常微分方程试题及答案
常微分方程试题B答案
常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7一、填空题（每小题3分，本题共30分）1．二 2． )()]()([1211x y x y x y C +- 3． ()0W t ≡或00()=0,W t t I ∈4．)(x NxNy M ϕ=∂∂-∂∂ 5.1y =± 6. n 7. 充分 8. 00(,)xx y y f x y dx =+⎰9.1,Re s a s a>- 10. ()+∞∞-, 二、计算题（每小题5分，本题共20分）11. 解： 齐次方程的通解为 xC y 3e-= (3分)令非齐次方程的特解为 xx C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x+=5e 51)( 原方程的通解为 xC y 3e-=+x2e51 （5分）12. 解： 对应的特征方程为：012=++λλ，解得i i 23,23212211--=+-=λλ （3分） 所以方程的通解为：)23sin 23cos(2121t c t c ex t +=- （5分）13.1=∂∂y M ，xN∂∂=1 , x N y M ∂∂=∂∂ 所以此方程是恰当方程. （3分）凑微分，0)(22=++-xdy ydx ydy dx x得C y xy x =-+2331 （5分） 14． 5,1,dy dt x y t dx dx -===-令则 1,(7)77dt tt dt dx dx t -=---原方程化为：变量分离 （3分）21772t x c t-=-+两边积分217(5)7.2(5)x y x c x y --+=-+-+代回变量（5分）三、计算题（每小题10分，本题共30分） 15．特征方程为 01411=--=-λλλE A ,即 0322=--λλ.特征根为 31=λ，12-=λ. （4分）31=λ对应特征向量应满足 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0031413111b a 可确定出⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b a同样可算出12-=λ对应的特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2122b a所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--t t t t C C y x 2e e 2e e 2331 （10分） . 16．解：(),dyP x y dx= （1） 这是一个变量分离方程，通解为(),P x dxy ce ⎰=这里c 是任意常数。
常微分期末试题及答案
常微分期末试题及答案[正文开始]第一部分：选择题1. 若函数 f(x) = 3x^2 + 2x + c 在区间 [0, 1] 上是增函数，则实数 c 的取值范围是：A) c > 1/4B) c > -1/4C) c < 1/4D) c < -1/4答案：A) c > 1/4解析：当 f(x) 是增函数时，f'(x) > 0。
对于 f(x) = 3x^2 + 2x + c，求导得到 f'(x) = 6x + 2。
显然当 x > -1/3 时，f'(x) > 0，即 c > 1/4。
2. 解微分方程 dy/dx = x^2 + 1 的通解为：A) y = (1/3)x^3 + x + CB) y = (1/3)x^3 + CC) y = (1/3)x^2 + x + CD) y = (1/3)x^2 + C答案：A) y = (1/3)x^3 + x + C解析：对方程 dy/dx = x^2 + 1 进行积分，得到 y = (1/3)x^3 + x + C，其中 C 为积分常数。
3. 设三角函数f(x) = sin(2x + π/3)，则 f'(x) = ？A) 2cos(2x + π/3)B) 2cos(2x - π/3)C) 2cos(2x)D) 2cos(2x + π/6)答案：B) 2cos(2x - π/3)解析：根据链式法则，对sin(2x + π/3) 求导，得到 f'(x) = 2cos(2x +π/3) * 2 = 2cos(2x - π/3)。
4. 设 f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则 f(g(2)) = ？A) e^2B) e^3C) 2D) ln(2)答案：A) e^2解析：首先求 g(2) = ln(2)，然后将结果代入 f(x) = e^x 中计算，得到 f(g(2)) = f(ln(2)) = e^ln(2) = 2。
常微分方程试题及答案
常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案：A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是：A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
