《二项分布及其应用》教案 (1)

一、复习预习

教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容

二、知识讲解

考点/易错点1 条件概率

（1）定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号(/)P B A 来表示，其公式为()

(/)()

P A B P B A P A =

（2） 条件概率具有的性质：（1）非负性：0(/)1P B A ＃；（2）可加性：如果B 和C 是两个互斥事件，则(/)(/)(/)P B C A P B A P C A =+U 考点/易错点2 相互独立事件

（1）定义：对于事件A 和B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A,B 为相互独立事件

（3） 相互独立事件的概率性质：①若A 与B 相互独立，则(/)(),()(/)()()()P B A P B P A B P B A P A P A P B ===g g ②如果事件12,,,n A A A g g g 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =鬃 g g g g g g ③若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立

考点/易错点3 独立重复试验与二项分布

①独立重复试验：一般的，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验

②二项分布：一般的，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()(1)(0,1,2)k k n k n p x k C p p k n -==-=鬃 ，

此时称随机变量X 服从二项

分布，记作(,)X B n p :，并称p 为成功概率。

三、例题精析

【例题1】

【题干】从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为

偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )． A.18 B.14 C.25 D.12

【答案】 B

【解析】 P (A )

＝C 23＋C 2

2C 2

5＝410＝25，P (A ∩B )＝C 22

C 25＝110

. 由条件概率计算公式，得P (B |A )＝

P A ∩B

P A

＝110410

＝14. 【例题2】

【题干】某品牌汽车的4S 店，对最近100位采用分期付款的购车者进行了统

计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，且4S 店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.

(1)若以频率作为概率，求事件A ：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分3期付款”的概率P (A )；

(2)求η的分布列及其数学期望E (η)．

【解析】(1)由题意可知“购买该品牌汽车的3位顾客中有1位采用分3期付

款”的概率为0.2，所以

P (A )＝0.83＋C 13×0.2×(1－0.2)2

＝0.896.

(2)由

a

100

＝0.2得a＝20，

∵40＋20＋a＋10＋b＝100，∴b＝10. 记分期付款的期数为ξ，依题意得：

P(ξ＝1)＝

40

100

＝0.4，P(ξ＝2)＝

20

100

＝0.2，P(ξ＝3)＝

20

100

＝0.2，P(ξ

＝4)＝

10

100

＝0.1，P(ξ＝5)＝

10

100

＝0.1.

由题意知η的可能取值为：1,1.5,2(单位：万元)．

P(η＝1)＝P(ξ＝1)＝0.4，

P(η＝1.5)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.4；

P(η＝2)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2.

∴η的分布列为：

∴η的数学期望E(η)＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4(万元)．要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．

【例题3】

【题干】今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量．例如：家居用电的碳排放量(千克)＝耗电度数×0.785，汽车的碳排放量(千克)＝油耗公升数×0.785等．某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：

(1)如果甲、乙来自A 小区，丙、丁来自B 小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；

(2)A 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A 小区中任选25人，记ξ表示25个人中低碳族人数，求E (ξ)．

【解析】(1)记这4人中恰好有2人是低碳族为事件A ，

P (A )＝12×12×15×15＋4×12×12×451512×12×45×45＝

33100. (2)设A 小区有a 人，2周后非低碳族的概率P ＝a ×

12

－15

2

a

＝

825

， 2周后低碳族的概率P ＝1－8251725

依题意ξ～B (25，1725)，所以E (ξ)＝25×17

25

＝17. 【例题4】

【题干】某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第

2位)

(1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；

(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．

【解析】设“5次预报中恰有2次准确”为事件A ，“5次预报中至少有2次

准确”为事件B ，“5次预报恰有2次准确，且其中第3次预报准确”为事件C . (1)P (A )＝C 25

⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫1－453＝10×1625×1

125≈0.05. (2)P (B )＝1－C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫450⎝ ⎛⎭⎪⎫1－455－C 1

5

×45⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－454≈0.99.