保险精算 第5章2(2)年金的精算现值
寿险精算习题及答案
习题第一章人寿保险一、n 年定期寿险【例4.1】设有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为3%。
I 、如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人，计算赔付支出； II 、根据93男女混合表，计算赔付支出。
解：I表4–1 死亡赔付现值计算表根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：48.13468)03.1503.1403.1303.1203.11(100054321=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯-----（元）则每张保单未来赔付的精算现值为134.68元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。
解：II表4–2 死亡赔付现值计算表根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：86.9124)03.103.103.103.103.1(1000540|4440|3340|2240|11402=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯-----q q q q q （元）则每张保单未来赔付的精算现值为91.25元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。
【例4.2】某人在40岁时投保了10000元3年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。
根据93男女混合表计算：I 、单位趸缴纯保费；II 、单位赔付现值期望的方差；III 、（总）趸缴纯保费； 解：I 、单位趸缴纯保费为，)()(424023414024040|2340|1240240|11|3:40q p v q p v vq q v q v vq q v Ak k k ++=++=⨯=∑=+]05.1001993.0)001812.01()00165.01(05.1001812.0)00165.01(05.100165.0[32⨯-⨯-+⨯-+=00492793.0=（元）。
II 、单位赔付现值期望的方差为，00444265.0)()()()(21|3:4040|2640|1440221|3:40240|)1(221|3:401|3:402=-++=-⨯=-∑=+A q v q v q v A q v AAk k k III 、趸缴纯保费为，28.49100001|3:40=⨯A （元） 【例4.3】某人在50岁时投保了100000元30年期定期寿险，利率为8%。
保险精算第二版复习ppt
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发 生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事 件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应 用场合，保险公司通常采用的理赔方式。
4.1.1 精算现值的概念
精算现值即趸缴纯保费，未来保险金给付 在签单时的现值，即一次性缴清的纯保费， 它是以预定利率和预定死亡率为基础计算 的。
续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
分布函数 t qx ：
t qx Pr(T (X ) t) pr(x X x t X x) s(x) s(x t) s(x)
剩余寿命的生存函数 t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr(X x t X t) s(x t) s(x)
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
符号：
1
A x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
n 0
vt
t
px xt dt
en t
0
t
px xt dt
方差公式：
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
0
