椭圆的参数方程如下图
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椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
2 2
y
B O
φ
A
M N
x
是半径OA的旋转角；是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
y
圆的标准方程: x2+y2=r2 x r cos 圆的参数方程: y r sin (为参数) θ的几何意义是: ∠XOP=θ
P θ
O
x
巩固练习
【练习1】把下列普通方程化为参数方程. 2 2 2 x y y 2 1 (2) x 1 (1) 4 9 16 (1) x 2 cos (2) x cos y 3sin y 4sin
一、椭圆的参数方程
一、知识构建
如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径 作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作 AN⊥OX，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径 OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
求矩形ABCD的最大面积。
Y y D
B2
解 : 设A 10cos ,8sin
AD 20cos , AB 16sin S 20 16sin cos 160sin 2
A1ALeabharlann F1CO B1
B
F2
X A2 X
所以, 矩形ABCD最大面积为 160
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
5、已知点A（1，0），椭圆
x 2 y 1 4
2
点P在椭圆上移动，求|PA|的最小值及此时
点P的坐标.
二、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M ( x, y)
a
y
A o B
B'
•M
A' x
在OAA '中，x
| OA | b | OA ' | cos cos
b sec ,
y B2
2 2
A1
F1
O
F2
A2 X
B1
解：因为椭圆的参数方程为 （ 为参数） 所以可设点M的坐标为 3cos ,2sin 由点到直线的距离公式，得点 M到直线的距离为 3cos 4sin 10
d 5 3 4 5 cos sin 10 5 5 5 1 5cos 0 10 5
练习2
最大值6 2 , 最小值 6 2 .
2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B .
A. 圆
B. 椭圆
设中点M (x, y)
C. 直线 D. 线段 x=2sinθ-2cosθ
y=3cosθ+3sinθ
x y 2 4 9
B O N
y A
M
设∠XOA=φ
x
如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径 作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作 AN⊥OX，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径 OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A: (acosφ, a sinφ), B: (bcosφ, bsinφ),
y A
B M
即为点M的轨迹参数方程. x2 y2 消去参数得: 2 2 1, 即为点M的轨迹普通方程. a b
x a cos 由已知 : (为参数) y b sin
O
N
x
说 明：
1 .参数方程 数方程. 2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
2
2
练习
2 x cos , ( 为参数 ), 3. 曲线的参数方程 2 y sin .
则此曲线是(
)
A 椭圆 C 线段
B 椭圆的一部分 D 直线
的离心率
x cos , 4、(1)求出曲线 1 y sin . 2
（2）若曲线上有一点P（x,y）则求出3x+4y的 取值范围. 注意焦点位置
(为参数）
把下列参数方程化为普通方程 x 3cos x 8cos (3) (4) y 10sin (为参数） y 5sin
(3)
x 9
2
y 25
2
1 (4)
x 64
2
y 100
2
1
二、知识应用
x y 1 上求一点M，使M到直线 例1.在椭圆 9 4 x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离
b
在OBB '中，y | BB ' || OB | tan b tan .
x a sec 所以M的轨迹方程是 (为参数) y b tan
x2 y2 消去参数后，得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
x y - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为： 2 a b
2 2
y a A B' o B b
•M
A' x
说明：
3 通常规定 [o,2 )且 ， 。 2 2
x a sec (为参数) y b tan
⑴ 这里参数
叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
x a cos y b sin 是椭圆的参
另外, 称为离心角,规定参数
的取值范围是
[0, 2 )
x a cos , 焦点在X 轴 y b sin .
x b cos , 焦点在Y 轴 y a sin .
