人教A版选修第二讲曲线的参数方程

运动，
y
怎样刻画运 动中点的位置 呢？
M(x, y)
r
M0
o
x
人教A 版选修4 - 4 第二讲2 . 1 曲线的参数方程（共2 9 张P P T）
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如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x, y)，
那么θ=ωt. 设|OM|=r，那么由三角函数定义，有
例1 已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，为
（0 x 1000）
普通方程
x,y的直接联系
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x 3t
例1:
已知曲线C的参数方程是
y
2
t
2
1（为参数）
(1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系；
(2)已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值。
x r cos
y
r
sin
(为参数)
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圆心为原点半径为r 的圆的参数方程.
x r cos
y
r
sin
( 为参数)
其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到
OM的位置时，OM0转过的角度
y
圆心为O1(a, b) ， 半径为r 的圆的参数方程
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圆的参数方程
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圆周运动中，当物体绕定轴作匀速
运动时，物体上的各个点都作匀速圆周
为某个变量t的函数
x f (t),
y
g (t ),
反过来，对于t的每一个允许值，由函
数式 所确定的点P(x,y)都在曲线C上，
那么方程 叫做曲线C的参数方程， 变量t是参变数，简称参数。
x 100t （0 t 10） y 500- 1 gt2 2
x,y的间接联系
参数方程
y - x2 500， 2000
投放点
由于水平方向与竖直方向 上是两种不同的运动，
因此,不易直接建立x,y所满 足的关系式。
？ 救援点
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；
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（2）沿oy反方向作自由落体运动。
在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有
什么关系？
y
离地t面时高刻度，y水，平即位：移y=为5x0=0-1g0t02/t2，，500
第二讲 参数方程
1.参数方程的概念
一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速 度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区 指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投 放时机呢？
即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始 投放物资？
如图，建立平面直角坐标系。
x表示物资的水平位移量， y表示物资距地面的高度，
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练习
1、曲线
x y
1 t 4t
2
(t为 参 数 ）与x轴的交点坐标是(
3
B)
A(1，4)； B (25/16, 0) C(1, -3) D(±25/16, 0)
2、方程
x y
sin cos
(为 参 数)所表示的曲线上一点的坐标是(
解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所
以M1在曲线上．
5 3t
把点M2的坐标(5,4)代入方程组，得到
4
2t 2
1
这个方程无解，所以点M2不在曲线C上．
(2)因为点M3(6,a)在曲线C上，所以
6 3t
a
2t
2
1
解得t=2, a=9 所以，a=9.
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D)
A(2，7)； B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(1，0)
3
已知曲线C的参数方程是
x y
1 at 2
2t
(t为
参
数
，a
R)点M(5,4)
该曲线上. (1)求常数a; （2）求曲线C的普通方程
(1)由题意可知: 1+2t=5，at2=4；a=1，t=2；
(2)t x 1 代入第二个方程得: y=(x-1)2/4 2
x 100t,
y
500
1 2
gt
2.
物资落地时，应有y=0，
o
x
即500-gt2/2=0，解得，t≈10.10s，得x≈10.10m；
因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投 放物资，可以使其准确落在指定位置。
参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果
曲线C上任意一点P的坐标x,y都可以表示
cost x ,sint y
r
r
即
x r cost
y
r
sin t
(t为参数)
这就是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程
参数 t 有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻)
考虑到θ=ωt，也可以取θ为参数，于是有
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解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
x 1 5t
y
2
12t
5、由方程x2 y2 4tx 2ty 5t 2 4 0(t为
参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是 D
A 一个定点 C 一条抛物线
B 一个椭圆 D 一条直线
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P
b
ry
x y
a b
r r
cos sin
(为
参
数)
v O
ax x
一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数， 另外，要注明参数及参数的取值范围。
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4 动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速度 分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨迹参 数方程.