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 Ax
0
e2 t
fT
(t )dt
所以方差等价为
Var(zt )2Ax ( Ax )2
4.1.4 延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均 给付保险金的险种。
假定: (x)岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险 基本函数关系
2.2年金(保险精算课程讲义)
0
1
2
3
。。。。
n-1
n
年份
v 2v 2 (n 1)v n1 nv n
( Ia) n v 2v 2 ... nv n , (1 v)( Ia) n iv( Ia) n v v 2 ... v n nv n 1 i ( Ia ) n 1 v v 2 ... v n 1 nv n an nv n , ( Ia) n an nv n i
例子
Ex2.12若存入银行10万元建立一项永续奖励 基金，从存款后1年开始支取年金,设利率为 4%，求每年可以提取的最大数额。
2.2.3 变额年金
等比变化与等差变化，我们主要研究等差变化年金。
Ia n Ia n
Da n Da n
Ia Ia
I n年定期递增年金
a
(m)
1 1 v v .... m m 1 v 1 1 ( m) 1 1 m i m m 1 v m[(1 i ) 1]
1 m
1 m
2 m
(m) an (m) n
a
1 vn m i n 1 v m d
(m) Sn (m) n
S
(1 i) n 1 m i n (1 i) 1 m d
III 两者的关系
Sn Sn v
or
Sn (1 i)Sn
利用前述两种理解与证明的方法
例子
Ex2.8某人从银行贷款20万元用于购房，规定的还 款期是30年假设贷款利率为5%，如果从贷款第2 年开始每年等额还款，求每年需要换款数额是多 少？ Ex2.9某人在30岁时计划每年初存入银行300元建立 个人帐户，假设他在60岁退休，存款年利率假设 恒定为3%。（1）求退休时个人帐户的累积额； （2）如果个人帐户累积额在退休后以固定年金的 方式在20年内每年领取一次，求每年可以领取的 数额。
年金精算现值剖析
又称为生存年金的趸缴纯保费，使依赖于剩余寿命确 定年金的数学期望值。
计算方法主要有两种：现时支付法、总额支付法
现时支付法是将时刻t的年金给付额折现至签单时的现值， 再将所有的现值相加或积分。
总额支付法是先求出在未来寿命期限内所有可能年金给付 额的现值，再求现值的数学期望
5.2.3 年金的精算累积值
5.3 离散型生存年金
简介：
离散生存年金定义：
在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支付一次年金 的保险。
离散生存年金与连续生存年金的关系
计算精算现值时理论基础完全相同 连续－积分离散－求和 连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、延付要分别考虑
将终身生存年金精算现值计算公式的积分上 限改为n即可，道理同上
3、 延期生存年金
种类
延付m年终身连续生存年金 延付m年定期连续生存年金
常用领域
养老金
延期连续年金精算现值
险种
延期n年 终身生存年金
延期m年 n年定期生存年金
精算现 值估计
5.2.2 生存年金精算现值与寿险精算现值之间 的关系
两种方法是等价的
符号介绍：
精算折现因子
n Ex
A1 x:n
vn n px
1
精算累积因子 n Ex
5.2 连续给付型生存年金
5.2.1 连续给付型生存年金的精算现值 1、 终身生存年ax 金 表示符号 总额支付法定义的年金精算现值为：
用现时支付法计算的年金精算现值为：
2、 n年定期生存年金
延期m年的n年定期生存年金
5.3.4 离散型生存年金的精算累积值
对于期初付n年定期生存年金，有
《保险精算学年金》PPT课件
a
(m)
1 1 v v .... m m 1 v 1 1 ( m) 1 1 m i m m 1 v m[(1 i ) 1]
1 m
1 m
2 m
(m) an (m) an
1 vn m i n 1 v m d
(m) Sn (m) Sn
直接法
如果期末年金每次的收付额为R, 则终值为RSn .
. 如果期首年金每次的收付额为R, 则现值为RS n
II
推导法
由（3-1）与（3-2）知：
n n (1 v ) (1 i ) 1 n n S n (1 i ) an (1 i ) i i n n (1 v ) (1 i ) 1 n (1 i ) n a S (1 i ) n n d d