常微分方程期末试题答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ．22d d y x x y+=2. 方程组的任何一个解的图象是 n+1 维n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 空间中的一条积分曲线.3．连续是保证方程初值唯一的 充分 条件．),(y x f y '),(d d y x f xy=4．方程组的奇点的类型是 中心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d )0,0( 5．方程的通解是2)(21y y x y '+'=221C Cx y +=6．变量可分离方程的积分因子是()()()()0=+dy y q x p dx y N x M ()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=条件是 线性无关8．方程的基本解组是440y y y '''++=x x x 22e ,e--二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程的积分因子是（ A ）．d ()()d yp x y q x x+=（A ）（B ）（C ）（D ）⎰=xx p d )(e μ⎰=xx q d )(e μ⎰=-xx p d )(e μ⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程是（ B ）0d )ln (d ln =-+y y x x y y （A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A)(B)1±=x 1±=y (C ), (D ), 1±=y 1±=x 1=y 1=x12．阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．n （A ）构成一个线性空间（B ）构成一个维线性空间1-n（C ）构成一个维线性空间（D ）不能构成一个线性空间1+n 13．方程（ D ）奇解．222+-='x y y （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分方程期末试题标准答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分方程试题及答案
常微分方程试题及答案(共4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是．3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间．5．方程21d d y xy -=的常数解是 ． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．方程y x xy +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面7. 方程1d d +=y xy （ ）奇解． （A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy =解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy =过点(0, 0)有（ B ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分： 11. y y xy ln d d = 12. xy x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y xy += 14．0)d (d 222=-+y y x x xy15．3)(2y y x y '+'=四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty t y t x d d sin 1d d 五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程 )(d d x f y xy =+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ． 19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程模拟试题参考答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．2 2．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3．x x x e ,e 4．开 5．1±=y二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．D 7．C 8．B 9．C 10．A三、计算题（每小题６分，本题共30分）11．解： 1y =为常数解 （1分）当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x yy y +=⎰⎰d ln d （3分） 通积分为x C y e ln = （6分）注：1y =包含在常数解中，当0c =时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。
试题集：常微分方程
1.常微分方程y′+2y=4e x的通解形式为？o A. y=2e x+Ce−2xo B. y=2e x+Ce2xo C. y=2e−x+Ce2xo D. y=2e−x+Ce−2x参考答案: A解析: 该方程为一阶线性常微分方程，通过积分因子法求解，积分因子为e2x，从而得到通解形式。
2.方程y″−4y′+4y=0的特征方程为？o A. r2−4r+4=0o B. r2+4r+4=0o C. r2−4r−4=0o D. r2+4r−4=0参考答案: A解析: 特征方程由方程的系数确定，对于y″−4y′+4y=0，特征方程为r2−4r+4=0。
