人教A版选修第二讲曲线的参数方程
高中数学 第二讲《参数方程》全部教案 新人教A版选修4-4

曲线的参数方程教学目标:1.通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系,写出抛物运动轨迹的参数方程,体会参数的意义。
2.分析圆的几何性质,选择适当的参数写出它的参数方程。
3.会进行参数方程和普通方程的互化。
教学重点:根据问题的条件引进适当的参数,写出参数方程,体会参数的意义。
参数方程和普通方程的互化。
教学难点:根据几何性质选取恰当的参数,建立曲线的参数方程。
参数方程和普通方程的等价互化。
教学过程一.参数方程的概念1.探究:(1)平抛运动: 为参数)t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习:斜抛运动:为参数)t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2.参数方程的概念 (见教科书第22页) 说明:(1)一般来说,参数的变化X 围是有限制的。
(2)参数是联系变量x ,y 的桥梁,可以有实际意义,也可无实际意义。
例1.(教科书第22页例1)已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) (1)判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系; (2)已知点M 3(6,a )在曲线C 上,求a 的值。
)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ,、,、,、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二.圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明:(1)随着选取的参数不同,参数方程形式也有不同,但表示的曲线是相同的。
(2)在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值X 围。
例2.(教科书第24页例2)思考:你能回答教科书第25页的思考吗?三.参数方程和普通方程的互化1.阅读教科书第25页,明确参数方程和普通方程的互化的方法。
高中数学人教A版选修4-4第二讲 一 1. 参数方程的概念 课件

[解] 法一:设 P 点的坐标为(x,y),过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示,则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy==bascions
θ, θ.
这就是所求的轨迹方程.
9.如图所示,OA是圆C的直径,且OA=2a, 射线OB与圆交于Q点,和经过A点的切线 交于B点,作PQ⊥OA,PB∥OA,试求点P 的轨迹方程.
解:设 P(x,y)是轨迹上任意一点,取∠DOQ=θ, 由 PQ⊥OA,PB∥OA,得 x=OD=OQcosθ=OAcos2θ= 2acos2θ,y=AB=OAtan θ=2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy==22aatcaons2θθ,, θ∈-π2,π2.
解析:x轴上的点横坐标可取任意实数,纵坐标为0.
答案:D
2.若点P(4,a)在曲线x=2t , (t为参数)上,则a等于(
)
y=2 t
A.4
B.4 2
C.8
D.1
解析:根据题意,将点P坐标代入曲线方程中得
4=2t , a=2 t
⇒ta==84,2.
答案:B
3.在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式,点与曲线 位置关系的判断,与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的.
1.已知点 M(2,-2)在曲线 C:x=t+1t , (t 为参数)上, y=-2
则其对应的参数 t 的值为________. 解:由 t+1t =2 知 t=1. 答案:1
2.已知某条曲线 C 的参数方程为xy==a1t+2 2t, (其中 t 为参数, a∈R).点 M(5,4)在该曲线上,求常数 a.
人教A版选修第二讲参数方程第一节曲线的参数方程教案

曲线的参数方程教学目标:1.通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系,写出抛物运动轨迹的参数方程,体会参数的意义。
2.分析圆的几何性质,选择适当的参数写出它的参数方程。
3.会进行参数方程和普通方程的互化。
教学重点:根据问题的条件引进适当的参数,写出参数方程,体会参数的意义。
参数方程和普通方程的互化。
教学难点:根据几何性质选取恰当的参数,建立曲线的参数方程。
参数方程和普通方程的等价互化。
教学过程一.参数方程的概念1.探究:(1)平抛运动: 为参数)t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习:斜抛运动:为参数)t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2.参数方程的概念 (见教科书第22页) 说明:(1)一般来说,参数的变化范围是有限制的。
(2)参数是联系变量x ,y 的桥梁,可以有实际意义,也可无实际意义。
例1.(教科书第22页例1)已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) (1)判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系; (2)已知点M 3(6,a )在曲线C 上,求a 的值。
)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ,、,、,、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二.圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明:(1)随着选取的参数不同,参数方程形式也有不同,但表示的曲线是相同的。
(2)在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。
例2.(教科书第24页例2)思考:你能回答教科书第25页的思考吗?三.参数方程和普通方程的互化1.阅读教科书第25页,明确参数方程和普通方程的互化的方法。
高二数学人教A版选修4-4课件:2.1 曲线的参数方程