0
证明 : 记Lx 表示x岁的人在一年内存活的总人年数. lx lx 1 1 Lx lx 1 d x 2 2 记Tx 表示x岁的在未来存活的总人年数. Tx
0
x 1
t 0
L
x t
Tx 1 x 1 e x Lx t lx lx t 0 1 x 1 1 1 1 lx t 1 d x t lx 1 lx 2 ... l 1 lx t 0 2 2 lx Tx 1 x 1 1 x 1 lx t lx t 1 1 x 1 1 另,e x Lx t t d x t lx lx t 0 lx t 0 2 lx t 0 2
例子
Ex2.10在上例中，如果退休后个人帐户累积 额以固定年金的方式在20年内每月领取一 次，求每月领取的数额。 Ex2.11某人贷款50000元购买汽车，从贷款 第9个月开始用5年的时间每月还款，利率 为6%，求每月的还款额。
保险精算试题及答案解析
保险精算试题及答案解析1. 精算师在评估寿险保单的公平保费时，通常会考虑哪些因素？答案：精算师在评估寿险保单的公平保费时，会考虑死亡率、利率、费用率、保单持有人的年龄和性别、保单期限、保额、以及其他相关风险因素。
2. 什么是生命表，它在寿险精算中的作用是什么？答案：生命表是一种统计工具，它展示了在特定时间点，不同年龄人群的存活概率。
在寿险精算中，生命表用于预测死亡率，从而帮助精算师计算保单的保费和准备金。
3. 什么是净保费和毛保费？它们之间有何区别？答案：净保费是指在不考虑任何费用的情况下，根据风险评估计算出的保费。
毛保费则是在净保费的基础上加上了保险公司的运营费用和预期利润。
因此，毛保费通常高于净保费。
4. 如何计算年金现值？答案：年金现值可以通过以下公式计算：PV = PMT × [(1 - (1 + r)^(-n)) / r]，其中PV是现值，PMT是每期支付的金额，r是每期的利率，n是支付期数。
5. 什么是偿付能力充足率，它对保险公司意味着什么？答案：偿付能力充足率是保险公司持有的资产与负债之间的比率。
它反映了保险公司在面对索赔时的财务能力。
一个较高的偿付能力充足率意味着保险公司有较强的财务稳定性和偿付能力。
6. 什么是再保险，它在保险业中的作用是什么？答案：再保险是指保险公司为了分散风险，将其承担的部分或全部保险责任转移给其他保险公司的行为。
再保险有助于保险公司管理风险，提高资本效率，并在面临大规模索赔时提供财务支持。
7. 什么是风险调整后的资本（RBC）？它如何影响保险公司的监管？答案：风险调整后的资本是一种衡量保险公司资本充足性的方法，它考虑了保险公司面临的各种风险。
RBC通过评估保险公司的资产、负债、以及潜在风险，帮助监管机构确保保险公司有足够的资本来应对未来的索赔。
8. 什么是保险监管？它的目的是什么？答案：保险监管是由政府机构对保险行业实施的监督和管理，目的是保护消费者利益，确保保险公司的财务稳定性，以及维护整个保险市场的公平竞争。
中国精算师《寿险精算》章节题库-生存年金的精算现值(圣才出品)
第3章生存年金的精算现值1．设（50）岁的人以50000元的趸缴纯保费购买了每月给付k元的生存年金。
假设年金的给付从购买年金后的第一个月末开始，预定年利率i=0.005，死亡满足UDD假设，而且50=13.5 ，≈1，β12=-0.4665，则k的值为（）。
[2008年真题] A．322B．333C．341D．356E．364【答案】A【解析】每月的年金精算现值为：由×12=50000 ，解得：k=322。
2．设死亡力为μ=0.06，利率力为δ=0.04，在此假设条件下，则超过的概率为（）。
[2008年真题]A．0.4396B．0.4572C．0.4648D．0.4735E．0.4837【答案】C【解析】由已知，得3．根据以下条件计算=（）。
[2008年真题]A．1.6B．1.8C．2.0D．2.2E．2.4【答案】D【解析】由已知，有4．支付额为1的期初生存年金从95岁开始支付，其生存模型为：已知i=0.06，以Y表示该年金的现值变量，则E（Y）和Var （Y）分别为（）。
[2008年真题]A．2.03；0.55B．2.03；0.79C．2.05；0.79D．2.05；0.55E．2.07；0.79【答案】A【解析】由i=0.06，得：v=（1＋i）-1=1.06-1。
5．考虑从退休基金资产中支付的期初年金组合：已知i＝6%，只要年金领取人活着，每个年金的年支付额是1，若正态分布95%的分位数是1.645，则退休基金负担现值为（）。
