人教A版选修第二讲曲线的参数方程
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高中数学 第二讲《参数方程》全部教案 新人教A版选修4-4
曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
3．会进行参数方程和普通方程的互化。
教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
参数方程和普通方程的互化。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
参数方程和普通方程的等价互化。
教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。
)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。
例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。
高中数学人教A版选修4-4第二讲 一 1. 参数方程的概念 课件
[思路点拨] 此类问题关键是参数的选取．本例中由于 A、 B 的滑动而引起点 P 的运动，故可以 OB 的长为参数，或以角 为参数，不妨取 BP 与 x 轴正向夹角为参数来求解．
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a， 射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线 交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ， 由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线 位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________． 解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a， 射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线 交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ， 由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线 位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________． 解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
人教A版选修第二讲参数方程第一节曲线的参数方程教案
曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
3．会进行参数方程和普通方程的互化。
教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
参数方程和普通方程的互化。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
参数方程和普通方程的等价互化。
教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。
)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。
高二数学人教A版选修4-4课件：2.1 曲线的参数方程
第二讲 参数方程
-1-
一 曲线的参数方程
-2-
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
课程目标 1.知道参数方程、普通方程的概念,通过 参数方程和普通方程的比较,体会两者 的区别与联系. 2.会写圆的参数方程并了解其参数的意 义. 3.能用圆的参数方程解决一些简单问 题. 4.能进行普通方程和参数方程的互化.
思路分析:根据题目的条件,选取恰当的参数,联系动点 M(x,y)的坐标, 进而写出曲线的参数方程.
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
探究一
探究二
探究三
探究四
解:如图,设 OQ 是经过原点的任意一条弦,OQ 的中点是 M(x,y),设弦 OQ 和 x 轴的夹角为 θ,取 θ 作为参数,已知圆的圆心是 O'(a,0),连接 O'M,那 么 O'M⊥OQ,过点 M 作 MM'⊥OO',那么|OM|=acos θ.
)
x = t2, A. y = t-2
x = ������������������t,
C.
y
=
1 ������������������t
x = ������������������t,
B.
y
=
1 ������������������t
x = ������������������t,
D.
y
=
1 ������������������t
答案:D
-1-
一 曲线的参数方程
-2-
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J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
课程目标 1.知道参数方程、普通方程的概念,通过 参数方程和普通方程的比较,体会两者 的区别与联系. 2.会写圆的参数方程并了解其参数的意 义. 3.能用圆的参数方程解决一些简单问 题. 4.能进行普通方程和参数方程的互化.
思路分析:根据题目的条件,选取恰当的参数,联系动点 M(x,y)的坐标, 进而写出曲线的参数方程.
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J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
探究一
探究二
探究三
探究四
解:如图,设 OQ 是经过原点的任意一条弦,OQ 的中点是 M(x,y),设弦 OQ 和 x 轴的夹角为 θ,取 θ 作为参数,已知圆的圆心是 O'(a,0),连接 O'M,那 么 O'M⊥OQ,过点 M 作 MM'⊥OO',那么|OM|=acos θ.
)
x = t2, A. y = t-2
x = ������������������t,
C.
y
=
1 ������������������t
x = ������������������t,
B.
y
=
1 ������������������t
x = ������������������t,
D.
y
=
1 ������������������t
答案:D
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-2第二讲-参数方程
【解】
如图所示：
由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)， 点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐 标公式可知：
x＝6＋0＋6cosθ＝2＋2cosθ， 3 0＋3＋3sinθ y＝ ＝1＋sinθ. 3 x－22 由此，消去参数θ，得到所求的普通方程为 4 ＋(y－1)2＝ 1.
x－1＝cosθ， 3 【解】 (1)由题意可设 y＋2 ＝sinθ， 5
x＝1＋ 3cosθ， y＝－2＋ 5sinθ
即
(θ为参数)为所求．
2 2 x y (2)x2－y2＝4变形为： 4 － 4 ＝1.
