他们的和都是34。

此幻方可用YinMagic方法生成。

15 10 3 6 4 5 16 9 14 11 2 7 1 8 13 12
罗伯法：1居上行正中央，仿次斜填莫相忘，上出框时往下填，右出框时左边放，排重便在下格填，右上排重一个样。

幻方的定义
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻
洛书，一个3阶幻方
方”。

我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。

n阶幻方与高阶幻方
n阶幻方是由前n^2（n的2次方）个自然数组成的一个n阶方阵，其各行、各列及两条对角线所含的n个数的和相等。

例子：（三阶幻方，幻和为15，）
4 9 2
3 5 7
8 1 6
三阶幻方中间必填5高次幻方是指，当组成幻方各数替换为其2，3,...,k 次幂时，仍满足幻方条件者，称此幻方为k次幻方。

反幻方
反幻方的定义：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和不相等，具有这种性质的图表，称为“反幻方”。

反幻方与正幻方最大的不同点是幻和不同，正幻方所有幻和都相同，而反幻方所有幻和都不同。

所谓幻和就是幻方的任意行、列及对角线几个数之和。

如下图3阶反幻方的比较。

反幻方
图中边框外围的数字之和就是幻和。

红色为偶数，黑色为奇数。

可以说反幻方是一种特殊的幻方。

反幻方的幻和可以全部不同，也可以部分相同。

如下图多种3阶反幻方。

多种反幻方
幻方的历史。