数学必修五1.2《应用举例》ppt课件

AB成60°角的直线滑行，同时乙从B出发，以7m/s的速度沿着
与甲相遇的最短直线滑行． 那么相遇时，甲滑行了多远呢？
第一章
1.2
第1课时
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1.正弦定理指出了三角形中三条边与对应角的正弦之间的 一个关系式，这个关系式是________． 2． 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角的余弦 之间的关系式， 这三个关系式是_______， ________和________． 3．在△ABC 中，若 a2＋b2>c2 则角 C 是________；若 a2＋ b2<c2，则角 C 是________；若 a2＋b2＝c2，则角 C 是________．
第一章
1.2
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如图所示，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在 a 上点 A 处有一个水声监测点，另两个监测点 B、C 分别在 A 的 正东方 20 km 处和 54 km 处．某时刻，监测点 B 收到发自静止 目标 P 的一个声波，8 s 后监测点 A、20 s 后监测点 C 相继收到 这一信号． 在当时的气象条件下， 声波在水中的传播速度是 1.5 km/s.
第一章 1.2 第1课时
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[ 解析]
在△ABC 中，BC＝30，B＝30° ，∠ACB＝135° ，
∴∠BAC＝15° ， BC AC 30 AC 由正弦定理，得 ＝ 即： ＝ ， sinA sinB sin15° sin30° ∴AC＝60cos15° ＝60cos(45° －30° ) ＝60(cos45° cos30° ＋sin45° sin30° )＝15( 6＋ 2) ∴A 到 BC 的距离为 d＝ACsin45° ＝15( 3＋1)， ≈40.98n mile>38n mile，所以继续向南航行，没有触礁危 险．
第一章
1.2
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(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x
的值； (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离．(结果精确到0.01 km) [分析] (1)PA，PB，PC长度之间的关系可以通过收到信
号的先后时间建立起来；
第一章
1.2
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[ 解析]
∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60° ，
3 又∵∠ACD＝60° ，∴∠DAC＝60° ，AC＝DC＝ . 2 在△BCD 中，∠DBC＝45° ， BC DC 6 ∴ ＝ ，∴BC＝ . sin30° sin45° 4 在△ABC 中，由余弦定理 AB2＝AC2＋BC2－2· AC· BC· cos45° 3 3 3 6 2 3 ＝ ＋ －2× × × ＝ ， 4 8 2 4 2 8 6 6 ∴AB＝ .∴A、B 两点间距离为 km. 4 4
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
解三角形
第一章
解三角形
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第一章
1.2 应用举例 第1课时 距离问题
第一章
解三角形
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2
∴AB＝ 5(km)． 答：A、B 之间的距离为 5 km.
第一章 1.2 第1课时
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如图，为了测量河对岸 A、B 两点间的距离，在河的这边 3 测得 CD＝ km， ∠ADB＝∠CDB＝30° ， ∠ACD＝60° ， ∠ACB 2 ＝45° ，求 A、B 两点间的距离．
第一章 1.2 第1课时
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21×2 4 3 ∴AC＝ × ＝24， 7 3 ∴CD2＝AC2＋AD2－2AC· AD· cos60° ， 1 即 21 ＝24 ＋AD －2×24× · AD， 2
2 2 2
整理，得 AD2－24AD＋135＝0， 解得 AD＝15 或 AD＝9， 答：这个人再走 15km 或 9km 就可到达 A 城．
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1.2
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某观测站 C 在城 A 的南偏西 20° 的方向， 由城 A 出发的一条公路，走向是南偏东 40° ，在 C 处测得公路上 B 处 有一人，距 C 为 31km，正沿公路向 A 城走去，走了 20km 后 到达 D 处，此时 CD 间的距离为 21km，问：这人还要走多少 千米才能到达 A 城？
(2)作PD⊥a，垂足为D，要求PD的长，只需要求出PA的长 和cos∠APD，即cos∠PAB的值．由题意，PA－PB，PC－PB 都是定值，因此，只需要分别在△PAB和△PAC中，求出 cos∠PAB，cos∠PAC的表达式，建立方程即可．
第一章 1.2 第1课时
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1
课前自主预习
2Байду номын сангаас
课堂典例探究
3
课 时 作 业
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课前自主预习
第一章
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滑冰是一项集力量、耐力和速度于一身的运动项目．在第 21届温哥华冬奥会上，有两个滑冰者甲和乙位于冰面上A、B两 点，A与B相距100m.如果甲从A出发，以8m/s速度沿着一条与
如图所示：
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1.2
