全国中学生 物理竞赛课件14：刚体动力学运动学问题

n
yi
2 mi rxi2i2 yi2 zi2
i 1
ri
mi
x
i 1
zi
O
xi
z
球
实
壳
心
球
J 2 mr2
J 2 mr2
3
n5
3J2 nl22immnliirmn3124Jinmr13m2/ 3inlri im42
i 1
i
mi ri2
r n
2
r n
i
r n
2
6mr
2
lim
n
n i 1
vc0
ωc0
ωct
vct
h
坡，设地面与圆柱体之间的摩擦系数为μ，
试求圆柱体爬坡所能达到的高度h′.
解:纯滚动时圆柱角速度由机械能守恒:
mgh
1 2
J
02
1 2
mr 2 2
mr 2
02
0
4 gh 3r 2
与墙弹性碰撞,质心速度反向,角速度不变,此后受摩擦力作用
经时间t 达纯滚动:
由动量定理 f t m t r 0r 由角动量定理 fr t Jc t 0
♠ 质心 质心运动定律
能代表整个刚体的平动,运动规律等效于全部质量及外 力集中于此的某一点.
从质心的等效意义出发:
0
x1
m1
x2
x
m2
xC
mi xi mi
yC
mi yi mi
zC
mi zi mi
以质心为坐标原点
mi r=0
F =m ac
例讲 例讲
h=
H n
n
n
mi =
則 20 41%
49
如图所示，实心匀质小球静止在圆柱面顶点，
受到微扰而自由滚下，为了令小球在θ ≤45°范围内做纯滚动，求
解: 柱面与球间摩擦因数至少多大？ 圆柱半径与小球半径分别以R、r表示
对球由质心运动定律有 ：
mg cos N
mvc2
Rr
mgsin f mr
2
15 4
kg
m2
M N5F d
f
22
N
f
N 1000r / min
F 100 N
f
对制动杆 N 0.5 F 1.25
F
A
质量为m的均匀细杆由竖直受一微扰倒下,
解: 求夹角为θ时,质心速度及杆的角速度
vB C
质心不受水平方向作用,做自由下落运动! vn v
由机械能守恒:mg
t
2 3
gh 3r 2
纯滚动后机械能守恒:
mgh
1 2
3mr 2 2
t2
h h
如图，在一个固定的、竖直的螺杆上的一个
螺帽，螺距为s，螺帽的转动惯量为I，质量为m．假定螺帽与螺杆
间的摩擦系数为零，螺帽以初速度v0向下移动，螺帽竖直移动的速 度与时间有什么关系？这是什么样的运动？重力加速度为g．
4
1 2 3 4
4
yc
R2 4
1
3
2
3
4
4R
3
x
xc 0
8
yc
15
R
以静止水的质心为坐标原 点，建立如图所示坐标，
当振动高度为Δh时，质心 坐标为：
y
h
2
h
O
x
x
1 2
h
L 2
1 3
L 2
1 2
h
L 2
2 3
L 2
h
L 2
L 4
L
h
Lh
6h
y
h
h
L
h 2
1 2
撞时间很短，碰撞过程中摩擦力的影响可以不计．试求⑴碰后两球
达到纯滚动时的质心速度；⑵全部过程中损失的机械能的百分数．
解: 1 v v R
1
v
2
v1
v1
v1
2 v2
v2
R
R
R
⑴完成弹性碰撞后设两球各经t1、t2达到纯滚动，质心速度为v1、v2，
对球1： f t1 mv1
fR t1
2mR2
解: 由机械能守恒:
mgs
1 2
I (t2
02 )
1 2
m(vt 2
v02 )
g 又
2
vs
vt2 v02 2
竖直方向匀加速下落!
m
4 2 I
s2
m
gs
vt
v0
g't
g
m
4 2源自文库I
s2
m
g
在水平地面上有两个完全相同的均匀实心球，其一做
纯滚动，质心速度为v，另一静止不动，两球做完全弹性碰撞，因碰
2h
L
h 2
h
2h 3
h2
Lh
6h
由上可得
y 6h x2 L2
y
质心沿抛物线做往复运
动,回复力为重力之分力:
F mg y x
6h x x2 x2
mg
L2
x
F回
x
O
mg
12mgh
x
L2
质心做谐振,周期为 T 2
L2 12hg
♠ 转动惯量
量度刚体转动中惯性大小的物理量,等于刚体中每个 质点的质量mi与该质点到转轴的距离ri的平方的乘 积的总和.