-1-
一 曲线的参数方程
-2-
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
课程目标 1.知道参数方程、普通方程的概念,通过 参数方程和普通方程的比较,体会两者 的区别与联系. 2.会写圆的参数方程并了解其参数的意 义. 3.能用圆的参数方程解决一些简单问 题. 4.能进行普通方程和参数方程的互化.
思路分析:根据题目的条件,选取恰当的参数,联系动点 M(x,y)的坐标, 进而写出曲线的参数方程.
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
探究一
探究二
探究三
探究四
解:如图,设 OQ 是经过原点的任意一条弦,OQ 的中点是 M(x,y),设弦 OQ 和 x 轴的夹角为 θ,取 θ 作为参数,已知圆的圆心是 O'(a,0),连接 O'M,那 么 O'M⊥OQ,过点 M 作 MM'⊥OO',那么|OM|=acos θ.
)
x = t2, A. y = t-2
x = ������������������t,
C.
y
=
1 ������������������t
x = ������������������t,
B.
y
=
1 ������������������t
x = ������������������t,
D.
y
=
1 ������������������t
答案:D
人教A版数学【选修4-4】ppt课件:2-2第二讲-参数方程

【解】
如图所示:
由动点C在该椭圆上运动,故可设C的坐标为(6cosθ,3sinθ), 点G的坐标为(x,y),由题意可知A(6,0),B(0,3),由三角形重心坐 标公式可知:
x=6+0+6cosθ=2+2cosθ, 3 0+3+3sinθ y= =1+sinθ. 3 x-22 由此,消去参数θ,得到所求的普通方程为 4 +(y-1)2= 1.
x-1=cosθ, 3 【解】 (1)由题意可设 y+2 =sinθ, 5
x=1+ 3cosθ, y=-2+ 5sinθ
即
(θ为参数)为所求.
2 2 x y (2)x2-y2=4变形为: 4 - 4 =1.
x=2secα, ∴参数方程为 y=2tanα
2 x = 2 pt , 2 2.抛物线y =2px(p>0)的参数方程为 y=2pt
y 1 由于 x = t ,因此参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的点与 抛物线的顶点连线的斜率的倒数. 3.几个结论 x2 y2 (1)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 b2 + a2 =1(a>b>0),其参 数方程是 [0,2π).
x2 y2 a2+b2=1
x=acosφ, y=bsinφ
x2 y2 a2-b2=1
x=asecφ, y=btanφ
点的坐标
(rcosθ, rsinθ)
(acosφ,bsinφ)
(asecφ,btanφ)
这三种曲线的参数方程都是参数的三角形式.其中圆的参数θ 表示旋转角,而椭圆、双曲线的参数φ表示离心角,几何意义是不 同的,它们的参数方程主要应用价值在于: (1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标; (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题,从而运用三角 函数性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题.
高中数学人教A版选修4-4第二讲曲线的参数方程及应用复习课件(共40张PPT)

8
8
8
评析:要求A、B两点到P的距离之和或积, 由参数的几何意义,即只要求 tA tB 或 | tA tB |,求 AB 即求出 tA tB ,运用韦达 定理和直线的参数方程中t的几何意义即可, 是解决直线和二次曲线问题常用的方法之一.
1.参数方程与普通方程的互化一定要讲究 方程的等价性. 2.在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取 一点可考虑用其参数方程设定点的坐标, 将问题转化为三角函数问题求解. 3.在直线与圆和圆锥曲线位置关系问题中, 涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程 中参数的几何意义求解.
评析: 参数方程与普通方程的互化必须 充分注意探究方程的等价性,即互化前 后坐标取值范围的一致性.
素材1:已知曲线C1: xy
cos sin
(
为参数),
曲线C2:x
2t 2
y
2t 2
2 (t为参数)
1 指出C1,C2各是什么曲线,并说明
C1与C2公共点的个数;
2 若把C1,C2上各点的纵坐标都压缩为原来的
解析: 2压缩后的参数方程分别为C1:
x cos
y
1 2
sin
(为参数);C2 :x
y
2t 2 2t 4
2 ?(t为参数).
化为普通方程为C1:x2
4y2
1,C2 :y
1 2
x
2, 2
联立消元得2x2 2 2x 1 0,
其判别式 (2 2)2 4 2 1 0, 所以压缩后的直线C2 与椭圆C1仍然只有一个 公共点,和C1与C2公共点个数相同.
故选A.
4.圆心在 1, 2 ,半径为4的圆的参数方程是
x
y
1 4cos 2 4sin
2020年高中数学人教A版选修优化课件第二讲二第二课时双曲线、抛物线的参数方程

