高考复习基本初等函数

2014高考第一轮复习——基本初等函数（概念与性质）
第一部分函数的概念
考纲解读：
1、通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，了解函数的概念。

2、了解构成函数的要素，了解映射的概念
3、掌握求函数定义域和值域的基本方法
4、了解函数的构成要素，掌握表示函数的基本方法。

掌握求函数解析式的基本方法
5、掌握作函数图象的两种基本方法是描点法和图象变换法。

学会运用函数的图象解决相关问题，理解和研究函数的性质。

6、了解简单的分段函数，并能简单的应用。

一、考点知识清单
1、函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有_______、_______、_______三种。

（1）解析法：就是把两个把变量的函数关系，______ ____来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式，中学研究的函数主要是用解析式表示的函数。

（2）列表法：就是______ ____来表示两个变量的函数关系。

（3）图象法：就是______ ____来表示两个变量之间的关系。

2、有些函数在其定义域中对自变量x不同的取值范围对应的关系不同，这样的函数通常称为__________。

分段函数虽由几个部分构成，但它代表的是一个函数。

基本函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、
三角函数等
3、函数的图象
描点法作图：
函数图象的作法
图象变换法作图：
【考点1】 映射
1、映射定义的理解
（1）集合A 、B 不加约束，可以是数集，也可以是点集或者其他类元素构成的集合； （2）集合A 、B 与对应法则是确定的，是一个系统；
（3）对应法则具有方向性，即A 到B 的映射与B 到A 的映射是不同的； （4）定义中强调A 中元素的任意性和B 中元素的唯一性；
（5）映射允许A 中的不同元素在B 中有相同的象，但不要求B 中的元素都有原象。

即A 中元素在B 中象的集合是B 的子集。

2、判断一个对应是映射的方法
要判断一个对应是否是映射，只看第一个集合A ，集合A 中的每一个元素是否都有对应元 素,且对应元素是否唯一，至于第二个集合B 中的每一个元素是否都有原象不作要求。

例1：（2013 南昌模拟）给出下列四个对应 （1）1
1
:,,+=
→==
x y x f R B R A ； （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=*N a a A 21,⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧∈==*N n n b b B ,1,a b a f 1:=→； （3）{}x y
y x f R B x x A =→=≥=
2
,:,,0；
（4）{}
{}作矩形的外接圆，内的圆平面，内的矩形平面:f B A αα== 其中是映射的为______________
【考点2】 函数
构成函数概念的三要素
（1）三要素是指定义域、对应法则、值域。