x＝2secα， ∴参数方程为 y＝2tanα
2 x ＝ 2 pt ， 2 2．抛物线y ＝2px(p>0)的参数方程为 y＝2pt
y 1 由于 x ＝ t ，因此参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的点与 抛物线的顶点连线的斜率的倒数． 3．几个结论 x2 y2 (1)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 b2 ＋ a2 ＝1(a>b>0)，其参 数方程是 [0,2π)．
x2 y2 a2＋b2＝1
x＝acosφ， y＝bsinφ
x2 y2 a2－b2＝1
x＝asecφ， y＝btanφ
点的坐标
(rcosθ， rsinθ)
(acosφ，bsinφ)
(asecφ，btanφ)
这三种曲线的参数方程都是参数的三角形式．其中圆的参数θ 表示旋转角，而椭圆、双曲线的参数φ表示离心角，几何意义是不 同的，它们的参数方程主要应用价值在于： (1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标； (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角 函数性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题．
高中数学人教A版选修4-4第二讲曲线的参数方程及应用复习课件(共40张PPT)
8
8
8
评析：要求A、B两点到P的距离之和或积， 由参数的几何意义，即只要求 tA tB 或 | tA tB |，求 AB 即求出 tA tB ，运用韦达 定理和直线的参数方程中t的几何意义即可， 是解决直线和二次曲线问题常用的方法之一．
1．参数方程与普通方程的互化一定要讲究 方程的等价性． 2．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取 一点可考虑用其参数方程设定点的坐标， 将问题转化为三角函数问题求解． 3．在直线与圆和圆锥曲线位置关系问题中， 涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程 中参数的几何意义求解．
评析： 参数方程与普通方程的互化必须 充分注意探究方程的等价性，即互化前 后坐标取值范围的一致性．
素材1：已知曲线C1： xy
cos sin
(
为参数)，
曲线C2：x
2t 2
y
2t 2
2 (t为参数)
1 指出C1，C2各是什么曲线，并说明
C1与C2公共点的个数；
2 若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的
解析： 2压缩后的参数方程分别为C1：
x cos
y
1 2
sin
(为参数)；C2 ：x
y
2t 2 2t 4
2 ?(t为参数)．
化为普通方程为C1：x2
4y2
1，C2 ：y
1 2
x
2， 2
联立消元得2x2 2 2x 1 0，
其判别式 (2 2)2 4 2 1 0， 所以压缩后的直线C2 与椭圆C1仍然只有一个 公共点，和C1与C2公共点个数相同．
故选A.
4.圆心在 1, 2 ，半径为4的圆的参数方程是
x
y
1 4cos 2 4sin
2020年高中数学人教A版选修优化课件第二讲二第二课时双曲线、抛物线的参数方程
第一课时 椭圆的参数方程
考纲定位
重难突破
1.知道椭圆的参数方程，参数 重点：理解和掌握椭圆的参数
的意义.
方程.
2.会用椭圆的参数方程解决简 难点：椭圆的参数方程在实际
单问题.
问题中的应用.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
椭圆的参数方程
x＝acos φ，
23，
y＝32.
所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和 23，32.……………………………………5 分
(2)曲线 C1 的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中 0≤α＜π.因此 A 的极坐标为(2sin α， α)，B 的极坐标为(2 3cos α，α). ……………………………………………………8 分 所以|AB|＝|2sin α－2 3cos α|＝4sinα－π3. 当 α＝56π时，|AB|取得最大值，最大值为 4. ………………………………………10 分
1．中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆xa22＋by22＝1 的参数方程是___y_＝__b_s_in__φ___(φ 是参数)，
规定参数 φ 的取值范围是[0,2π)．
2
．
中
心
在
(
h
，
k
)
的
椭
圆
普
通
方
程
为
x－h2 a2
＋
y－k2 b2
＝
1
，
则
其
参
数
方
程
为
x＝h＋acos φ， __y_＝__k_＋__b_s_i_n_φ____(φ 是参数)．
为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线，垂足为 E.若|EF|＝|MF|，点 M 的横坐标是 3，
考纲定位
重难突破
1.知道椭圆的参数方程，参数 重点：理解和掌握椭圆的参数
的意义.
方程.
2.会用椭圆的参数方程解决简 难点：椭圆的参数方程在实际
单问题.
问题中的应用.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
椭圆的参数方程
x＝acos φ，
23，
y＝32.