考纲定位
重难突破
1.知道椭圆的参数方程,参数 重点:理解和掌握椭圆的参数
的意义.
方程.
2.会用椭圆的参数方程解决简 难点:椭圆的参数方程在实际
单问题.
问题中的应用.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
椭圆的参数方程
x=acos φ,
23,
y=32.
所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和 23,32.……………………………………5 分
(2)曲线 C1 的极坐标方程为 θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中 0≤α<π.因此 A 的极坐标为(2sin α, α),B 的极坐标为(2 3cos α,α). ……………………………………………………8 分 所以|AB|=|2sin α-2 3cos α|=4sinα-π3. 当 α=56π时,|AB|取得最大值,最大值为 4. ………………………………………10 分
1.中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆xa22+by22=1 的参数方程是___y_=__b_s_in__φ___(φ 是参数),
规定参数 φ 的取值范围是[0,2π).
2
.
中
心
在
(
h
,
k
)
的
椭
圆
普
通
方
程
为
x-h2 a2
+
y-k2 b2
=
1
,
则
其
参
数
方
程
为
x=h+acos φ, __y_=__k_+__b_s_i_n_φ____(φ 是参数).
为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线,垂足为 E.若|EF|=|MF|,点 M 的横坐标是 3,
2.2圆锥曲线的参数方程课件-高二A版数学(文)人教选修4-4

所以, 矩形ABCD最大面积为160
D BA
2
AF
1
1
C
OF
B2
B
1
A XX
2
y
(为参数)
10sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x2 64
y2 100
1
二、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中,x
| OA' | | OA | b b • sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中,y | BB ' || OB | • tan b • tan.
都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为 2,π3. (1)求点A,B,C,D的直角坐标;
例2 已知A,B分别是椭圆 3x62 +y92 =1的右顶点和上顶点,动点 C在该椭圆上运动,求△ABC的重心G的轨迹方程.
解 由题意知A(6,0),B(0,3).由于动点C在椭圆上运动, 故可设动点C的坐标为(6cos θ,3sin θ),点G的坐标设为(x,y),
抛物线的参数方程
y
M(x,y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数,t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时,t=0.
几何意义为:抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
高中数学人教A版选修4-4课件 第二讲参数方程2.1曲线的参数方程

名师点拨对参数方程的理解 1.参数方程的形式:方程组中有三个变数,其中x和y表示点的横、 纵坐标,第三个变数t叫做参变数,而且x与y分别是t的函数.由于横坐 标、纵坐标都是变数t的函数,因此给出一个t能唯一地求出对应的 x,y的值,因而能得到唯一的点. 2.参数的取值范围:在写曲线的参数方程时,必须指明参数的取值 范围;取值范围不同,所表示的曲线也可能会有所不同,同一曲线选 取的参数不同,曲线的参数方程可以有不同的形式. 3.参数方程与普通方程的统一性:普通方程是相对参数方程而言 的,普通方程反映了坐标变数x与y之间的直接联系,而参数方程是通 过参变数反映坐标变数x与y之间的间接联系;普通方程和参数方程 是同一曲线的两种不同表达形式,参数方程可以与普通方程进行互 化.
特别提醒1.将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量x和y取 值范围的扩大或者缩小,必须根据参数的取值范围确定f(t)和g(t)的 值域,即x和y的取值范围. 2.参数方程化为普通方程常用的方法是代入消参数法,当使用代 入消参数法比较复杂时,可对式子先进行化简,再消参数,有时要利 用代数恒等式的方法消去参数.
������ = cos2 ������, 做一���� = sin2 ������ 是 ; (2)直线y=2x的一个参数方程可以是 .
人教高中数学 选修4-4第二讲 一、曲线的参数方程(共36张PPT)