知识归纳
x y 椭圆的标准方程: 2 2 1 a b x a cos (为参数) 椭圆的参数方程: y b sin
x 3cos , y 2sin
3 4 其中 cos 0 , sin 0 5 5 由三角函数的性质知，当 - 0 0 时d去最小值
5 5
5
9 8 因此当点M位于 , 时，点M到直线的距离取最小值 5
x2 y2 1有一内接矩形ABCD， 例2、已知椭圆 100 64
2 2
y
B O
φ
A
M N
x
是半径OA的旋转角；是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
y
圆的标准方程: x2+y2=r2 x r cos 圆的参数方程: y r sin (为参数) θ的几何意义是: ∠XOP=θ
P θ
O
x
巩固练习
【练习1】把下列普通方程化为参数方程. 2 2 2 x y y 2 1 (2) x 1 (1) 4 9 16 (1) x 2 cos (2) x cos y 3sin y 4sin
一、椭圆的参数方程
一、知识构建
如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径 作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作 AN⊥OX，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径 OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
求矩形ABCD的最大面积。
Y y D
B2
解 : 设A 10cos ,8sin
AD 20cos , AB 16sin S 20 16sin cos 160sin 2
A1ALeabharlann F1CO B1
B
F2
X A2 X
所以, 矩形ABCD最大面积为 160
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
5、已知点A（1，0），椭圆
x 2 y 1 4
2
点P在椭圆上移动，求|PA|的最小值及此时
点P的坐标.
二、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M ( x, y)
a
y
A o B
B'
•M
A' x
在OAA '中，x
| OA | b | OA ' | cos cos
b sec ,
y B2
2 2
A1
F1
O
F2
A2 X
B1
解：因为椭圆的参数方程为 （ 为参数） 所以可设点M的坐标为 3cos ,2sin 由点到直线的距离公式，得点 M到直线的距离为 3cos 4sin 10
d 5 3 4 5 cos sin 10 5 5 5 1 5cos 0 10 5
练习2
最大值6 2 , 最小值 6 2 .
2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B .
A. 圆
B. 椭圆
设中点M (x, y)
C. 直线 D. 线段 x=2sinθ-2cosθ
y=3cosθ+3sinθ
x y 2 4 9
B O N
y A
M
设∠XOA=φ
x
如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径 作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作 AN⊥OX，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径 OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A: (acosφ, a sinφ), B: (bcosφ, bsinφ),
y A
B M
即为点M的轨迹参数方程. x2 y2 消去参数得: 2 2 1, 即为点M的轨迹普通方程. a b
x a cos 由已知 : (为参数) y b sin
O
N
x
说 明：
1 .参数方程 数方程. 2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
2
2
练习
2 x cos , ( 为参数 ), 3. 曲线的参数方程 2 y sin .
则此曲线是(
)
A 椭圆 C 线段
B 椭圆的一部分 D 直线
的离心率
x cos , 4、(1)求出曲线 1 y sin . 2
（2）若曲线上有一点P（x,y）则求出3x+4y的 取值范围. 注意焦点位置
(为参数）
把下列参数方程化为普通方程 x 3cos x 8cos (3) (4) y 10sin (为参数） y 5sin
(3)
x 9
2
y 25
2
1 (4)
x 64
2
y 100
2
1
二、知识应用
x y 1 上求一点M，使M到直线 例1.在椭圆 9 4 x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离
b
在OBB '中，y | BB ' || OB | tan b tan .
x a sec 所以M的轨迹方程是 (为参数) y b tan
x2 y2 消去参数后，得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
x y - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为： 2 a b
2 2
y a A B' o B b
•M
A' x
说明：
3 通常规定 [o,2 )且 ， 。 2 2
x a sec (为参数) y b tan
⑴ 这里参数
叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
x a cos y b sin 是椭圆的参
另外, 称为离心角,规定参数
的取值范围是
[0, 2 )
x a cos , 焦点在X 轴 y b sin .
x b cos , 焦点在Y 轴 y a sin .
知识归纳
x y 椭圆的标准方程: 2 2 1 a b x a cos (为参数) 椭圆的参数方程: y b sin
x 3cos , y 2sin
3 4 其中 cos 0 , sin 0 5 5 由三角函数的性质知，当 - 0 0 时d去最小值
5 5
5
9 8 因此当点M位于 , 时，点M到直线的距离取最小值 5
x2 y2 1有一内接矩形ABCD， 例2、已知椭圆 100 64