（2）三要素中只要有一个不同，两个函数就是不同的函数。

（3）三要素都相同的两个函数是同一个函数。

例1：（2012 江西）下列函数中，与函数y=
定义域相同的函数为（ ） A ．y=1
sin x
B.y=1nx x
C.y=xe x
D. sin x x
【考点3】 函数的定义域
1、自然型：
2、实际型：
3、复合型：
例1：（2012 山东）函数21
()4ln(1)
f x x x =
+-+的定义域为（ ）
A [2,0)(0,2]-U
B (1,0)(0,2]-U
C [2,2]-
D (1,2]-
例2：（2012 江苏）函数6()12log f x x -_____________
【考点4】 求值域的常用方法
1、反函数法：
2、换元法：
3、配方法：
4、导数法：
5、单调性法：
6、数形结合法：
例1：（2010 重庆）函数164x y =- ）
A [0,)+∞
B [0,4]
C [0,4)
D (0,4)
【考点5】 求函数的解析式的常用方法
1、代入法：常需配凑
2、换元法：
3、待定系数法：适用于有函数特征的题目
4、函数方程法：
5、赋值法：适用于抽象函数 例1：（2012 江苏徐州模拟）已知
12)(2+-=x x x f ，)(x g 是一次函数，且
[]24)(x x g f =，则)(x g 的解析式为_____________
例2：（2013 长沙模拟）已知2
211)11(x
x x x f +-=+-，则)(x f 的解析式可取为（ ） A 21x x + B 212x x +- C 212x x + D 2
1x
x
+-
【考点6】 函数图象
（一）函数图象的三大基本问题：作图、识图、用图
例1：（2012 江西）设函数21,1,()2,1,x x f x x x
⎧+≤⎪
=⎨>⎪⎩则f (f (3))＝( )
A ．
15 B ．3 C ．23 D ．139
例2：（2011 江苏）已知实数0≠a ，函数⎩
⎨⎧≥--<+=1,21
,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，
则a 的值为________
例3：（2012 福建）设函数⎩⎨
⎧=为无理数
为有理数x x x D ,0,1)(，则下列结论错误的是（ ）
A ．)(x D 的值域为}1,0{
B ．)(x D 是偶函数
C ．)(x
D 不是周期函数 D ．)(x D 不是单调函数
历年真题精选
1、（2012 安徽）下列函数中，不满足)(2)2(x f x f =的是（ ） A f(x)＝x B f(x)=x-x C f(x)＝x+1 D f(x)＝-x
2、（2012 湖北）已知定义在区间[0,2]上的函数()y f x =
则(2)y f x =--的图象（ ）
3、（2012 山东）设函数f （x ）=
x
1
，g （x ）=ax 2+bx )0,,(≠∈a R b a 若y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),则下列判断正确的是（ ） A.当a<0时，x 1+x 2<0,y 1+y 2>0 B. 当a<0时, x 1+x 2>0, y 1+y 2<0 C.当a>0时，x 1+x 2<0, y 1+y 2<0 D. 当a>0时，x 1+x 2>0, y 1+y 2>0
4、（2010 天津）若函数f(x)=21
2
log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪
⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是（ ）
A （-1，0）∪（0，1）
B （-∞，-1）∪（1,+∞） A B
C D
5、（2011 浙江）设函数
2
,0,(),0.x x f x x x -≤⎧=⎨⎩> 若()4f α=，则实数α=( ) A -4或-2 B -4或2 C -2或4 D -2或2
6、（2009 安徽）设b a <，函数)()(2
b x a x y --=的图像可能是（ ）
7、（2010 天
津
）
设
函
数2()2()
g x x x R =-∈，
⎩
⎨⎧≥-<++=)(,)()(,4)()(x g x x x g x g x x x g x f ，则()f x 的值域是（ ）
A 9
,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦
B [0,)+∞
C 9
[,)4-+∞ D 9,0(2,)4
⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦
8、（2012 陕西文）设函数()0102x x x f x x ≥=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭
⎩，，，，则()()4=f f - ．
9、（2012 江苏）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，
上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪
=+⎨⎪+⎩≤≤≤，
，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则3a b +的值为_________．
第二部分 函数的单调性与最值
考纲解读：
1、理解函数单调性概念，掌握判断一些简单函数单调性的方法，能利用函数单调性解决一些问题。

2、理解函数最大（小）值得概念，能求简单函数的最大（小）值，能用函数的最值分析解决有关问题。

一、考点知识清单
1、函数的单调性
（1）一般地，设函数)(x f 的定义域为I ，如果对定义域内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21
x x <时，
①若______________，则)(x f 在区间D 上是增函数 ②若______________，则)(x f 在区间D 上是减函数
（2）若函数)(x f 在区间D 上是增函数或减函数，则称函数)(x f 在这一区间具有（严格的）______________，区间D 叫做)(x f 的______________ 2、函数的最值
设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M ，满足：
（1）对______________的I x ∈，都有______________。

______________I x ∈0，使得M x f =)(0。

则称M 是函数)(x f y =的______________ （2）如果存在常数N ，满足对任意的
∈x ______________，都有N x f ≥)(,存在I x ∈0，使得
______________。