M
1 2
Jt2
1 2
J02
角动量守恒定律 J 恒量
0.50 m
0.75m F
飞轮质量60 kg,直径d=0.50 m闸瓦
与轮间μ=0.4;飞轮质量分布在外层
解: 圆周,要求在t=5 s内制动,求F力大小.
对飞轮 M f J
其中 1000 2 s2 20 s2
t 60 5
3
J
m
d 2
Z４ Z2
J3 J4 Jz 2 miri2 Z３ R Z
2Jx J3 J4
mR2
2 Jx
13mmRR22 m 2R2
4
12
24
椭圆细环的半长轴为A，半短轴为B，
质量为m（未必匀质），已知该环绕长轴的转动惯量为
JA，试求该环绕短轴的转动惯量JB．
解: 由正交轴定理:
y
J A JB mi xi2 yi2
求铰链C着地时的速度．
解: 着地时,两杆瞬时转轴为A(B)
由机械能守恒:
h
2mg h 2 1 J 2 A
B
2
其中各杆:
J
m2 l 2 12
m
l 2 2
ml 2 3
vc
則
vc l
mgh 2
1 2
ml 2 3
vc l
2
得 vc 3gh
如图，圆柱体A的质量为m，在其中部绕以细绳， 绳的一端B固定不动，圆柱体初速为零地下落，当其轴心降低h 时，求圆柱体轴心的速度及绳上的张力．
2 lim
n
n
1
i1 4
m r2 2n
m 2n
i
l 2n
2
mr 2 ml 2
n i2
4
4
lim
n
i 1
n3
mr2 ml2
4 12
Ma 2 J圓 2
2a
O
M
J杆 Jc M 2a 2
其中
Ma 2
4Ma2
2a C M
JcJO
3 nM
2nlJim圓
J
i 1
杆 2a
a n
i
a n
d
P
C
kma2
2
k
m 8
a 2
2
6
k
m 8
a 2
2
m 8
a 6
2
1
ma2
k 6
J PQ 6
♠ 描述转动状态的物理量
θ
lim
t0 t
lim
t0 t
a r
L miviri miri2 J
Ek
1 2
mi vi2
1 2
mi ri2
2
1 2
O
x
由椭圆方程: x2 y2
JA JB
A2 B2 1
mA2
JB
B2 A2 B2
mA2
JA
A2 B2
A2
JA
A2 B2
yi2
转动惯量的表达式常表现为形式
n
J miri2 kma2
i 1
m是刚体的质量，a是刚体相应的几何长度，只要确 定待定系数k，转动惯量问题便迎刃而解．
设
JOO kMa2
2 R cosi
(R cosi
lim
n
i
n 1
4R
cos2
i
m
sini
RR
lliimm
nn
nn ii11
sin
3sini
3siini
sin
i
)
R
sin
C
i
R
lim
n
2 3
3
2
sin
n 2
3
sin
sin 3
n
2
1
3
2
2
sin
n 2
sin
sin
n
2
1
R
lim
n
2 3
1 2
=
2n
n
i
=i
2n
y
i
i
n
J
lim
n i
4 lim
n
mi ri2 n1 m
i1 4n
r
sin
i
2
0
x R
mr2
lim
n
n i1
1 n
sin2
sin2
2
L
sin2
2
sin2
2
J 1 mr2
n项
2
设任意物体绕某固定轴O的转动惯量为J，绕 通过质心而平行于轴O的转动惯量为Jc，则有
J2
M Fd
A M
I M t
♠ 刚体的定轴转动与质点的直线运动
质点的直线运动
刚体的定轴转动
位移 s
速度v
v lim s t0 t
角位移 θ
角速度 lim
t0 t
加速度a
v a lim
t0 t
角加速度 lim
t0 t
匀速直线运动: s＝vt
匀变速直线运动
vt S
v0vt012aat t
M
则有
O
O
4
k
M 4
a 2
2
M 4
a 4
2
kMa2
a
k 1 12
JOO
Ma 2 12
如图所示，匀质立方体的边长为a， 质量为m．试求该立方体绕对角线轴PQ的转动惯量J．
解: 将立方体等分为边长为a/2的 八个小立方体，其中六个小
Q
立方体体对角线到大立方体
O
2
体对角线距离
3
O
da 2 6a 23 6
J mi ri2
例讲
J
m
r2 1
r2 2
2
J
J mr2 n
J 1 mr2 2
lim
n
n
i
lim
n i1
mi ri2
m1
r2
2
i
r n
n
mr2 lim 2 i
n i1
r n
i
r n
2
3J
11 n42
mr
2
转轴
J 1 mr2 2 J 1 mr2 4
mr2 ml2
J
4 12
，
5
v R
v1 R
对球2：
f
t2
mv
v2
fR t2
2mR2 5
v2 R
v1
2 7
v
5 v2 7 v
续解
⑵系统原机械能为
读题
E0
1 2
2mr 2 5
mr 2
v r
2
7mv 2 10
达到纯滚动后的机械能
Et
1 7mR2
25
2v 2 7R
5v 7R
2
29 mv2 70
ki
H n
2
H n
xc
lim
n
mi xi
i 1
lim
n
n V
i 1
ki
H n
kH 2
2
/3
H n
i
H n
O tan-1k
i H
x
3H
lim
n
n i 1
i3
1 n4
xC
3 4
H
y
= n
2n
i
=i
2n
i
0 i
x R
x 43R xC
=
lim
n
n i 1
2m
R2
i4
1 n5
已知:Jx=J0
求:J x ?
