《简单的三角恒等变换》公开课课件1
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.两角和与差及二倍角的三角函数公式 分别是什么？
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ
cos(α±β)＝cosαcosβ msinαsinβ
tan(
)
tan tan 1 m tan tan
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α－sin2α ＝2cos2α－1 ＝1－2sin2α；
思考3： sin x - cos x, cos x + 3 sin x 可分别合成为哪个三角函数？
sin x - cos x = 2 sin(x - p ) 4
cos x + 3 sin x = 2 sin(x + p ) 6
思考4： 3 sin(x + p ) - cos(x + p )
3
3
可合成为哪个三角函数？2 sin[(x + p ) - p ]
tan 2
2 tan 1 tan2
2.三角函数公式是三角变换的理论依据，基 本的三角公式包括同角关系公式，诱导公式， 和差公式和二倍角公式等.有了这些公式， 使得三角变换的内容、思路、方法丰富多彩， 奥妙无穷，并为培养我们的推理、运算能力 提供了很好的平台.在实际应用中，我们不 仅要掌握公式的正向和逆向运用，还要了解 公式的变式运用，做到活用公式，用活公式.
36
思考5：一般地，a sin x + b cos x 可
合成为一个什么形式的三角函数？
a sin x + b cos x = a2 + b2 sin(x + q)
其中 t an q = b
a
例1 化简
sin2 a - sin2 b
sin a cos a - sin b cos b
tan(α＋β)
化为 y Asin x 的形式后，可使
问题得到简化，这是一种化归思想.
再 见
取何值时，矩形ABCD
Q
的面积最大？并求出这个
最大面积.
D
C
α O
A
BP
1.异角和积互化原理与同角和差合成原 理，是三角变换的两个基本原理，具体 公式不要求记忆，但要明确其变换思想， 会在实际问题中灵活运用.
2.“明确思维起点，把握变换方向，抓 住内在联系，合理选择公式”是三角变 换的基本要决.
3.对形如 y a sin b cos 的函数，转
例2 已知cosx＝cosαcosβ，求证：
tan x + a tan x - a = tan2 b
2
2
2
例3 求函数 y sin x 3 cos x的周期，最大 值和最小值？
例4 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角
为60°的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD
是扇形的内接矩形，记∠COP=α,求当角α
+
b) -
cos(a -
b)
思考7：cosθ＋cosφ，cosθ－cosφ 分别等于什么？其变换功能如何？
cos q + cos j = 2 cos q + j cos q - j
2
2
cos q - cos j = - 2 sin q + j sin q - j
2
2
思考8：上述关系表明，两个不同的三角 函数的和（差）与积是可以相互转化的， 但转化是有条件的，其中和差化积的转 化条件是什么？
2
2
思考5：这两个等式左右两边的结构有什
么特点？从左到右的变换功能是什么？
思考6：参照上述分析，cosαcosβ， sinαsinβ分别等于什么？其变换功能 如何？
cos a cos b =
1 2
轾 犏 臌cos(a
+
b) +
cos(a
-
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b)
sin a sin b = -
1 2
轾 犏 臌cos(a
b)
这两个等式左右两边的结构有什么特点？
从左到右的变换功能是什么？
左边是积右边是和差， 从左到右积化和差.
思考4令 ， ， 并交换等式两边的式子可得什么结论？
sin q + sin j = 2 sin q + j cos q - j
2
2
sin q - sin j = 2 cos q + j sin q - j
3.代数式变换与三角变换的区别在于：代 数式变换主要是对代数式的结构形式进行 变换；三角变换一般先寻找三角式包含的 各个角之间的联系，并以此为依据选择可 以联系它们的适当公式进行变换，其中有 两个变换原理是需要我们了解的.