A．480B．481C．483D．485E．487【答案】C【解析】设支付的随机变量为Z，退休基金为P，则故。
6．考虑（90）的期初年金，每次年金支付额为1，生存模型为：已知利率i＝0.06，则=（）。
A．1.8B．1.9C．2.0D．2.1E．2.2【答案】C【解析】由于7．。
A．0.085B．0.125C．0.600D．0.650E．0.825【答案】D【解析】8．已知α（12）＝1.000281，β（12）＝0.46811951，=9.89693，假设死亡均匀分布。
保险精算教学大纲丶习题及答案
保险精算教学大纲本课程总课时：课程教学 周，每周 课时第一章：利息理论基础本章课时：一、学习的目的和要求1、要求了解利息的各种度量2、掌握常见利息问题的求解原理二、主要内容第一节：实际利率与实际贴现率一、 利息的定义二、 实际利率三、 单利和复利四、 实际贴现率第二节：名义利率和名义贴现率第三节：利息强度第二章 年金本章课时：一、学习的目的和要求1、要求了解年金的定义、类别2、掌握年金问题求解的基本原理和常用技巧二、主要内容第一节：期末付年金第二节：期初付年金第三节：任意时刻的年金值一、在首期付款前某时刻的年金值二、在最后一期付款后某时刻的年金积累值三、付款期间某时刻的年金当前值第四节：永续年金第五节：连续年金第三章 生命表基础本章课时：一、学习的目的与要求1、理解常用生命表函数的概率意义及彼此之间的函数关系2、了解生存函数与生命表的关系并掌握寿险生命表的特点与构造原理3、掌握各种分数年龄假定下，分数年龄的生命表函数的估计方法二、主要内容第一节 生命函数一、分布函数二、生存函数三、剩余寿命四、取整余命五、死亡效力六、生存函数的解析表达式第二节 生命表一、生命表的含义二、生命表的内容第四章 人寿保险的精算现值本章课时：一、教学目的与要求1、掌握寿险趸缴纯保费的厘定原理2、理解寿险精算现值的意义，掌握寿险精算现值的表达方式及计算技巧3、认识常见的寿险产品并掌握各种产品趸缴纯保费的厘定及寿险精算现值方差的计算4、理解趸缴纯保费的现实意义二、主要内容第一节 死亡即付的人寿保险一、精算现值的概念二、n年定期保险的精算现值（趸缴纯保费）三、终身寿险的趸缴纯保费四、延期寿险的趸缴纯保费五、生存保险与两全保险的趸缴纯保费第二节 死亡年末给付的人寿保险一、定期寿险的趸缴纯保费二、终身寿险的趸缴纯保费三、两全保险的趸缴纯保费四、延期寿险的趸缴纯保费第三节 死亡即刻赔付保险与死亡年末赔付保险的精算现值的关系第四节 递增型人寿保险与递减型人寿保险一、递增型寿险二、递减型寿险三、两类精算现值的换算第五章 年金的精算现值本章课时：一、学习目的与要求1、理解生存年金的概念2、掌握各种场合计算生存年金现时值的原理和技巧。
保险精算1-5章答案(第二版)李秀芳
第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。
年金现值公式系数表
年金现值公式系数表
年金公式分为年金现值公式和年金终值公式。
年金现值计算公式为：P=A×（P/A，i，n）。
其中，（P/A，i，n）称作“年金现值系数”，可查普通年金现值系数表。
年金终值计算公式为：F=A×（F/A，i，n）。
其中，（F/A，i，n）称作“年金终值系数”，可查普通年金终值系数表。
年金分为普通年金、即付年金、递延年金和永续年金。
普通年金指每期末收付等额款项的年金，也称后付年金。
即付年金指每期期初获得收入的年金，也称先付年金。
递延年金指第一次收付款项发生时间不在第一期末，而是隔若干期后才开始发生的系列等额收付款项，它是普通年金的特殊形式。
永续年金指无限期等额收付的年金，可视为普通年金的特殊形式。
保险精算学生存年金精算现值
D
t 1
n
x t
1 D D x t x n t Dx t 1 t 1
1 N x 1 N x n1 Dx x:n 表示某x岁人投保一定期n年，每年年首得到给付1单位元的 用a 期首生命年金的现值。我们有， x:n 1 1 Ex 2 Ex 3 Ex n 1 Ex 1 ax:n 1 a N x 1 N x n Dx N x 1 N x n N x N x n 1 Dx Dx Dx
Dxt
t 1
N x 1 Dx
x 表示x岁人投保终身生命年金保险而在每年年首得到支付1 （3）a
从概率的角度看：每年一次的生存年金是在被保险人整 值余寿期间定期确定的年金，生存年金的精算现值是依赖于 被保险人整值余寿的期望值。
Let x 的整值余寿为K , 期首付终身生存年金是在K 1年内定 K 1的期望，即 期确定年金a x E a K 1 a k 1 k qx a
t
6.2.2 年付一次生存年金的精算现值