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3．基线 在测量上， 我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线． 在 测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具 有较高的准确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
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[ 解析]
(1)依题意，PA－PB＝1.5×8＝12(km)，PC－PB＝
1.5×20＝30(km)．因此 PB＝(x－12)km，PC＝(18＋x)km. 在△PAB 中，AB＝20 km， PA2＋AB2－PB2 cos∠PAB＝ 2PA· AB x2＋202－x－122 3x＋32 ＝ ＝ . 2 x· 20 5x 72－x 同理，cos∠PAC＝ . 3x
课堂典例探究
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正、余弦定理在生产、生活中不易到达 点测距中的应用
要测量河对岸两个建筑物 A、B 之间的距离，选 取相距 3 km 的 C、 D 两点， 并测得∠ACB＝75° ， ∠BCD＝45° ， ∠ADC＝30° ，∠ADB＝45° ，求 A、B 之间的距离．
第一章 1.2 第1课时
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一点或两点不可到达 测量距离 航海问题
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1.2
第1课时
[ 答案 ]
a b c 1. ＝ ＝ sinA sinB sinC
2.a2 ＝b2 ＋ c2 －2bccosA 3.锐角 钝角
b2 直
＝a2＋c2－2accosB 角
c2＝a2＋b2－2abcosC
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1.方位角 定义：从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角叫方位 角．
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由于 cos∠PAB＝cos∠PAC， 3x＋32 72－x 132 即 ＝ ，解得 x＝ (km)． 5x 3x 7 (2)作 PD⊥a，垂足为 D．在 Rt△PDA 中， PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB 132 3x＋32 3× 7 ＋32 ＝x· ＝ ≈17.71(km)． 5x 5 答：静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离约为 17.71 km.
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正、余弦定理在航海距离测量上的应用
如图所示，海中小岛 A 周围 38n mile 内有暗礁， 一船正向南航行，在 B 处测得小岛 A 在船的南偏东 30° ，航行 30n mile 后，在 C 处测得小岛在船的南偏东 45° ，如果此船不 改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？
[ 辨析] 本题在解△ACD 时， 利用余弦定理求 AD， 产生了 增解，应用正弦定理来求解．
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[ 正解]
如图，令∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD 中，
由余弦定理得
BD2＋CD2－CB2 202＋212－312 cosβ＝ ＝ 2BD· CD 2×20×21 1 4 3 ＝－ ，∴sinβ＝ . 7 7 又 sinα＝sin(β－60° )＝sinβcos60° －sin60° cosβ 4 3 1 3 1 5 3 ＝ × ＋ × ＝ ， 7 2 2 7 14 21×sinα 21 AD 在△ACD 中， ＝ ，∴AD＝ ＝15(km)． sin60° sinα sin60° 答：这个人再走 15km 就可以到达 A 城.
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[ 分析]
船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于 A 到
直线 BC 的距离与 38n mile 的大小，于是我们只要先求出 AC 或 AB 的大小，再计算出 A 到 BC 的距离，将它与 38n mile 比 较大小即可．
[ 错解] 本题为解斜三角形的应用问题，要求这人走多少 路才可到达 A 城，即求 AD 的长， 在△ACD 中，已知 CD＝21km， ∠CAD＝60° ，只需再求出一个量即可．
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如图，设∠ACD＝α，∠CDB＝β， 在△CBD 中，由余弦定理，得 BD2＋CD2－CB2 202＋212－312 1 cosβ＝ ＝ ＝－ ， 2BD· CD 7 2×20×21 4 3 ∴sinβ＝ . 7 AC ∴在△ACD 中， sin180° －β 21 21 ＝ ＝ ， sin60° 3 2
已知目标 A 的方位角为 135° ，请画出其图示．
[ 解析]
如图所示：
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2．方向角 定义：从指定方向线到目标方向线所成的小于 90° 的水平 角叫方向角．
请分别画出北偏东 30° ，南偏东 45° 的方向角．
[ 解析]
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[ 解析]
在△ACD 中，∠ACD＝120° ，
∠CAD＝∠ADC＝30° ， ∴AC＝CD＝ 3 km. 在△BCD 中，∠BCD＝45° ，∠BDC＝75° ，∠CBD＝60° ， 3sin75° 6＋ 2 ∴BC＝ ＝ . sin60° 2 在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC· BC· cos∠ACB 6＋ 2 2 6＋ 2 ＝( 3) ＋( ) －2 3· · cos75° ＝5. 2 2