投放点
由于水平方向与竖直方向 上是两种不同的运动,
因此,不易直接建立x,y所满 足的关系式。
? 救援点
物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成:
(1)沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动;
(2)沿oy反方向作自由落体运动。
在这个运动中涉及到哪几个变量?这些变量之间有
什么关系?
y
t时刻,水平位移为
500
x=100t,离地面高度y,即:
y=500-gt2/2,
x 100t,
y
500
1 2
gt2.
物资落地时,应有y=0,
o
x
即500-gt2/2=0,解得,t≈10.10s, 得x≈10.10m;
因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投 放物资,可以使其准确落在指定位置。
参数方程的概念:
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. 把参数方程化为普通方程:
一般地, 可以通过消去参数而从参数方程得到普通 方程;
在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取 值范围保持一致,否则,互化就是不等价的.
(1)参数方程通过消元(代入消元、加减消元、利用三角恒
等式消元等)消去参数化为普通方程。
例1、把下列参数方程化为普通方程,并说明它们 各表示什么曲线?
(1)x= t1 (t为参数) y12 t
(2)xy=s1insinc2os(为参数).
解: (1)由x t 11 得 t x1 代入 y 12 t
得到 y2x3(x1)
这是以(1,1)为端点的一条射线;
(2 )xsin co s2sin () 所以x 2, 2 4 把 xsin co 平 s 方y 后 1 减 si2 n 去 得到 x2 y x 2, 2
高中数学人教A版选修第二讲参数方程一曲线的参数方程课件

(2)已知点M1(6,a)在曲线C上,求a 的值.
高中数学人教A版选修4-4 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 课件(共43张PPT)
高中数学人教A版选修4-4 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 课件(共43张PPT)
解:(1)把点M1(0,1)的坐标代入方程组 中,得t=0,所以点M1在曲线C上;同理,把点 M2(5,4)代入方程组中,得
高中数学人教A版选修4-4 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 课件(共43张PPT)
教学目标
知识与能力
1.了解圆的参数方程的概念; 2.培养同学们分析曲线的能力.
高中数学人教A版选修4-4 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 课件(共43张PPT)
高中数学人教A版选修4-4 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 课件(共43张PPT)
能够在已有的经验(生活经验,数 学学习经验)的基础上,更好的了解参 数方程的概念.
高中数学人教A版选修4-4 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 课件(共43张PPT)
高中数学人教A版选修4-4 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 课件(共43张PPT) 高中数学人教A版选修4-4 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 课件(共43张PPT)
教学重难点
重点
1.分析圆的参数方程的几何意义. 2.圆的参数方程.
难点
1.根据问题的条件引进适当的参数. 2.选择适当的参数写出它们的参数方 3.体会圆的参数方程的意义.
(2)沿OY反方向作自由落体运动.
物资出舱后,在时刻t,水平方向的位移x=100t, 离地面的高度y=500-(1/2)gt2,
2.1曲线的参数方程 第二课时 课件(人教A版选修4-4)