生存年金是以生存为条件发生给付的年金。 年金保险中，在保险期内年金的发放以被保险人存活为 条件。 终身和定期寿险的缴费方式通常也采取生存年金的方式。
基本类型
终身年金 定期年金
延期年金
期首年金与期末年金
1、终身生存年金
年金的支付以被保险人生存为条件，没有期间限制，称为 终身生命年金。
n E l v lx n n x x
即：
v nlx n Dx n n v n px n Ex lx Dx
n
（ 3） n E x l x 1 i l x n 现实意义的解释： （ 4） n E x : 在利率和生者利下n年的折现系数； 1/ n Ex : 在利率和生者利下n年的累积系数。 1/ n Ex 1/(v
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(7) A4 0： 0.09 1 0|
1
（8）张发财获得中奖时40岁。 求M。
答案
1 0| M 1 0| a 4 0 解：1000000 M a
40 10 E40 a 50 10 | a
1 A50 50 a d
A4 0 A410： 1 0E4 0 A5 0 1 0|
x ； da
Ax 。
n年定期生存年金
设Z为保额1元的n年期两全保险的给付现值随机变量。
1 Z 运用 Y 来计算， d
或
对于延期年金
同理可证：
例4.4
已知 i = 0.05
dx
lx
x
90 100 28
91 72 33
92 39 39
93 0 －
90 假定91岁存活给付5，92岁存活给付10，求： a
2
K 1
K
1 v K 1 d
K 1
1 Ax 1 E (v ) 1 v x E(Y ) E a d d d
5.3.2 期初付生存年金的精算现值与 死亡年末付寿险精算现值之间的关系
经济意义：x岁的人投资1元，从投资日起在生存期
间内每年年初得到利息d元，利息给付的精算现为 为 当此人死亡后，在死亡年末得到返还的1元本金，现值
M 53840 (元)
5 72 10 39 90 5vp 90 10v 2 p90 a 6.97 2 1.05 100 1.05 100
2
5.3.3 期末付生存年金及其精算现值
初付付生存年金与期末付生存年金的关系
a a ？ d i
1.终身生存年金
或 1 iax (1 i) Ax
现时支 付法
1.终身生存年金 2. 定期生存年金
3.延期n年的终身生存年金
4.延期m年的n年定期生存年金
5.3.2 期初付生存年金的精算现值与 死亡年末付寿险精算现值之间的关系
1.设K为x岁的人未来取整余命，Y为给付年金现值随 机变量。 根据总额支付法：
K1| 1 v v v Y a
5.3离散型生存年金
简介
＊离散生存年金定义：
在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段 时期支付一次年金的保险。
＊离散生存年金与连续生存年金的关系：
计算精算现值时理论基础完全相同 连续－积分离散－求和
＊离散生存年金的分类：
期初年金/期末年金 终身年金/定期年金 延期年金/非延期年金
5.3.1 期初付生存年金及其精算现值
即 Ax 。
与寿险的换算公式注意
,
1 Ax x a d
2.定期生存年金
n
3.延期n年的终身生存年金
4.延期m年的n年定期生存年金
例4.5
(25)购买了到60岁退休时领取的终身生存年金，每 年初领取1元，如果此人在退休前死亡，则在死亡年 末得到趸缴纯保费的死亡给付。
1 6 0 10, A215： 已知a 0 . 08 ， A 0.15 ， 3 5| 25 ： 3 5|
则该险种的趸缴纯保费为多少？
解： 令该险种的趸缴纯保135 | a 3 5|
60 0.08 P 0.15 10 P 0.0835 E25 a
P 1.63
思考题
张发财赢得了金额为一百万元的体育彩票（税后）， 张不要求立即支付，而按照精算等价原理得到如下一个 年金： （1）该年金保证支付10年，每年支付数额为M元； （2）10年后，若此人生存则继续支付，每年仍为M元； （3）支付在每年年初进行； (4) i 0.04 (5) A40 0.30 (6) A50 0.35
经济 意义
重新整理可得：
1 i a x ia x a Ax ax x 1 i 1 i 1 i 1 i
x ax va
解释: va x为年龄为x岁的生存者期初付年金v元的终身 生存年金精算现值； ax 为x岁生存者期末付终身生存 年金的精算现值；两者唯一的差别是在死亡当年， x来说，v元已支付，而对 对va ax来说， 1元尚未支付。 所以两者之差等于(x)在死亡当年末给付1元的现值，