所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和 23，32.……………………………………5 分
(2)曲线 C1 的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中 0≤α＜π.因此 A 的极坐标为(2sin α， α)，B 的极坐标为(2 3cos α，α). ……………………………………………………8 分 所以|AB|＝|2sin α－2 3cos α|＝4sinα－π3. 当 α＝56π时，|AB|取得最大值，最大值为 4. ………………………………………10 分
1．中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆xa22＋by22＝1 的参数方程是___y_＝__b_s_in__φ___(φ 是参数)，
规定参数 φ 的取值范围是[0,2π)．
2
．
中
心
在
(
h
，
k
)
的
椭
圆
普
通
方
程
为
x－h2 a2
＋
y－k2 b2
＝
1
，
则
其
参
数
方
程
为
x＝h＋acos φ， __y_＝__k_＋__b_s_i_n_φ____(φ 是参数)．
为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线，垂足为 E.若|EF|＝|MF|，点 M 的横坐标是 3，
2.2圆锥曲线的参数方程课件-高二A版数学(文)人教选修4-4
AD 20 cos, AB 16sin S 2016sin cos 160sin 2
所以, 矩形ABCD最大面积为160
D BA
2
AF
1
1
C
OF
B2
B
1
A XX
2
y
(为参数）
10sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x2 64
y2 100
1
二、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b • sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 2，π3. (1)求点A，B，C，D的直角坐标；
例2 已知A，B分别是椭圆 3x62 ＋y92 ＝1的右顶点和上顶点，动点 C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程.
解 由题意知A(6,0)，B(0,3).由于动点C在椭圆上运动， 故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时，t=0.
几何意义为：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
所以, 矩形ABCD最大面积为160
D BA
2
AF
1
1
C
OF
B2
B
1
A XX
2
y
(为参数）
10sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x2 64
y2 100
1
二、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b • sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 2，π3. (1)求点A，B，C，D的直角坐标；
例2 已知A，B分别是椭圆 3x62 ＋y92 ＝1的右顶点和上顶点，动点 C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程.
解 由题意知A(6,0)，B(0,3).由于动点C在椭圆上运动， 故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时，t=0.
几何意义为：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
高中数学人教A版选修4-4课件 第二讲参数方程2.1曲线的参数方程
名师点拨若圆心在点M0(x0,y0),半径为R,则圆的参数方程为 ������ = ������0 + ������cos������, (θ 为参数,0≤θ<2π). ������ = ������0 + ������sin������ 【做一做2】 圆x2+y2=16的参数方程为 ������ = 4cos������, 答案： ������ = 4sin������ (θ为参数).
名师点拨对参数方程的理解 1.参数方程的形式:方程组中有三个变数,其中x和y表示点的横、 纵坐标,第三个变数t叫做参变数,而且x与y分别是t的函数.由于横坐 标、纵坐标都是变数t的函数,因此给出一个t能唯一地求出对应的 x,y的值,因而能得到唯一的点. 2.参数的取值范围:在写曲线的参数方程时,必须指明参数的取值 范围;取值范围不同,所表示的曲线也可能会有所不同,同一曲线选 取的参数不同,曲线的参数方程可以有不同的形式. 3.参数方程与普通方程的统一性:普通方程是相对参数方程而言 的,普通方程反映了坐标变数x与y之间的直接联系,而参数方程是通 过参变数反映坐标变数x与y之间的间接联系;普通方程和参数方程 是同一曲线的两种不同表达形式,参数方程可以与普通方程进行互 化.
特别提醒1.将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量x和y取 值范围的扩大或者缩小,必须根据参数的取值范围确定f(t)和g(t)的 值域,即x和y的取值范围. 2.参数方程化为普通方程常用的方法是代入消参数法,当使用代 入消参数法比较复杂时,可对式子先进行化简,再消参数,有时要利 用代数恒等式的方法消去参数.
������ = cos2 ������, 做一���� = sin2 ������ 是 ; (2)直线y=2x的一个参数方程可以是 .