1.直线y=ax+b通过第一、二、四象限,则圆
x a rcos , y b rsin (θ为参数)的圆心位于(
B)
A.第一象限 C.第三象限 A.(-1+cos θ,sin θ) C.(-1+2cos θ,2sin θ)
B.第二象限 D.第四象限 B.(1+sin θ,cos θ) D.(1+2cos θ,2sin θ)
上的动点,∠AOQ的平分线交AQ于点M.当点Q在圆C上运动
时,求点M的轨迹方程.
解析:设点 O 到 AQ 的距离为 d,则 1 1 |AM|· d= |OA|· |OM|· sin ∠AOM, 2 2 1 1 |QM|· d= |OQ|· |OM|· sin ∠QOM. 2 2 |AM| |OA| 2 → 2 → 又∵∠AOM=∠QOM,∴ = = .∴AM= AQ. |QM| |OQ| 1 3 ∵点 Q 是圆 x2+y2=1 上的点, ∴设点 Q 的坐标为(cos θ, sin θ),M(x,y),得 2 (x-2,y-0)= (cos θ-2,sin θ-0), 3 2 2 2 即 x- = cos θ,y= sin θ. 3 3 3 2 4 2 2 两式平方相加,得x-3 +y = , 9 2 4 2 2 ∴点 M 的轨迹方程为x-3 +y = . 9
∵cos2t+sin2t=1,∴(x-1)2+(y+2)2=4. 由于 0≤t≤π,∴0≤sin t≤1,从而 0≤y+2≤2, 即-2≤y≤0. ∴所求的曲线的参数方程为 (x-1)2+(y+2)2=4(-2≤y≤0). 这是一个半圆,其圆心为(1,-2),半径为 2.
圆的直径AB上有两点C,D,且|AB|=10,|AC|
把它化为普通方程,并判断该曲线表示什么图形. 分析:把曲线的参数方程化为普通方程,就是将参数方 程中的参变量消去,常用的消参法有代入法、加减消元法、 乘除消元法、三角消元法,但要注意消去参数时变量范围的 一致性.
高中数学人教A版选修4-4课件 第二讲参数方程2.2圆锥曲线的参数方程

