中考数学提高题专题复习二次函数练习题附详细答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点。

（Ⅰ）当121,3x x =-=时，求点A ，点E 的坐标；

（Ⅱ）若顶点E 在直线y x =上，当点A 位置最高时，求抛物线的解析式； （Ⅲ）若11,

0x b =->，当(1,0)P 满足PA PE +值最小时，求b 的值。

【答案】（Ⅰ）()0,3A ，(1,4)E ；（Ⅱ）2

1

4

y x x =-++；（Ⅲ）3b = 【解析】 【分析】

（Ⅰ）将（-1，0），（3，0）代入抛物线的解析式求得b 、c 的值，确定解析式，从而求出抛物线与y 轴交于点A 的坐标，运用配方求出顶点E 的坐标即可；

（Ⅱ）先运用配方求出顶点E 的坐标，再根据顶点E 在直线y x =上得出吧b 与c 的关系，利用二次函数的性质得出当b=1时，点A 位置最高，从而确定抛物线的解析式； （Ⅲ）根据抛物线经过（-1，0）得出c=b+1，再根据（Ⅱ）中顶点E 的坐标得出E 点关于x 轴的对称点E '的坐标，然后根据A 、P 两点坐标求出直线AP 的解析式，再根据点在直线AP 上，此时PA PE +值最小，从而求出b 的值. 【详解】

解：（Ⅰ）把点(-1,0)和(3,0)代入函数2

y x bx c =-++，

有10

930

b c b c --+=⎧⎨

-++=⎩。解得2,3b c ==

2223(1)4y x x x ∴=-++=--+ (0,3),(1,4)A E ∴

（Ⅱ）由2

22

424b c b y x bx c x +⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，得24,24b c b E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭

∵点E 在直线y x =上，2

424

b c b

+∴=

221111

(1)4244c b b b ∴=-+=--+

2110,(1)44A b ⎛

⎫∴--+ ⎪⎝

⎭

当1b =时，点A 是最高点此时，2

1

4

y x x =-++

（Ⅲ）：抛物线经过点(1,0)-，有10b c --+=

1c b ∴=+

24,,(0,)24b c b E A c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2(2),,(0,1)24b b E A b ⎛⎫+∴+ ⎪⎝⎭

∴E 关于x 轴的对称点E '为2

(2)

,24b b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭

设过点A ，P 的直线为y kx t =+.把(0,1),(1,0)A b P +代入y kx t =+，得

(1)(1)y b x =-+-

把点2(2),24b b E '

⎛⎫

+- ⎪⎝⎭

代入(1)(1)y b x =-+-.

得

2(2)(1)142b b b +⎛⎫

=-+- ⎪⎝⎭

，即2680b b --=

解得，3b =

0,3b b >∴=.

3b ∴=+【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．

2．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2和y ＝a （x ﹣h ）2，抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2经过原点，与x 轴正半轴交于点A ，与其对称轴交于点B ；点P 是抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2上一动点，且点P 在x 轴下方，过点P 作x 轴的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ，过点D 作PD 的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ′（不与点D 重合），连接PD ′，设点P 的横坐标为m ： （1）①直接写出a 的值；

②直接写出抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；

（2）当抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点时，设△PDD ′与△OAB 重叠部分图形周长为L ： ①求

PD

DD

'

的值； ②直接写出L 与m 之间的函数关系式；

（3）当h 为何值时，存在点P ，使以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形？直接写出h 的值．

【答案】（1）①12；②y ＝2

12

x ﹣2x ； （2）①1；

②L ＝2

(22)(02)

21(221)4(24)2m m m m π⎧+<⎪⎨-++<<⎪⎩

； （3）h ＝±3 【解析】 【分析】

（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝2

12

x ﹣2x ； （2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝

12，y ＝1

2

x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解；

（3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值． 【详解】

解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中， 得：0＝a （0﹣2）2﹣2， 解得：a ＝12

； ②y ＝

2

12

x ﹣2x ；． （2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝12

； ∴y ＝

12

x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），

易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4 如图1，