名师点拨对参数方程的理解 1.参数方程的形式:方程组中有三个变数,其中x和y表示点的横、 纵坐标,第三个变数t叫做参变数,而且x与y分别是t的函数.由于横坐 标、纵坐标都是变数t的函数,因此给出一个t能唯一地求出对应的 x,y的值,因而能得到唯一的点. 2.参数的取值范围:在写曲线的参数方程时,必须指明参数的取值 范围;取值范围不同,所表示的曲线也可能会有所不同,同一曲线选 取的参数不同,曲线的参数方程可以有不同的形式. 3.参数方程与普通方程的统一性:普通方程是相对参数方程而言 的,普通方程反映了坐标变数x与y之间的直接联系,而参数方程是通 过参变数反映坐标变数x与y之间的间接联系;普通方程和参数方程 是同一曲线的两种不同表达形式,参数方程可以与普通方程进行互 化.
特别提醒1.将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量x和y取 值范围的扩大或者缩小,必须根据参数的取值范围确定f(t)和g(t)的 值域,即x和y的取值范围. 2.参数方程化为普通方程常用的方法是代入消参数法,当使用代 入消参数法比较复杂时,可对式子先进行化简,再消参数,有时要利 用代数恒等式的方法消去参数.
������ = cos2 ������, 做一���� = sin2 ������ 是 ; (2)直线y=2x的一个参数方程可以是 .
人教高中数学 选修4-4第二讲 一、曲线的参数方程(共36张PPT)
投放点
由于水平方向与竖直方向 上是两种不同的运动，
因此,不易直接建立x,y所满 足的关系式。
？ 救援点
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；
（2）沿oy反方向作自由落体运动。
在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有
什么关系？
y
t时刻，水平位移为
500
x=100t，离地面高度y，即：
y=500-gt2/2，
x 100t,
y
500
1 2
gt2.
物资落地时，应有y=0，
o
x
即500-gt2/2=0，解得，t≈10.10s， 得x≈10.10m；
因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投 放物资，可以使其准确落在指定位置。
参数方程的概念：
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. 把参数方程化为普通方程：
一般地, 可以通过消去参数而从参数方程得到普通 方程；
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取 值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.
（1）参数方程通过消元（代入消元、加减消元、利用三角恒
等式消元等）消去参数化为普通方程。
例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们 各表示什么曲线？
(1)x= t1 (t为参数) y12 t
(2)xy=s1insinc2os(为参数).
解: (1)由x t 11 得 t x1 代入 y 12 t
得到 y2x3(x1)
这是以（1，1）为端点的一条射线；
(2 )xsin co s2sin () 所以x 2, 2 4 把 xsin co 平 s 方y 后 1 减 si2 n 去 得到 x2 y x 2, 2
高中数学人教A版选修第二讲参数方程一曲线的参数方程课件
（1）判断点M1（0,1）,M2（5,4）与曲线 C的位置关系；
（2）已知点M1（6，a）在曲线C上，求a 的值.
高中数学人教A版选修4-4 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 课件(共43张PPT)
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解:（1）把点M1（0，1）的坐标代入方程组 中，得t=0，所以点M1在曲线C上；同理，把点 M2（5，4）代入方程组中,得
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教学目标
知识与能力
1.了解圆的参数方程的概念; 2.培养同学们分析曲线的能力.
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能够在已有的经验（生活经验，数 学学习经验）的基础上，更好的了解参 数方程的概念.
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教学重难点
重点
1.分析圆的参数方程的几何意义. 2.圆的参数方程.
难点
1.根据问题的条件引进适当的参数. 2.选择适当的参数写出它们的参数方 3.体会圆的参数方程的意义.
（2）沿OY反方向作自由落体运动.
物资出舱后，在时刻t，水平方向的位移x=100t， 离地面的高度y=500-（1/2）gt2,
（2）已知点M1（6，a）在曲线C上，求a 的值.
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解:（1）把点M1（0，1）的坐标代入方程组 中，得t=0，所以点M1在曲线C上；同理，把点 M2（5，4）代入方程组中,得
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教学目标
知识与能力
1.了解圆的参数方程的概念; 2.培养同学们分析曲线的能力.
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能够在已有的经验（生活经验，数 学学习经验）的基础上，更好的了解参 数方程的概念.
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教学重难点
重点
1.分析圆的参数方程的几何意义. 2.圆的参数方程.
难点
1.根据问题的条件引进适当的参数. 2.选择适当的参数写出它们的参数方 3.体会圆的参数方程的意义.
（2）沿OY反方向作自由落体运动.