思考1：对于sinαcosβ和cosαsinβ， 二者相加、相减分别等于什么？
两个角的函数同名
思考1：sin20°cos30°＋cos20°sin30° 可合成为哪个三角函数？
sin(20°+30°)=sin50°
思考2：1 sin 20o - 3 cos 20o, sin(20°-60°)
2
2
1 cos 20o - 3 sin 20o sin(30°-20°)
2
2
可分别合成为哪个三角函数？
思考2：记sinαcosβ＝x，cosαsinβ ＝y，利用什么数学思想可求出x、y？
{ x+y＝sin(α+β) x-y＝sin(α-β)
方程思想
思考3：由上述分析可知
sin cos
1 2
sin(
) sin(
)
cos a sin b =
1 2
轾 犏 臌sin(a
+
b) -
sin(a -
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ
cos(α±β)＝cosαcosβ msinαsinβ
tan(
)
tan tan 1 m tan tan
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α－sin2α ＝2cos2α－1 ＝1－2sin2α；
思考3： sin x - cos x, cos x + 3 sin x 可分别合成为哪个三角函数？
sin x - cos x = 2 sin(x - p ) 4
cos x + 3 sin x = 2 sin(x + p ) 6
思考4： 3 sin(x + p ) - cos(x + p )
3
3
可合成为哪个三角函数？2 sin[(x + p ) - p ]
tan 2
2 tan 1 tan2
2.三角函数公式是三角变换的理论依据，基 本的三角公式包括同角关系公式，诱导公式， 和差公式和二倍角公式等.有了这些公式， 使得三角变换的内容、思路、方法丰富多彩， 奥妙无穷，并为培养我们的推理、运算能力 提供了很好的平台.在实际应用中，我们不 仅要掌握公式的正向和逆向运用，还要了解 公式的变式运用，做到活用公式，用活公式.
36
思考5：一般地，a sin x + b cos x 可
合成为一个什么形式的三角函数？
a sin x + b cos x = a2 + b2 sin(x + q)
其中 t an q = b
a
例1 化简
sin2 a - sin2 b
sin a cos a - sin b cos b
tan(α＋β)
化为 y Asin x 的形式后，可使
问题得到简化，这是一种化归思想.
再 见
取何值时，矩形ABCD
Q
的面积最大？并求出这个
最大面积.
D
C
α O
A
BP
1.异角和积互化原理与同角和差合成原 理，是三角变换的两个基本原理，具体 公式不要求记忆，但要明确其变换思想， 会在实际问题中灵活运用.
2.“明确思维起点，把握变换方向，抓 住内在联系，合理选择公式”是三角变 换的基本要决.
3.对形如 y a sin b cos 的函数，转
例2 已知cosx＝cosαcosβ，求证：
tan x + a tan x - a = tan2 b
2
2
2
例3 求函数 y sin x 3 cos x的周期，最大 值和最小值？
例4 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角
为60°的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD
是扇形的内接矩形，记∠COP=α,求当角α
+
b) -
cos(a -
b)
思考7：cosθ＋cosφ，cosθ－cosφ 分别等于什么？其变换功能如何？
cos q + cos j = 2 cos q + j cos q - j
2
2
cos q - cos j = - 2 sin q + j sin q - j
2
2
思考8：上述关系表明，两个不同的三角 函数的和（差）与积是可以相互转化的， 但转化是有条件的，其中和差化积的转 化条件是什么？
2
2
思考5：这两个等式左右两边的结构有什
么特点？从左到右的变换功能是什么？
思考6：参照上述分析，cosαcosβ， sinαsinβ分别等于什么？其变换功能 如何？
cos a cos b =
1 2
轾 犏 臌cos(a
+
b) +
cos(a
-
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b)
sin a sin b = -
1 2
轾 犏 臌cos(a
b)
这两个等式左右两边的结构有什么特点？
从左到右的变换功能是什么？
左边是积右边是和差， 从左到右积化和差.
思考4令 ， ， 并交换等式两边的式子可得什么结论？
sin q + sin j = 2 sin q + j cos q - j
2
2
sin q - sin j = 2 cos q + j sin q - j
3.代数式变换与三角变换的区别在于：代 数式变换主要是对代数式的结构形式进行 变换；三角变换一般先寻找三角式包含的 各个角之间的联系，并以此为依据选择可 以联系它们的适当公式进行变换，其中有 两个变换原理是需要我们了解的.
思考1：对于sinαcosβ和cosαsinβ， 二者相加、相减分别等于什么？
两个角的函数同名
思考1：sin20°cos30°＋cos20°sin30° 可合成为哪个三角函数？
sin(20°+30°)=sin50°
思考2：1 sin 20o - 3 cos 20o, sin(20°-60°)
2
2
1 cos 20o - 3 sin 20o sin(30°-20°)
2
2
可分别合成为哪个三角函数？
思考2：记sinαcosβ＝x，cosαsinβ ＝y，利用什么数学思想可求出x、y？
{ x+y＝sin(α+β) x-y＝sin(α-β)
方程思想
思考3：由上述分析可知
sin cos
1 2
sin(
) sin(
)
cos a sin b =
1 2
轾 犏 臌sin(a
+
b) -
sin(a -