北京市朝阳区2018年初三一模数学试卷及答案

北京市朝阳区九年级综合练习（一）
数学试卷
学校 班级 姓名 考号 考 生 须
知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）
下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有．．一个．
1.如图，直线a ∥b ，则直线a ，b 之间距离是 （A ）线段AB 的长度 （B ）线段CD 的长度 （C ）线段EF 的长度 （D ）线段GH 的长度
2.若代数式1
2 x x
有意义，则实数x 的取值范围是 （A ）x =0
（B ）x =1
（C ）x ≠0
（D ）x ≠1
3.若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是 （A ）球
（B ）圆柱 （C ）圆锥 （D ）三棱柱
4.已知 l 1∥l 2，一个含有30°角的三角尺按照如图所示位置摆放，则∠1+∠2的度数为 （A ） 90° （B ）120°
（C ）150° （D ）180°
5.下列图形中，是中心对称图形但不是
．．轴对称图形的是
（A）（B）（C）（D）
6.实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，
下列结论①a＜b；②|b|=|d| ；③a+c=a；④ad>0中，正确的有
（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个
7.“享受光影文化，感受城市魅力”，2018年4月15-22日第八届北京国际电影节顺利举办.下面的统计图反映
了北京国际电影节﹒电影市场的有关情况．
第六届和第八届北京国际电影节﹒电影市场“项目创投”申报类型统计表
根据统计图提供的信息，下列推断合理
．．的是
（A）两届相比较，所占比例最稳定的是动作冒险（含战争）类
（B）两届相比较，所占比例增长最多的是剧情类
（C）第八届悬疑惊悚犯罪类申报数量比第六届2倍还多
（D）在第六届中，所占比例居前三位的类型是悬疑惊悚犯罪类、剧情类和爱情类
8. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=6，点P是AB边
上一动点（点P与点A不重合），以AP为边作正方形APDE，设
申报类型
届
悬疑惊
悚犯罪
剧情爱情喜剧科幻
奇幻
动作冒险
（含战争）
古装
武侠
动画其他第六届8.70% 25.30% 17.80% 12.20% 13.00% 7.80% 0 3.80% 11.40%
第八届21.33% 19.94% 18.70% 15.37% 10.66% 7.48% 4.02% 1.39% 1.11%
AP =x ，正方形APDE 与△ABC 重合部分（阴影部分）的面积为y ， 则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是
二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 赋予式子“ab ”一个实际意义： ． 10.如果
02
3≠=n
m ，那么代数式)2(432
2n m n m n m +⋅--的值是 ． 11.足球、篮球、排球已经成为北京体育的三张名片，越来越受到广大市民的关注. 下表是
北京两支篮球队在2017-2018赛季CBA 常规赛的比赛成绩：
队名 比赛场次 胜场 负场 积分 北京首钢 38 25 13 63 北京北控
38
18
20
56
设胜一场积x 分，负一场积y 分，依题意，可列二元一次方程组为 ． 12. 如图，AB ∥CD ，AB=2
1
CD ，S △ABO ：S △CDO = ．
13. 如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，OD ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点D ，则∠BAD = 度.
第13题图 第14题图
14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△O'A'B'可以看作是△OAB 经过若干次图形的变化 （平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△OAB 得到△O'A'B'的过程： .
15.下列随机事件的概率：①投掷一枚均匀的骰子，朝上一面为偶数的概率；②同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率；③抛一枚图钉，“钉尖向下”的概率；④某作物的种子在一定条件下的发芽率.
既可以用列举法求得又可以用频率估计获得的是 （只填写序号）.
16.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.
已知：直线a 和直线外一点P . 求作：直线a 的垂线，使它经过P . 作法：如图，
（1）在直线a 上取一点A , 连接P A ；
（2）分别以点A 和点P 为圆心，大于AP 的长为半径作弧，
两弧相交于B ，C 两点，连接BC 交P A 于点D ； （3）以点D 为圆心，DP 为半径作圆，交直线a 于
点E ，作直线PE .
所以直线PE 就是所求作的垂线.
请回答：该尺规作图的依据是 ．
三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27题，每小题
7分，第28题8分）
17. 计算：2sin30°+ .
8)4()31
(0
1+-+-π
18. 解不等式组 ：⎪⎩⎪
⎨⎧>-->-.2216),3(21x x x x
19. 如图，在△ACB 中，AC =BC ，AD 为△ACB 的高线，CE 为△ACB 的中线.
求证：∠DAB =∠ACE.
20. 已知关于x 的一元二次方程0)1(2
=+++k x k x ． （1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是正数，求k 的取值范围.
21. 如图，在△ABC 中，D 是AB 边上任意一点，E 是BC 边中点，过点C
作AB 的平行线，交DE 的延长线于点F ，连接BF ，CD ． （1）求证：四边形CDBF 是平行四边形；
（2）若∠FDB =30°，∠ABC =45°，BC =，求DF 的长．
22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与反比例函数
x
k
y =
的图象在第四象限交于点C ，CD ⊥x 轴于点D ，tan ∠OAB ＝2，OA ＝2，OD ＝1． （1）求该反比例函数的表达式；
（2）点M 是这个反比例函数图象上的点，过点M
作MN ⊥y 轴，垂足为点N ，连接OM 、AN ，如果 S △ABN ＝2S △OMN ，直接写出点M 的坐标.