那么称______________是)(x f 的最小值。

二、考点分析
【考点1】 函数的单调性
判断函数单调性的常用方法
1、定义法：取值→作差→变形→定号→下结论
2、复合法：同增异减
3、导数法：
4、图象法：
例1：（2012 广东）下列函数中，在区间()+∞,0上为增函数的是（ ）
A )2ln(+=x y B
1+-=x y C x y )21(= D x
x y 1
+=
【考点2】 函数的最值
有关最值的重要结论
设)(x f 在某个集合D 上有最小值，m 为常数，则m x f ≥)(在D 上恒成立的充要条件是m x f ≥min )( 设)(x f 在某个集合D 上有最大值，m 为常数，则m x f ≤)(在D 上恒成立的充要条件是m x f ≤max )(
例1：（2008 重庆）函数f (x ）
A
25
B
12
C
D 1
【考点3】 二次函数的图象与性质
1、二次函数解析式的三种方法 （1）一般式 （2）顶点式 （3）两根式
2、二次函数单调区间的划分仅仅依赖对称轴和开口方向
例1：（2013 湖北联考）函数32)(2
+-=mx x x f ，当[)+∞-∈,2x 时是增函数，当(]2,-∞-∈x 时是减
函数，则
)1(f 等于（ ）
A -3
B 13
C 7
D 5
【考点4】 二次函数的闭区间上的最值
注意讨论对称轴
例1：（2013 南昌模拟）已知函数()104
21)(2≤≤-+
+-=x a
ax x x f 的,最大值为2，则实数a 的值为___________
1、（2010 北京）给定函数①1
2
y x =，②12
log (1)y x =+，③|1|y x =-，④1
2
x y +=，期中在区间（0，1）
上单调递减的函数序号是（ ）
A ①②
B ②③
C ③④
D ①④
2、（2010 天津）设函数2
()1f x x =-，对任意2
,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2
4()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+
⎪⎝⎭
恒成立，则实数m 的取值范围是 .
第三部分 函数的奇偶性、周期性
考纲解读：
1、了解奇函数、偶函数的意义，判断一些简单函数的奇偶性，并能运用函数的奇偶性解决一些问题。

2、了解周期函数的意义，并能利用函数的周期性解决一些问题。

一、考点知识清单
1、函数的奇偶性
2、函数的周期性
对于函数)(x f y =，如果存在一个不为0的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有___________，奇偶性 定义
图象特点
偶 函 数
如果函数)(x f 对定义域内___________x 都有__________，那么函数
)(x f 是偶函数
关于__________对称
奇 函 数 如果函数)(x f 对定义域内___________x 都有__________，那么函数
)(x f 是函奇函数
关于__________对称
最小正周期。

【考点2】 函数的奇偶性
1、正确理解奇函数和偶函数的定义，必须要把握两个问题 （1）定义域在数轴上关于原点对称 （2）)()(x f x f -=-或)()(x f x f =-
2、为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简，或用定义的等价形式： 0)()()()(=±-⇔±=-x f x f x f x f ， []0)(1)
()
()()(≠±=-⇔
±=-x f x f x f x f x f 3、如果)(x f 是偶函数，那么)()(x f x f =，反之也成立
4、偶函数关于y 轴对称，奇函数关于原点对称。

因此在关于原点对称的区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反。

例1：（2012 广东）下列函数为偶函数的是（ ）
A y ＝sin x
B y ＝3
x C y ＝x
e D y ＝
例2：（2011湖北）已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足
)1,0(2)()(≠>+-=+-a a a a x g x f x x 且，若g(2)=a,则f(2)=（ ）
A 2
a B 2 C
154 D 17
4
【考点2】 函数的周期性
设函数D x x f y ∈=),(，如果存在非零常数T ，使得对任何D x ∈，都有)()(x f T x f =+，则函数
)(x f y =为周期函数，为的一个周期（D 为定义域内某个区间）
例1：（2011 山东）已知()f x 是最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，()3
f x x x =-，则函
数()y f x =的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为（ ） A 6
B 7
C 8
D 9
历年真题精选
C y=
2
x x
e e --，x ∈R D y=x3+1，x ∈R
2、（2012 福建）函数)(x f 在],[b a 上有定义，若对任意],[,21b a x x ∈，有
)]()([2
1
)2(
2121x f x f x x f +≤+，则称)(x f 在],[b a 上具有性质P 。

设)(x f 在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题：
①)(x f 在]3,1[上的图像时连续不断的；
②)(2
x f 在]3,1[上具有性质P ；
③若)(x f 在2=x 处取得最大值1，则1)(=x f ，]3,1[∈x ；④对任意]3,1[,,,4321∈x x x x ，有
)]()()()([4
1
)2(
43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++。

其中真命题的序号是（ ）
A ①②
B ①③
C ②④
D ③④
3、（2011 全国）设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
（ ）
A 12-
B 14-
C 14
D 1
2
4、（2010 湖南）用{}min ,a b 表示,a b 两数中的最小值.若函数{}
()min ,f x x x t =+的图像关于直线
1
2
x =-对称，则t 的值为（ ）
A 2-
B 2
C 1-
D 1
5、（2012 上海）已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -=
6、（2012 浙江）设函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f （x ）=x
＋1，则3f 2
（）=_______________。