3.方程y″+9y=0的解中包含的函数类型是？o A. 指数函数o B. 三角函数o C. 对数函数o D. 幂函数参考答案: B解析: 该方程的特征方程为r2+9=0，解得r=±3i，因此解中包含三角函数。
4.方程y′=2y+3的平衡点是？o A. y=−32o B. y=32o C. y=−3o D. y=3参考答案: A解析: 平衡点满足y′=0，解方程0=2y+3得y=−3。
25.方程y″+4y′+4y=e2x的特解形式为？o A. y=Ax2e2xo B. y=Axe2xo C. y=A2xe2xo D. y=Ae2x参考答案: B解析: 由于e2x的形式，特解形式应为Axe2x。
6.方程y′=y2−4的奇点是？o A. y=2o B. y=−2o C. y=0o D. y=2,y=−2参考答案: D解析: 奇点满足y′=0，解方程0=y2−4得y=2,y=−2。
7.方程y″−5y′+6y=0的特征根是？o A. r=2,r=3o B. r=−2,r=−3o C. r=2,r=−3o D. r=−2,r=3参考答案: A解析: 特征方程为r2−5r+6=0，解得r=2,r=3。
8.方程y′=3y+e x的通解中包含的函数是？o A. e3xo B. e−3xo C. e xo D. e−x参考答案: A解析: 该方程为一阶线性方程，通解中包含e3x。
常微分方程试题及参考答案
常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分)1.常微分方程中的自变量个数是________.2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程.4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.5.方程=(x+1)3的通解为________.6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解.7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________.9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________.12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________.13.方程组的奇点类型是________.二、计算题(共45分)1.(6分)解方程= .2.(6分)解方程x″(t)+ =0.3.(6分)解方程(y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程5.(7分)求方程：S″(t)-S(t)=t+1满足S(0)=1, (0)=2的解.6.(7分)求方程组的基解矩阵Φ(t).7.(7分)验证方程：有奇点x1=1, x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.三、证明题(每小题8分，共16分)1.设f(x,y)及连续，试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.2.函数f(x)定义于-∞<x<+∞，且满足条件|f(x1)-f(x2)|≤N|x1-x2|,其中0<N<1,证明方程x=f(x)存在唯一的一个解.常微分方程试题参考答案一、填空题(每小题3分，共39分)1.12. 2+c1t+c23.u=4. c为任意常数5.y= (x+1)4+c(x+1)26.y=y0+7. (x)=8.对任意t9.x(t)=c1e t+c2te t+c3e-t+c4te-t10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +c n x n(t)11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=312.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+ ]13.焦点二、计算题（共45分）1.解：将方程分离变量为改写为等式两边积分得y-ln|1+y|=ln|x|-即y=ln 或e y=2.解：令则得=0当0时-arc cosy=t+c1y=cos(t+c1) 即则x=sin(t+c1)+c2当=0时y= 即x3.解：这里M=y-1-xy, N=x令u=xye-xu关于x求偏导数得与Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有则因此u=xye-x+e-x方程的解为xye-x+e-x=c4.解：方程改写为这是伯努利方程，令z=y1-2=y-1 代入方程得解方程z==于是有或5.特征方程为特征根为对应齐线性方程的通解为s(t)=c1e t+c2e-tf(t)=t+1, 不是特征方程的根从而方程有特解=（At+B）,代入方程得-(At+B)=t+1两边比较同次幂系数得A=B=-1故通解为S(t)=c1e t+c2e-t-(t+1)据初始条件得c1=因此所求解为：S(t)=6.解：系数矩阵A=则，而det特征方程det( )=0, 有特征根对对对因此基解矩阵7.解：因故x1=1，x2=0是方程组奇点令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得化简得*这里R(X)= , 显然（当时）方程组*中，线性部分矩阵det(A- )=由det(A- )=0 得可见相应驻定解渐近稳定三、证明题（每小题8分，共16分）1.证明：若dy-f(x,y)dx=0为线性方程则f(x,y)=因此仅有依赖于x的积分因子反之，若仅有依赖于x的积分因子。
(完整版)常微分方程试题及答案