23. 如图，在⊙O 中，C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点，连接CD 并延长，交过点A 的
切线于点E ．
（1）求证：AE ⊥CE ． （2）若AE =，sin ∠ADE =3
1
，求⊙O 半径的长．
24. 水果基地为了选出适应市场需求的小西红柿秧苗，在条件基本相同的情况下，把两个品种的小西红柿秧苗
各300株分别种植在甲、乙两个大棚. 对于市场最为关注的产量和产量的稳定性，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据 从甲、乙两个大棚各收集了25株秧苗上的小西红柿的个数：
甲 26 32 40 51 44 74 44 63 73 74 81 54 62
41 33 54 43 34 51 63 64 73 64 54 33 乙 27 35 46 55 48 36 47 68 82 48 57 66 75
27 36 57 57 66 58 61 71 38 47 46 71
整理、描述数据 按如下分组整理、描述这两组样本数据
（说明：45个以下为产量不合格，45个及以上为产量合格，其中45~65个为产量良好，65~85个为产量优秀）
分析数据 两组样本数据的平均数、众数和方差如下表所示：
大棚 平均数 众数 方差 甲 53 54 3047 乙
53
57
3022
得出结论 a ．估计乙大棚产量优秀的秧苗数为 株；
b ．可以推断出 大棚的小西红柿秧苗品种更适应市场需求，理由为 ．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
25.如图，AB 是⊙O 的直径，AB =4cm ，C 为AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点，且∠ACD =60°，DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AB 于点G ，当点C 在AB 上运动时，设AF =x cm ，DE =y cm （当x 的值为0或3时，y 的值为2），探究函数y 随自变量x 的变化而变化的 规律.
25≤x <35
35≤x <45
45≤x <55
55≤x <65
65≤x <75
75≤x <85
甲
5 5 5 5
4 1
乙
2
4
6
2
x
大棚
个数
株数
（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组对应值，如下表： x /cm 0 0.40 0.55 1.00 1.80 2.29 2.61 3 y /cm
2
3. 68
3.84
3.65
3.13
2.70
2
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的
图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：点F 与点O 重合时，DE 长度约为 cm （结果保留一
位小数）．
26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2
440y ax ax a =--≠与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B .
（1）求点A ，B 的坐标；
（2）若方程()2
44=00ax ax a --≠有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间
（包括1，3），结合函数的图象，求a 的取值范围.
27. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E为AB边上一动点（与点A，B不重合），
连接CE，将∠ACE的两边所在射线CE，CA以点C为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD于点F，G.
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ACE=α，求∠AFC的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系，并证明．
28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，其中A(t，0)、B(t+2，0)两点，给出如下定义：若在线
段AB上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为
线段AB的伴随点．
（1）当t=-3时，
①在点P1（1，1），P2（0，0），P3（-2，-1）中，线段AB的伴随点是；
=b的取值范围；
②在直线y=2x+b上存在线段AB的伴随点M、N，且MN5
（2）线段AB的中点关于点（2，0）的对称点是C，将射线CO以点C为中心，顺时针
旋转30°得到射线l，若射线l上存在线段AB的伴随点，直接写出t的取值范围．
北京市朝阳区九年级综合练习（一）
数学试卷答案及评分参考2018.5
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C A B B A C
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 答案不惟一，如：边长分别为a ，b 的矩形面积 10. 4
7
11. ⎩⎨
⎧=+=+.
562018,
631325y x y x 12. 1:4 13. 15
14. 答案不唯一，如：以x 轴为对称轴，作△OAB 的轴对称图形，再将得到三角形沿向右平移
4个单位长度 15. ①②
16. 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；直径所对的圆周角是直角
三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27题，每小题7分，
第28题8分） 17. 解：原式 22132
1
2+++⨯
= …………………………………………………………………4分 225+=. …………………………………………………………………5分
18. 解：原不等式组为⎪⎩⎪
⎨⎧>-->-.22
16),3(21x x x x
解不等式①，得 5<x . ………………………………………………2分
解不等式②，得 21
>
x .……………………………………………………4分 ∴ 原不等式组的解集为52
1
<<x . ……………………………5分
19. 证明：∵AC ＝BC ，CE 为△ACB 的中线，
∴∠CAB ＝∠B ，CE ⊥AB . ……………………………………2分 ∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°. ……………………………………3分 ∵AD 为△ACB 的高线， ∴∠D ＝90°.
∴∠DAB ＋∠B ＝90°. …………………………………………4分
∴∠DAB ＝∠ACE . ……………………………………………………………… 20. （1）证明：依题意，得k k 4)1(2
-+=∆ ………………………………………1分 .)1(2-=k ……………………………………2分
∵0)1(2
≥-k ，
∴方程总有两个实数根. ……………………………………3分
（2）解：由求根公式，得11-=x ，k x -=2. …………………………4分
∵方程有一个根是正数， ∴0>-k .
