概率论的基本概念

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第一章 概率论的基本概念

【内容提要】

一、随机事件及其运算关系

1．随机现象 在一定条件下，可能出现不同结果(不可预先确知的)的现象。

2．随机试验 在一定条件下，对随机现象进行观测或观察的过程。随机试验具有如下特点:

⑴.可以在相同条件下重复进行；

⑵.每次试验的结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；

⑶.进行试验前不能确定到底会出现哪个结果。

3．样本空间 对于随机试验，尽管在试验之前不能预知其结果，但其所有可能结果是已知的，我们将

随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为其样本空间，用Ω表示，并称ωΩ∈为样本点。

4．随机事件 设Ω是随机试验E 的样本空间，而{}()F A A ΩΩ=是的某些子集，且满足: ⑴.()F ΩΩ∈；

⑵.()A F Ω∀∈,有()A A F ΩΩ=-∈；

⑶.(),1,2,...k A F k Ω∀∈=,有

1()k k A F Ω≤<+∞∈U 。

则称()F Ω是随机试验E 的事件域，而称()A F Ω∈为随机事件。

注:设A 为随机事件，则

⑴.A 发生⇐⇒包含于A 中的任一样本点ω发生；

⑵.必然事件即样本空间Ω，而不可能事件即空集Φ。

5．随机事件的运算关系 设,,,1,2,...,k A B A k n =为随机事件，则

⑴．事件的包含关系:,A B A B A B ωω⊆⇐⇒⇐⇒∀∈∈事件发生时一定会导致事件发生有； ⑵．事件的相等关系:A B A B B A A B ωω=⇐⇒⊆⊆⇐⇒∈∈且当且仅当；

⑶．事件的和运算:{},A B A B A B A B ωωω=

∈∈⇐⇒U U 或发生当且仅当中至少发生其一，

{}12111,,,...,k k k n k n k n A k n A A A A A ωω≤≤≤≤=≤≤∈⇐⇒U U 存在发生当且仅当中至少发生其一；

⑷．事件的积运算:{},A B A B A B A B ωωω=

∈∈⇐⇒I I

且发生当且仅当同时发生， {}12111,,,...,k k k n k n k n A k n A A A A A ωω≤≤≤≤=∀≤≤∈⇐⇒I I 发生当且仅当同时发生；

积事件还可将I 省略，直接表示为

121k n k n A A A A ≤≤=⋅⋅⋅I ； ⑸．事件的差运算:{}()A B A B A B A B ωωω-=

∈∉⇐⇒-但发生当且仅当发生而不发生；

⑹．事件的互斥关系:A B AB A B Φ⇐⇒=⇐⇒与互斥与不能同时发生；

⑺．事件的对立关系:A B AB A B ΦΩ⇐⇒=+=与对立且，这时记B A A Ω==-。

若1i j n ∀≤<≤，有i j A A Φ=，则称12,,,n A A A ⋅⋅⋅两两互斥，这时，它们的和事件可表为:

1211k k n k n

k n A A A A A ≤≤≤≤==++⋅⋅⋅+∑U 。

注:事件的运算关系具有如下性质:

⑴．交换律: ,A B B A AB BA ==U U ；

⑵．结合律: ()(),()()A B C A B C AB C A BC ==U U U U ；

⑶．分配律: 1111(

)(),()()k k k k k n k n k n k n

A B A B A B A B ≤≤≤≤≤≤≤≤==∏∏U U U U ；

⑷．德摩根律: 12121212(),()n n n n A A A A A A A A A A A A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅U U U U U U 。

二、随机事件的频率与概率

1．随机事件的频率 设在相同条件下，进行了n 次试验，事件A 发生了m 次，则称()n m w A n =

为这n 次试验中事件A 发生的频率。事件的频率具有如下性质:

⑴．非负性: ()A F Ω∀∈，有0()1n w A ≤≤；

⑵．规范性: ()0,()1n n w w ΦΩ==；

⑶．单调性: 若A B ⊆，则()()()0n n n w B A w B w A -=-≥；

⑷．可加性: 若12,,,n A A A ⋅⋅⋅两两互斥，则121()()n m n k k m w A A A w A ≤≤++⋅⋅⋅+=

∑；

⑸．稳定性: 当n →+∞时，()n w A m n =将稳定到某一确定的值()P A ，称这个数()P A 为事件A 在

一次试验中发生的概率。事件的概率也具有类似的非负性、规范性、单调性及可加性。

2．概率的公理化定义 设Ω是随机试验E 的样本空间，而{}

()F A A ΩΩ=是的某些子集随机试验E 的事件域，()P A 是定义于事件域()F Ω上实值函数，且满足以下条件:

⑴．非负性: ()A F Ω∀∈，有0()1P A ≤≤；

⑵．规范性: ()1P Ω=；

⑶．可列可加性: 对任意可列无穷多个两两互斥的事件12,,...,...n A A A ，有11(

)()k k k k P A P A ≤<+∞≤<+∞=∑∑。 则称()P A 为事件()A F Ω∈的概率。事件的概率有如下性质:

⑴.不可能事件的概率为零，即()0P Φ=；

⑵.有限可加性:若12,,...,n A A A 是两两互斥的事件，则11(

)()k k k n k n

P A P A ≤≤≤≤=∑∑；

⑶.单调性:若A B ⊆，则()()()0P B A P B P A -=-≥；

⑷.对立事件的概率:()1()P A P A =-；

⑸.加法公式:对任意n 个事件12,,,()n A A A F Ω⋅⋅⋅∈，有:

1212111()()()()(1)()n n i i j i j k n i n i j n i j k n P A A A P A P A A P A A A P A A A ≤≤≤<≤≤<<≤⋅⋅⋅=-+

+⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅∑∑∑U U U .

三、概率的计算

1．古典概率 设随机试验E 的样本空间Ω具有如下特点:

⑴．{}12,,...,n ωωωΩ=是有限集合，即只包含n (有限)个互异的样本点；

⑵．试验中每个样本点k ω发生的可能性都相同(1,2,...,)k n =；

则称其为古典概率模型，此时，如果事件A 包含的样本点数为m A =，则事件A 的概率应为: ()P A m n A Ω==。

2．几何概率 设随机试验E 的样本空间Ω具有如下特点:

⑴．Ω是无限集合，但其测度()m Ω(长度、面积、体积等)有限，即0()m Ω<<+∞；

⑵．任一事件A 发生的概率与其测度()m A 成正比；

则称其为几何概率模型，事件A 的概率应为()()()P A m A m Ω=。

3．条件概率 设,A B 为两个事件，则规定在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率为:

()(),()0

()0,

()0P AB P A P A P B A P A >⎧⎪=⎨=⎪⎩若若。 条件概率也满足概率的性质:

⑴．非负性: ()B F Ω∀∈，有0()1P B A ≤≤；

⑵．规范性: ()1P A Ω=；

⑶．可列可加性: 若12,,...,,...n B B B 两两互斥，则11(

)()k k k k P B A P B A ≤<+∞≤<+∞

=∑∑。 4．概率论基本公式

⑴．乘法公式:设12,,...,n A A A 为2n ≥个事件，则 12121312121()()()()()n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅。

⑵．全概率公式与Bayes 公式:设12,,...,n A A A 两两互斥，且12n B A A A ⊆++⋅⋅⋅+，则

1()()()k k k n P B P A P B A ≤≤=

∑，且1()()(),1()()

k k k i i i n P A P B A P A B k n P A P B A ≤≤=

≤≤∑。