第十二章 常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。
( X )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。
( X )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。
( O )4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。
( X )5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21(C 为任意常数)。
(O ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。
( X )7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。
( O )8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。
( O )9．221xy y x dx dy+++=是可分离变量的微分方程。
( O )二、填空题1．在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是可分离变量微分方程。
②()()022=-++dy y x y dx x xy 是可分离变量微分方程。
③x yy dx dyx ln ⋅=是齐次方程。
④x x y y x sin 2+='是一阶线性微分方程。
⑤02=-'+''y y y 是二阶常系数齐次线性微分方程。
2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 3 个独立常数。
3．x e y 2-=''的通解是21241C x C e x ++-。
4．x x y cos 2sin -=''的通解是21cos 2sin 41C x C x x +++-。
5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 3 阶微分方程。
6．微分方程()06='-''⋅y y y 是 2 阶微分方程。
(完整版)常微分方程期末试题答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
(完整版)常微分方程试题及答案2023年修改整理
第十二章 常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。
( X )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。
( X )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。
( O ) 4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。
( X )5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21 (C 为任意常数)。
( O )6．y y sin ='是一阶线性微分方程。
( X ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。
( O ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。
( O )9．221xy y x dxdy +++=是可分离变量的微分方程。
( O )二、填空题1．在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是可分离变量微分方程。
②()()022=-++dy y x y dx x xy 是可分离变量微分方程。
③xy y dx dy x ln ⋅=是齐次方程。
④x x y y x sin 2+='是一阶线性微分方程。
⑤02=-'+''y y y 是二阶常系数齐次线性微分方程。
2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 3 个独立常数。
3．x e y 2-=''的通解是21241C x C e x ++-。
4．x x y cos 2sin -=''的通解是21cos 2sin 41C x C x x +++-。
5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 3 阶微分方程。
6．微分方程()06='-''⋅y y y 是 2 阶微分方程。
常微分试题及答案
常微分试题及答案一、选择题1. 若微分方程 dy/dx = 3x^2，则它的通解为：A. y = x^3 + CB. y = x^2 + CC. y = x^3/3 + CD. y = x^4/2 + C答案：C2. 设 y = e^x 是微分方程 dy/dx - y = 0 的解，则该微分方程的通解为：A. y = e^xB. y = e^(2x)C. y = e^(3x)D. y = e^(4x)答案：A3. 设 y = x^2 是齐次微分方程 y'' - y' - 2y = 0 的解，则该微分方程的通解为：A. y = x^2B. y = x^2 + CC. y = e^x + CD. y = e^(2x) + C答案：B二、计算题1. 解微分方程 dy/dx = 2x + 1，并求出满足初始条件 y(0) = 1 的特解。