物资出舱后，在时刻t，水平方向的位移x=100t， 离地面的高度y=500-（1/2）gt2,
2.1曲线的参数方程 第二课时 课件(人教A版选修4-4)
1．直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆
x a rcos ， y b rsin (θ为参数)的圆心位于(
B)
A．第一象限 C．第三象限 A．(－1＋cos θ，sin θ) C．(－1＋2cos θ，2sin θ)
B．第二象限 D．第四象限 B．(1＋sin θ，cos θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ)
上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于点M.当点Q在圆C上运动
时，求点M的轨迹方程．
解析：设点 O 到 AQ 的距离为 d，则 1 1 |AM|· d＝ |OA|· |OM|· sin ∠AOM， 2 2 1 1 |QM|· d＝ |OQ|· |OM|· sin ∠QOM. 2 2 |AM| |OA| 2 → 2 → 又∵∠AOM＝∠QOM，∴ ＝ ＝ .∴AM＝ AQ. |QM| |OQ| 1 3 ∵点 Q 是圆 x2＋y2＝1 上的点， ∴设点 Q 的坐标为(cos θ， sin θ)，M(x，y)，得 2 (x－2，y－0)＝ (cos θ－2，sin θ－0)， 3 2 2 2 即 x－ ＝ cos θ，y＝ sin θ. 3 3 3 2 4 2 2 两式平方相加，得x－3 ＋y ＝ ， 9 2 4 2 2 ∴点 M 的轨迹方程为x－3 ＋y ＝ . 9
∵cos2t＋sin2t＝1，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4. 由于 0≤t≤π，∴0≤sin t≤1，从而 0≤y＋2≤2， 即－2≤y≤0. ∴所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
圆的直径AB上有两点C，D，且|AB|＝10，|AC|
把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形． 分析：把曲线的参数方程化为普通方程，就是将参数方 程中的参变量消去，常用的消参法有代入法、加减消元法、 乘除消元法、三角消元法，但要注意消去参数时变量范围的 一致性．
高中数学人教A版选修4-4课件 第二讲参数方程2.2圆锥曲线的参数方程
其中OA,OB分别是以原点O为圆心,a,b为半径的圆的半径. 2.当椭圆的普通方程不是标准形式时,也可以表示为参数方程的
(������-������)2 (������-������)2 形式 .如 2 + 2 =1(a>b>0)的参数方程可表示为 ������ ������
������ = ������ + ������cos������, (φ 为参数). ������ = ������ + ������sin������
二
圆锥曲线的参数方程
学 习 目 标 思 维 脉 络 1.掌握 椭圆、双曲线、抛物 线的参数方程,了解 参数方 圆锥曲线的参数方程 椭圆的参数方程及其应用 程中参数的几何意义. 2.能够 运用椭圆、双曲线、 双曲线的参数方程及其应用 抛物线的参数方程解决简 抛物线的参数方程及其应用 单问题.
1.椭圆的参数方程
������ = ������cos������, 数方程是 ������ = ������sin������ (φ 为参数).通常规定参数 φ 的取值范围为 φ ∈ [0,2π).
������2 (2)中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆 2 ������
������2 (1)中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 2 ������
答案：C
)
3.抛物线的参数方程 ������ = 2������������ 2 , (1)抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为 ������ = 2������������ (t为参数,t∈(∞,+∞)). (2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线 的斜率的倒数.
做一做3 抛物线y2=7x的参数方程为( ������ = 7������, A. (t 为参数) ������ = 7������ 2
(������-������)2 (������-������)2 形式 .如 2 + 2 =1(a>b>0)的参数方程可表示为 ������ ������
������ = ������ + ������cos������, (φ 为参数). ������ = ������ + ������sin������
二
圆锥曲线的参数方程
学 习 目 标 思 维 脉 络 1.掌握 椭圆、双曲线、抛物 线的参数方程,了解 参数方 圆锥曲线的参数方程 椭圆的参数方程及其应用 程中参数的几何意义. 2.能够 运用椭圆、双曲线、 双曲线的参数方程及其应用 抛物线的参数方程解决简 抛物线的参数方程及其应用 单问题.