解: J y Jx J0
2J0 miri2
J y J x
2Jx miri2
y
y
O
x
x
J x J0
如图所示，质量为m的均匀圆柱体，截
面半径为R，长为2R．试求圆柱体绕通过质心及两底面
边缘的转轴（如图中的Z1、Z2）的转动惯量J．
解: 2Jx Jz 2 miri2 Z1
2
vt2 v02 2aS
牛顿运动定律 F＝ma
动量定理 Ft＝m vt－m v0 (恒 力)
动能定理
FS
1 2
mvt2
1 2
mv02
动量守恒定律 mv 恒量
匀角速转动:
t
匀变速转动:
t 0 0t
1 2
t
t
2
t2 02 2
转动定律 M=J
角动量原理 Mt＝Jωt－Jω0
转动动能定理
2
1 2
2
2
如图，一个圆盘半径为R，各处厚度返一回样概，要
在每个象限里，各处的密度也是均匀的，但不同象限里的密度则
不同，它们的密度之比为 1∶ 2∶3∶ 4 ＝1∶2∶3∶4，求这圆
盘的质心位置．
解: 对题中圆盘:
y
R2
4
1 2 3 4 R2
xc
21
4R 3 4
R2 4
1
2
3
2
29Ma2 6
对任意的刚体，任取直角三维坐标Oxyz，刚体对x、
y、z轴的转动惯量分别为Jx、nJy、Jz，则有
J x J y Jz 2 miri2
i 1
n
J x mi yi2 zi2
i 1
Jx Jy Jz
y
n
J y mi xi2 zi2
i 1
n
Jz mi xi2 yi2
l
1
cos
1
mv 2
1
B
J 2
2
由相关速度: v vn sin
杆对质心的转动惯量: J
lim n
l
2
sin
2
n m l
l i1 n
i
2
l 2n
2
ml 2 12
12g 1 cos 3g 1 cos
1 3sin2 l v 1 3sin2 l sin
如图，两根等重的细杆AB及AC，在C点用铰链 连接，放在光滑水平面上，设两杆由图示位置无初速地开始运动，
解:轴心m降gh低h过12 J程P中机2 械能守恒
B
其中圆柱体对轴P的转动惯量
JP
mr 2 2
mr 2
3mr 2 2
v r
gh
T
h
v2
由转动定律:
Tr J
mr 2
3 a
P
2r
1v
由质心运动定律: mg T ma T mg
3
如图，实心圆柱体
从高度为h的斜坡上从静止纯滚动地到达
水做完平全地面弹性上，碰撞继后续纯返回滚，动，经足与够光滑长竖的水直墙平ωc0 距离后重新做纯滚动，并纯滚动地爬上斜 vc0
♠ 刚体
不发生形变的理想物体
实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略 时,即可将其视作刚体．
刚体内各质点之间的距离保持不变
刚体内各质点角速度总相同
♠ 刚体的平动与转动
刚体运动时，其上各质点的运动状态（速度、加速度、 位移）总是相同，这种运动称为平动． 刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一 直线做圆周运动，这种运动称为转动，而所绕直线便 称为轴．若转轴是固定不动的，刚体的运动就是定轴 转动．
J Jc md 2
n
n
J miri2 mi Ri2 d 2 2dRi cos
i 1
i 1
y
0 n
n
nn
mi Ri2 mid 2 2d mmiiRxii cosi
i 1
i 1
ii11
Ri mi
C θi
ri
d
O
x
由 J Jc md 2
m
mR2 mR2
R
2mR2
J