解：对微分方程进行分离变量得：dy = (2x + 1)dx两边同时积分得：∫dy = ∫(2x + 1)dxy = x^2 + x + C代入初始条件 y(0) = 1 得：1 = 0^2 + 0 + CC = 1特解为：y = x^2 + x + 12. 求微分方程 y'' + 2y' + y = 0 的通解。
解：首先设通解为 y = e^(rx)，带入微分方程得：r^2e^(rx) + 2re^(rx) + e^(rx) = 0化简得：e^(rx)(r^2 + 2r + 1) = 0由指数函数的性质可知，e^(rx) 不等于 0，因此：r^2 + 2r + 1 = 0求解这个二次方程得：r = -1 （二重根）所以，通解为 y = (C1 + C2x)e^(-x)三、应用题有一容器中装有某种细菌，已知初始时刻容器中有 1000 个细菌，随着时间的推移，细菌的数量的变化率与它们的数量成正比。
经实验测得 2 小时后细菌的数量增加到 2000 个。
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第十二章常微分方程（A）、是非题1 •任意微分方程都有通解。
（X ）2 •微分方程的通解中包含了它所有的解。
（X ）3 .函数y 3sinx 4cosx是微分方程y y 0的解。
（O ）4•函数y x1 2 e x是微分方程y 2y y 0的解。
（X ）1 25. 微分方程xy In x 0的通解是y - I nx C （C为任意常数）。
（O ）26. y sin y是一阶线性微分方程。
（X ）7. y x y xy不是一阶线性微分方程。
（O ）8. y 2y 5y 0的特征方程为r2 2r 5 0。
( O )9.矽 1 x y2 xy2是可分离变量的微分方程。
（O ）dx、填空题1在横线上填上方程的名称①y 3 In xdx xdy 0是可分离变量微分方程。
②xy2 x dx y x2y dy 0是可分离变量微分方程。
③x y In 丫是齐次方程。
dx x④xy y x2 sin x是一阶线性微分方程。
⑤y y 2y 0是二阶常系数齐次线性微分方程。
2y sin xy x cosx的通解中应含_3 ________________ 个独立常数。
1A. 3 B11. 在下列函数中，能够是微分方程 y y 0的解的函数是（C ）A. y 1 B . y x C . ysin x D . y e x7. 8. 1丄所满足的微分方程是yx空的通解为yxCx 2。
9.dxdy0的通解为 x 10. dydx2y x 15x 1 2 ,其对应的齐次方程的通解为y C xx 211. 方程xy 1 12. 3阶微分方程 0的通解为y Cxe 21 6 x120 x 3 * 5 6 7 8的通解为y C [XC 2 x C 3、选择题1.微分方程 xyy 3y 4y 0的阶数是（D ） oA. 3 B 2 .微分方程x 5 1的通解中应含的独立常数的个数为3.下列函数中，哪个是微分方程dy 2xdx0的解（A . y 2xB . y x 2C .2x Dcosxa cosxC. y x asinx bcosxy acosx bsinx9.下列微分方程中,是二阶常系数齐次线性微分方程。
A. y 2y 0 y xy 3y 2 0 C. 5y 4x 0y 2y 110.微分方程y 0满足初始条件y0 1的特解为（A ）A. e xB .e xxxC . e 1D .2 e12 .过点1,3且切线斜率为2x 的曲线方程yy x 应满足的关系是A .y 2x B . y 2x C .y 2x ,y 1 3 D .y 2x , y13 .下列彳 微分方程中， 可分离变量的是 ( B )0A .dyy eB.dy k x a b y ( k,a ,b 是常数）dx xdxC. dy sin y xD. y xy 2yxedx14 . 方程 y 2y 0 白 勺通解是（C )。
A .y sin x B . y 4 e 2xC . y C 2 xe D . xy e1dx 15 .微分方程坐 ydyx 0满足y |x 3 4的特解是（A ） oA. x 2 y 225B •3x 4y C C . x 2y 2C D . x 2 y 2716 .微分方程 dy 1 y0的通解是 y ( B ) odx xA . C B.CxC .-CD . x Cxx17 .微分方程 y y 0的解为（B )0A . e xB.exC xx.e e D .e x18 .下列函数中，为微分方程xdxydy 0的通解是（B ）O5 .求微分方程y y cosx e sinx 的通解A. x y C B . x 2 y 2 C C . Cx y 0 D 19.微分方程2ydy dx 0的通解为（A ）A. y x C B . y xC C . y x C D四、解答题1.验证函数y C e 3x e 2x （C 为任意常数）是方程巴 e 2x 3y 的通解,dx并求出满足初始条件yl x 。
0的特解。
2 2xy 1dx y1 x dy 0的通解和特解。
y I xo 1解：C , 2x 2 y 211 x3.求微分方程鱼—tan'的通解dx x x解：sin 丫 Cx oxy △ y4.求微分方程y y x 的特解。
y |x1 2解：y 2 2x 2 ln x 2A. sin x cosy C B .cos ysin x CC. cosx sin y C D cosx sin yC21. y ex的通解为y (C ) oA.xeB . e xC . e xC 1 x C 2D .e x C 1x C22. 按照微分方程通解定义，y sinx 的通解是（ A )oA.sin x C 1x C 2B sin x C1C2C. sin x C 1x C 2Dsin xC 1 C 220.微分方程cosydy sin xdx 的通解是（D ）oCx 2 y 02.求微分方程x14.求微分方程y2y的通解解：y e sinx x C6. 求微分方程 翌 —sin x 的通解。