1.椭圆的参数方程
������ = ������cos������, 数方程是 ������ = ������sin������ (φ 为参数).通常规定参数 φ 的取值范围为 φ ∈ [0,2π).
������2 (2)中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆 2 ������
������2 (1)中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 2 ������
答案：C
)
3.抛物线的参数方程 ������ = 2������������ 2 , (1)抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为 ������ = 2������������ (t为参数,t∈(∞,+∞)). (2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线 的斜率的倒数.
做一做3 抛物线y2=7x的参数方程为( ������ = 7������, A. (t 为参数) ������ = 7������ 2
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x r cos
y
r
sin
(为参数)
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圆心为原点半径为r 的圆的参数方程.
x r cos
y
r
sin
( 为参数)
其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到
OM的位置时，OM0转过的角度
y
圆心为O1(a, b) ， 半径为r 的圆的参数方程
x 100t,
y
500
1 2
gt
2.
物资落地时，应有y=0，
o
x
即500-gt2/2=0，解得，t≈10.10s，得x≈10.10m；
因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投 放物资，可以使其准确落在指定位置。
参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果
曲线C上任意一点P的坐标x,y都可以表示
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圆的参数方程
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圆周运动中，当物体绕定轴作匀速
运动时，物体上的各个点都作匀速圆周
解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所
以M1在曲线上．
5 3t
把点M2的坐标(5,4)代入方程组，得到
4
2t 2
1
这个方程无解，所以点M2不在曲线C上．
(2)因为点M3(6,a)在曲线C上，所以
6 3t
a
2t
2
1
解得t=2, a=9 所以，a=9.
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4 动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速度 分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨迹参 数方程.
投放点
由于水平方向与竖直方向 上是两种不同的运动，
因此,不易直接建立x,y所满 足的关系式。
？ 救援点
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；
（2）沿oy反方向作自由落体运动。
在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有
什么关系？
y
离地t面时高刻度，y水，平即位：移y=为5x0=0-1g0t02/t2，，500
运动，
y
怎样刻画运 动中点的位置 呢？
M(x, y)
r
M0
o
x
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如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x, y)，
那么θ=ωt. 设|OM|=r，那么由三角函数定义，有
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练习
1、曲线
x y
1 t 4t
2
(t为 参 数 ）与x轴的交点坐标是(
3
B)
A(1，4)； B (25/16, 0) C(1, -3) D(±25/16, 0)
2、方程
x y
sin cos
(为 参 数)所表示的曲线上一点的坐标是(
例1 已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，为
D)
A(2，7)； B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(1，0)
3
已知曲线C的参数方程是
x y
1 at 2
2t
(t为
参
数
，a
R)点M(5,4)
该曲线上. (1)求常数a; （2）求曲线C的普通方程
(1)由题意可知: 1+2t=5，at2=4；a=1，t=2；
(2)t x 1 代入第二个方程得: y=(x-1)2/4 2
第二讲 参数方程
1.参数方程的概念
一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速 度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区 指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投 放时机呢？
即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始 投放物资？
如图，建立平面直角坐标系。
x表示物资的水平位移量， y表示物资距地面的高度，
（0 x 1000）
普通方程
x,y的直接联系
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x 3t
例1:
已知曲线C的参数方程是
y
2
t
2
1（为参数）
(1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系；
(2)已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值。
为某个变量t的函数
x f (t),
y
g (t ),
反过来，对于t的每一个允许值，由函
数式 所确定的点P(x,y)都在曲线C上，
那么方程 叫做曲线C的参数方程， 变量t是参变数，简称参数。
x 100t （0 t 10） y 500- 1 gt2 2
x,y的间接联系
参数方程
y - x2 500， 2000
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
x 1 5t
y
2
12t
5、由方程x2 y2 4tx 2ty 5t 2 4 0(t为
参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是 D
A 一个定点 C 一条抛物线
B 一个椭圆 D 一条直线
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P
b
ry
x y
a b
r r
cos sin
(为
参
数)
v O
ax x
一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数， 另外，要注明参数及参数的取值范围。
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cost x ,sint y
r
r
即
x r cost
y
r
sin t
(t为参数)
这就是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程
参数 t 有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻)
考虑到θ=ωt，也可以取θ为参数，于是有
人教A 2 9 张P P T）