矢量控制系统理论基础及其公式推导
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矢量控制系统理论基础及其公式推导目录：
1、坐标变换理论
2、A-B-C静止坐标系下的感应电机数学模型
3、任意转速旋转的d-q坐标系下的感应电机数学模型
4、α-β坐标系下的感应电机数学模型
5、dq0坐标系下的感应电机数学模型
6、间接矢量控制系统的关键公式推导
7、磁链观测器关键公式推导
内容：
1、坐标变换理论
A-B-C坐标系与α-β坐标系：
i
i
α
β
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
(1)
推导的条件：
①磁动势相等；
②功率守恒；
③0
A B C
i i i
++=。
α-β坐标系与d-q坐标系：
cos sin
sin cos
d q
d q
i i i
i i i
α
β
ϕϕ
ϕϕ
=-
⎧⎪
⎨=+
⎪⎩
(2)
逆变换：
cos sin
sin cos
d
q
i i i
i i i
αβ
αβ
ϕϕ
ϕϕ
=+
⎧⎪
⎨=-+
⎪⎩
(3)
其中：t
ϕω
=为d-q轴与α-β轴之间的夹角；ω为d-q坐标系的旋转速度
特殊情况：
当d-q坐标系的旋转角速度ω与同步角速度相一致时，d轴与q轴的分量为直流量。2、A-B-C静止坐标系下的感应电机动态数学模型
动态数学模型有五部分组成：电压方程、磁链方程、转矩方程、运动方程和速度方程。
电压方程：
定子电压方程
A
A A s
B
B B s
C
C C s
d
u i R
dt
d
u i R
dt
d
u i R
dt
ψ
ψ
ψ
⎧
=+
⎪
⎪
⎪
=+
⎨
⎪
⎪
=+
⎪
⎩
(4)
转子电压方程
a a a s
b b b s
c c c s
d u i R dt d u i R dt d u i R dt ψψψ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩
(5) 归纳为：u Ri p ψ=+（6）
磁链方程：
由于感应电机共有六组线圈，分别是定子三组和转子三组线圈，每组线圈的磁通量是自感产生的磁通量和其它线圈感应产生的磁通量之和，如A 相磁链为：
A AA A
B A
C Aa Ab Ac ψψψψψψψ=+++++（7）
其中：AA A AA i L ψ=，为A 相自感产生的磁通量；AB B AB i L ψ=，为B 相在A 相感应的磁通量，其它各相感应的磁通量
分别是：AC C AC i L ψ=，Aa a Aa i L ψ=，Ab b Ab i L ψ=和Ac c Ac i L ψ=。
包含六个线圈的磁链方程为：
A AA A
B A
C Aa Ab Ac A B BA BB BC Ba Bb
Bc B C CA CB CC Ca Cb Cc C a aA aB aC aa ab
ac a b bA
bA bA bA bA bA b c cA cB cC ca cb
cc c L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L i ψψψψψψ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（8） 归纳为：Li ψ=（9） 并且：
1212AA BB CC ms ls aa bb cc ms lr AB AC BA BC CA CB ms ab ac ba bc ca cb ms L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ===+⎧⎪===+⎪⎪⎨======-⎪⎪======-⎪⎩
（10）
cos cos(120)cos(120)Aa aA Bb bB Cc cC ms o Ac cA Ba aB Cb bC ms o Ab bA Bc cB Ca aC ms L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L θθθ======⎧⎪======-⎨⎪======+⎩ （11） 其中，ms L 为定子和转子每相互感，ls L 为定子漏感，lr L 为转子漏感，r t θω=为定转子之间的夹角，r ω为转子电角速度
式（10）分别为定子三相和转子三相的自感和互感，由于定子三相之间位置相对固定为120度，转子三相之间位置也是固定的120度，因此，互感都是定值。
式（11）为定子与转子之间的互感，由于转子处于旋转状态，定转子之间位置并不固定，因此，定转子之间的互感为时变值，当定子A 相与转子a 相重合时，其互感最大，当两者为90度时，其互感最小。
综合式（6）和（9），可得：
u Ri pLi =+ （12）
由于L 和i 都是变化的，对其求微分得到：
r dL u Ri Lpi i d ωθ=++（13）
其中，Lpi 为电感压降，也被称为由于电流突变而导致的脉变电动势，r dL i d ωθ为与速度相关的速度反电动势。
转矩方程：