dx x1解：ysi nx xcosx C x77. 求微分方程x 1 y 2y x 1至的特解。
y I xo 1231 八 解：y x 12 x 133 &求微分方程y 孕冬满足初始条件x 0, y 1 , y 3的特解。
x 1解：y x 3 3x 19.求微分方程y 2yy 满足初始条件x 0 , y 1 , y 2的特解。
x 2y y 2x y 的解。
11. 求微分方程e x y e x dx e x y e y dy 0的通解。
解：e x 1 e y 1 C12. 求 dy y tanx secx , y |x 00 的特解。
dx解：y —cosx13. 验证y 1 cos x , y 2 sin x 都是y 2y 0的解，并写出该方程的通 解。
解：y Cx 2 x 21 nx解: arctany x — 或 y4tan x10 .验证二元方程x 2xy y 2 C 所确定的函数为微分方程15 .求微分方程yx1-yxx e 0满足初始条件y1 0的特解。
解：y — exx16.求微分方程dy 2 y x 1 3的通解。
dx x 1解: y x 12 x21 C 217.求微分方程x—dx y -dy 0满足条件y0 1的特解。
1 y 1 x解：2 y3x3 3 y 2 2 x ! 518.求微分方程y y 2y 0的通解。
解：y C1e x C2e 2x19.求微分方程y 2y 5y 0的通解。
解：y e x C1cos2x C 2 sin 2x20.求微分方程y 4y 4y 0的通解。
解：y C1 C2xe 2x21.试求y x的经过点M 0,1且在此点与直线y - 1相切的积分曲线。
2解：y ^x3—x 16 2(B)—、是非题1 .可分离变量微分方程不都是全微分方程。
(X )2•若y1 x , y2 x都是y P x y Q x的特解，且y1 x与y? x线性无关,则通解可表为y x y1 x C y1 x y2 x。
( O )3. 函数y e 1x e 2x是微分方程y 1 2 y 1 2y0的解。
(O )4. 曲线在点x,y处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是y x2 C(C是任意常数)。
(X )5 .微分方程y e2x y,满足初始条件1 y|x0 0的特解为*尹1。
（X ）二、填空题1 . y1 cosx 与y2sin x是方程y y 0的两个解，则该方程的通解为y G cosx C2sinx2.微分方程2y 3y 0的通解为y C1e x C2e3x o3.微分方程2y y 0的通解为y C i C?x e o4. 微分方程e2x的通解是y 8e2x 2x C?x C3 o5.微分方程y'的通解是y C1e x C2 o6 . 微分方程dydx2xy的通解是y C x2 e o、选择题1.微分方程4y 4y 0的两个线性无关解是（C ）A . e2x与2 e2xB . e 2x与x e 2xC . e2x与x e 2xD . e 2x与4 e 2x2 .下列方程中，不是全微分方程的为（C ）A. 3x2 6xy2 dx 6x2y 4y2 dy B . e y dx x e y2ydyC. y x 2y dx x2dy 0 y dx xdy3.下列函数中，哪个函数是微分方程t g的解（C2A . s gtB . s gtC . s 1 2gt4.下列函数中，是微分方程y 7y12y 0 的解（C ）A. y x3B . y x2C . y e 3x D .2xy e 5.方程1 x2 y xy 0的通解是（D ）」x3 Cx 212x Cxe 26 .微分方程y Inxdx x In ydy满足y |x 1 1的特解是（A ）A. In2x in2 yB.ln2 x ln 2 y 1C. In2 x In2;y 0 D .ln 2 x ln2y 17.微分方程1 x2 dy 1 y 2 dx 0的通解是（A )。
A. arctan x arctan y C B . tan x tan y CC. ln x ln y C D •cot x cot y C8 .微分方程y sin x的通解是（C ）。
A. y sin x B .y sin xC. y sin x C1|X C2 D y sin x C1 x C 29 .方程xy y3的通解是（A ) 。
“ C C 3 c C c CA. y 3 B .y - C —.y 一 3 D . y 3x x x x四、解答题1.求微分方程y 9y 24x 6 cos3x 2sin3x 的通解。
解：y 0 x cos3x C2 2x2x sin x3x2.求微分方程y 7y 6y sin x 的通解。
解：y C1e6x C2e x17 cosx 5sin x 743.求微分方程3x2 2xy y2dx x2 2xy dy 0的通解。
C解：y2 xy x2—x（—）—、是非题1 •只要给出n阶线性微分方程的n个特解，就能写出其通解。
X2 .已知二阶线性齐次方程y P x y Q x y 0的一个非零解y，即可求出它的通解。
（0 ）二、填空题1 .微分方程y 4y 5y 0的通解是y e2x C i cosx —2sinx。
2 .已知y 1 , y x , y x2某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为y e2x C1 cosx C2sin x。
3.微分方程2y 2y e x的通解为y xe C1 cos x C2 sin x 1 。