∴0<k .………………………………………………………………5分
21.（1）证明：∵CF ∥AB ，
∴∠ECF ＝∠EBD . ∵E 是BC 中点， ∴CE ＝BE .
∵∠CEF ＝∠BED ， ∴△CEF ≌△BED . ∴CF ＝BD .
∴四边形CDBF 是平行四边形. ………………………………………2分
（2）解：如图，作EM ⊥DB 于点M ，
∵四边形CDBF 是平行四边形，BC ＝24， ∴222
1==
BC BE ，DE DF 2=.
在Rt △EMB 中，2sin =∠⋅=ABC BE EM . …………………………3分
在Rt △EMD 中，42==EM DE . ……………………………………4分
∴DF ＝8. ………………………………………………………………5分
22. 解：（1）∵AO ＝2，OD ＝1，
∴AD ＝AO+ OD ＝3. …………………………………………………1分 ∵CD ⊥x 轴于点D ， ∴∠ADC ＝90°.
在Rt △ADC 中，6tan =∠⋅=OAB AD CD ..
∴C （1，－6）. ……………………………………………………………2分
∴该反比例函数的表达式是x
y 6
-=. ………………………………3分 （2）点M 的坐标为（－3,2）或（
5
3
，－10）. …………………………………5分
23. （1）证明：连接OA ，
∵OA 是⊙O 的切线， ∴∠OAE ＝90º. ………………………………1分
E
A
∵ C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点， ∴CD 为△AOB 的中位线. ∴CD ∥OA ． ∴∠E ＝90º.
∴AE ⊥CE . …………………………………2分
（2）解：连接OD ，
∴∠ODB ＝90º. ……………………………………3分
∵AE =，sin ∠ADE =
3
1
， 在Rt △AED 中，23sin =∠=ADE
AE
AD .
∵CD ∥OA ， ∴∠1＝∠ADE .
在Rt △OAD 中，3
1
1sin ==∠OA OD .……………………………4分 设OD ＝x ，则OA ＝3x ， ∵2
2
2
OA AD OD =+， ∴()
()2
2
2
323x x =+.
解得 231=
x ，23
2-=x （舍）. ∴2
9
3==x OA . ……………………………………………………5分
即⊙O 的半径长为2
9
.
24. 解：整理、描述数据 按如下分组整理、描述这两组样本数据
………………………………………………………………………2分
得出结论 a ．估计乙大棚产量优秀的秧苗数为 84 株； ………………3分
b ．答案不唯一，理由须支撑推断的合理性. ……………………5分
25. 解：本题答案不唯一，如：
（1）
25≤x <35 35≤x <45 45≤x <55 55≤x <65 65≤x <75 75≤x <85
甲 5 5 5 5 4 1 乙
2
4
6
6
5
2
x 大棚
个数
株数
x /cm 0 0.40 0.55 1.00 1.80 2.29 2.61 3 y /cm
2
3.68
3.84
4.00
3.65
3.13
2.70
2
……………………………………………………………………………………1分
（2）
………………………………………………………………………………4分
（3）3.5．……………………………………………………………………6分
26.解：（1）44)2(442
2
---=--=a x a ax ax y ．
∴A （0，－4），B （2，0）．……………………………………………2分 （2）当抛物线经过点（1，0）时，3
4
-
=a ．…………………………………4分 当抛物线经过点（2，0）时，1-=a ． ……………………………………6分 结合函数图象可知，a 的取值范围为13
4
<≤-
a ．………………………7分
27.（1）补全的图形如图所示.
…………………………………………………………………………………………1分
（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.
∴∠FCG=∠ACE=α.
∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°， ∴∠DAC=∠BAC= 30°. ……………………………………………2分 ∴∠AGC=30°. ∴∠AFC =α+30°. …………………………………………………………3分
（3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系为CG AF AE 3=
+错误!未指定书签。

.
证明：作CH ⊥AG 于点H.
由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°.
∴CA=CG. ……………………………………………………………………………5分 ∴HG =
2
1AG. ∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ，
∴△ACE ≌△GCF. …………………………………………………………6分 ∴AE =FG .
在Rt △HCG 中， .2
3
cos CG CGH CG HG =
∠⋅= ∴AG =3错误!未指定书签。

CG . …………………………………………………………………7分 即AF+AE =3错误!未指定书签。

CG .
28. 解：（1）①线段AB 的伴随点是: 23,P P . ………………………………………2分 ②如图1，当直线y =2x +b 经过点（-3，-1）时，b =5，此时b 取得最大值.
…………………………………………………………………4分 如图2，当直线y =2x +b 经过点（-1，1）时，b =3，此时b 取得最小值. ………………………………………………………………5分 ∴ b 的取值范围是3≤b ≤5. ………………………………………6分
（2）t 的取值范围是-
1
2.2
t ≤≤…………………………………………………8分 图1 图2。