人教A版选修第二讲曲线的参数方程
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运动,
y
怎样刻画运 动中点的位置 呢?
M(x, y)
r
M0
o
x
人教A 版选修4 - 4 第二讲2 . 1 曲线的参数方程(共2 9 张P P T)
人教A 版选修4 - 4 第二讲2 . 1 曲线的参数方程(共2 9 张P P T)
如果在时刻t,点M转过的角度是θ,坐标是M(x, y),
那么θ=ωt. 设|OM|=r,那么由三角函数定义,有
例1 已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。
解: x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程,为
(0 x 1000)
普通方程
x,y的直接联系
人教A 版选修4 - 4 第二讲2 . 1 曲线的参数方程(共2 9 张P P T)
x 3t
例1:
已知曲线C的参数方程是
y
2
t
2
1(为参数)
(1)判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系;
(2)已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值。
x r cos
y
r
sin
(为参数)
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圆心为原点半径为r 的圆的参数方程.
x r cos
y
r
sin
( 为参数)
其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到
OM的位置时,OM0转过的角度
y
圆心为O1(a, b) , 半径为r 的圆的参数方程
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圆的参数方程
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圆周运动中,当物体绕定轴作匀速
运动时,物体上的各个点都作匀速圆周
为某个变量t的函数
x f (t),
y
g (t ),
反过来,对于t的每一个允许值,由函
数式 所确定的点P(x,y)都在曲线C上,
那么方程 叫做曲线C的参数方程, 变量t是参变数,简称参数。
x 100t (0 t 10) y 500- 1 gt2 2
x,y的间接联系
参数方程
y - x2 500, 2000
投放点
由于水平方向与竖直方向 上是两种不同的运动,
因此,不易直接建立x,y所满 足的关系式。
? 救援点
物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成:
(1)沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动;
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(2)沿oy反方向作自由落体运动。
在这个运动中涉及到哪几个变量?这些变量之间有
什么关系?
y
离地t面时高刻度,y水,平即位:移y=为5x0=0-1g0t02/t2,,500
第二讲 参数方程
1.参数方程的概念
一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速 度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区 指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投 放时机呢?
即求飞行员在离救援点的水平距离多远时,开始 投放物资?
如图,建立平面直角坐标系。
x表示物资的水平位移量, y表示物资距地面的高度,
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练习
1、曲线
x y
1 t 4t
2
(t为 参 数 )与x轴的交点坐标是(
3
B)
A(1,4); B (25/16, 0) C(1, -3) D(±25/16, 0)
2、方程
x y
sin cos
(为 参 数)所表示的曲线上一点的坐标是(
解:(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组,解得t=0,所
以M1在曲线上.
5 3t
把点M2的坐标(5,4)代入方程组,得到
4
2t 2
1
这个方程无解,所以点M2不在曲线C上.
(2)因为点M3(6,a)在曲线C上,所以
6 3t
a
2t
2
1
解得t=2, a=9 所以,a=9.
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D)
A(2,7); B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(1,0)
3
已知曲线C的参数方程是
x y
1 at 2
2t
(t为
参
数
,a
R)点M(5,4)
该曲线上. (1)求常数a; (2)求曲线C的普通方程
(1)由题意可知: 1+2t=5,at2=4;a=1,t=2;
(2)t x 1 代入第二个方程得: y=(x-1)2/4 2
x 100t,
y
500
1 2
gt
2.
物资落地时,应有y=0,
o
x
即500-gt2/2=0,解得,t≈10.10s,得x≈10.10m;
因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投 放物资,可以使其准确落在指定位置。
参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果
曲线C上任意一点P的坐标x,y都可以表示
cost x ,sint y
r
r
即
x r cost
y
r
sin t
(t为参数)
这就是圆心在原点O,半径为r 的圆的参数方程
参数 t 有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻)
考虑到θ=ωt,也可以取θ为参数,于是有
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解:设动点M (x,y) 运动时间为t,依题意,得
x 1 5t
y
2
12t
5、由方程x2 y2 4tx 2ty 5t 2 4 0(t为
参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是 D
A 一个定点 C 一条抛物线
B 一个椭圆 D 一条直线
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P
b
ry
x y
a b
r r
cos sin
(为
参
数)
v O
ax x
一般地,同一条曲线,可以选取不同的变数为参数, 另外,要注明参数及参数的取值范围。
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4 动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速度 分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨迹参 数方程.