(������-������)2 (������-������)2 形式 .如 2 + 2 =1(a>b>0)的参数方程可表示为 ������ ������
������ = ������ + ������cos������, (φ 为参数). ������ = ������ + ������sin������
二
圆锥曲线的参数方程
学 习 目 标 思 维 脉 络 1.掌握 椭圆、双曲线、抛物 线的参数方程,了解 参数方 圆锥曲线的参数方程 椭圆的参数方程及其应用 程中参数的几何意义. 2.能够 运用椭圆、双曲线、 双曲线的参数方程及其应用 抛物线的参数方程解决简 抛物线的参数方程及其应用 单问题.
1.椭圆的参数方程
������ = ������cos������, 数方程是 ������ = ������sin������ (φ 为参数).通常规定参数 φ 的取值范围为 φ ∈ [0,2π).
������2 (2)中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆 2 ������
������2 (1)中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 2 ������
答案:C
)
3.抛物线的参数方程 ������ = 2������������ 2 , (1)抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为 ������ = 2������������ (t为参数,t∈(∞,+∞)). (2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线 的斜率的倒数.
做一做3 抛物线y2=7x的参数方程为( ������ = 7������, A. (t 为参数) ������ = 7������ 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
x r cos
y
r
sin
(为参数)
人教A 版选修4 - 4 第二讲2 . 1 曲线的参数方程(共2 9 张P P T)
圆心为原点半径为r 的圆的参数方程.
x r cos
y
r
sin
( 为参数)
其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到
OM的位置时,OM0转过的角度
y
圆心为O1(a, b) , 半径为r 的圆的参数方程
x 100t,
y
500
1 2
gt
2.
物资落地时,应有y=0,
o
x
即500-gt2/2=0,解得,t≈10.10s,得x≈10.10m;
因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投 放物资,可以使其准确落在指定位置。
参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果
曲线C上任意一点P的坐标x,y都可以表示
人教A 版选修4 - 4 第二讲2 . 1 曲线的参数方程(共2 9 张P P T)
圆的参数方程
人教A 版选修4 - 4 第二讲2 . 1 曲线的参数方程(共2 9 张P P T)
人教A 版选修4 - 4 第二讲2 . 1 曲线的参数方程(共2 9 张P P T)
圆周运动中,当物体绕定轴作匀速
运动时,物体上的各个点都作匀速圆周
解:(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组,解得t=0,所
以M1在曲线上.
5 3t
把点M2的坐标(5,4)代入方程组,得到
4
2t 2
1
这个方程无解,所以点M2不在曲线C上.
(2)因为点M3(6,a)在曲线C上,所以
6 3t
a
2t
2
1
解得t=2, a=9 所以,a=9.
人教A 版选修4 - 4 第二讲2 . 1 曲线的参数方程(共2 9 张P P T)
人教A 版选修4 - 4 第二讲2 . 1 曲线的参数方程(共2 9 张P P T)
人教A 版选修4 - 4 第二讲2 . 1 曲线的参数方程(共2 9 张P P T)
4 动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速度 分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨迹参 数方程.
投放点
由于水平方向与竖直方向 上是两种不同的运动,
因此,不易直接建立x,y所满 足的关系式。
? 救援点
物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成:
(1)沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动;
(2)沿oy反方向作自由落体运动。
在这个运动中涉及到哪几个变量?这些变量之间有
什么关系?
y
离地t面时高刻度,y水,平即位:移y=为5x0=0-1g0t02/t2,,500
运动,
y
怎样刻画运 动中点的位置 呢?
M(x, y)
r
M0
o
x
人教A 版选修4 - 4 第二讲2 . 1 曲线的参数方程(共2 9 张P P T)
人教A 版选修4 - 4 第二讲2 . 1 曲线的参数方程(共2 9 张P P T)
如果在时刻t,点M转过的角度是θ,坐标是M(x, y),
那么θ=ωt. 设|OM|=r,那么由三角函数定义,有
人教A 版选修4 - 4 第二讲2 . 1 曲线的参数方程(共2 9 张P P T)
练习
1、曲线
x y
1 t 4t
2
(t为 参 数 )与x轴的交点坐标是(
3
B)
A(1,4); B (25/16, 0) C(1, -3) D(±25/16, 0)
2、方程
x y
sin cos
(为 参 数)所表示的曲线上一点的坐标是(
例1 已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。
解: x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程,为
D)
A(2,7); B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(1,0)
3
已知曲线C的参数方程是
x y
1 at 2
2t
(t为
参
数
,a
R)点M(5,4)
该曲线上. (1)求常数a; (2)求曲线C的普通方程
(1)由题意可知: 1+2t=5,at2=4;a=1,t=2;
(2)t x 1 代入第二个方程得: y=(x-1)2/4 2
第二讲 参数方程
1.参数方程的概念
一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速 度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区 指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投 放时机呢?
即求飞行员在离救援点的水平距离多远时,开始 投放物资?
如图,建立平面直角坐标系。
x表示物资的水平位移量, y表示物资距地面的高度,
(0 x 1000)
普通方程
x,y的直接联系
人教A 版选修4 - 4 第二讲2 . 1 曲线的参数方程(共2 9 张P P T)
x 3t
例1:
已知曲线C的参数方程是
y
2
t
2
1(为参数)
(1)判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系;
(2)已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值。
为某个变量t的函数
x f (t),
y
g (t ),
反过来,对于t的每一个允许值,由函
数式 所确定的点P(x,y)都在曲线C上,
那么方程 叫做曲线C的参数方程, 变量t是参变数,简称参数。
x 100t (0 t 10) y 500- 1 gt2 2
x,y的间接联系
参数方程
y - x2 500, 2000
解:设动点M (x,y) 运动时间为t,依题意,得
x 1 5t
y
2
12t
5、由方程x2 y2 4tx 2ty 5t 2 4 0(t为
参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是 D
A 一个定点 C 一条抛物线
B 一个椭圆 D 一条直线
人教A 版选修4 - 4 第二讲2 . 1 曲线的参数方程(共2 9 张P P T)
P
b
ry
x y
a b
r r
cos sin
(为
参
数)
v O
ax x
一般地,同一条曲线,可以选取不同的变数为参数, 另外,要注明参数及参数的取值范围。
人教A 版选修4 - 4 第二讲2 . 1 曲线的参数方程(共2 9 张P P T)
人教A 版选修4 - 4 第二讲2 . 1 曲线的参数方程(共2 9 张P P T)
cost x ,sint y
r
r
即
x r cost
y
r
sin t
(t为参数)
这就是圆心在原点O,半径为r 的圆的参数方程
参数 t 有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻)
考虑到θ=ωt,也可以取θ为参数,于是有
人教A 2 9 张P P T)